Сумма логарифмов с разными основаниями примеры. Определение логарифма и его свойства: теория и решение задач

Вытекают из его определения. И так логарифм числа b по основанию а определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a , чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел).

Из данной формулировки следует, что вычисление x=log a b , равнозначно решению уравнения a x =b. Например, log 2 8 = 3 потому, что 8 = 2 3 . Формулировка логарифма дает возможность обосновать, что если b=a с , то логарифм числа b по основанию a равен с . Также ясно, что тема логарифмирования тесно взаимосвязана с темой степени числа .

С логарифмами, как и с любыми числами, можно выполнять операции сложения , вычитания и всячески трансформировать. Но ввиду того, что логарифмы - это не совсем ординарные числа, здесь применимы свои особенные правила, которые называются основными свойствами .

Сложение и вычитание логарифмов.

Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: log a x и log a y . Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a (x 1 . x 2 . x 3 ... x k ) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k .

Из теоремы логарифма частного можно получить еще одно свойство логарифма. Общеизвестно, что log a 1= 0, следовательно,

log a 1 / b = log a 1 - log a b = - log a b .

А значит имеет место равенство:

log a 1 / b = - log a b.

Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Так:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Логарифмические выражения, решение примеров. В этой статье мы рассмотрим задачи связанные с решением логарифмов. В заданиях ставится вопрос о нахождении значения выражения. Нужно отметить, что понятие логарифма используется во многих заданиях и понимать его смысл крайне важно. Что касается ЕГЭ, то логарифм используется при решении уравнений, в прикладных задачах, также в заданиях связанных с исследованием функций.

Приведём примеры для понимания самого смысла логарифма:

Основное логарифмическое тождество:

Свойства логарифмов, которые необходимо всегда помнить:

*Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

* * *

*Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

* * *

*Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

* * *

*Переход к новому основанию

* * *

Ещё свойства:

* * *

Вычисление логарифмов тесно связано с использованием свойств показателей степени.

Перечислим некоторые из них:

Суть данного свойства заключается в том, что при переносе числителя в знаменатель и наоборот, знак показателя степени меняется на противоположный. Например:

Следствие из данного свойства:

* * *

При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели перемножаются.

* * *

Как вы убедились само понятие логарифма несложное. Главное то, что необходима хорошая практика, которая даёт определённый навык. Разумеется знание формул обязательно. Если навык в преобразовании элементарных логарифмов не сформирован, то при решении простых заданий можно легко допустить ошибку.

Практикуйтесь, решайте сначала простейшие примеры из курса математики, затем переходите к более сложным. В будущем обязательно покажу, как решаются «страшненькие» логарифмы, таких на ЕГЭ не будет, но они представляют интерес, не пропустите!

На этом всё! Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

\(a^{b}=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_{a}{c}=b\)

Объясним проще. Например, \(\log_{2}{8}\) равен степени, в которую надо возвести \(2\), чтоб получить \(8\). Отсюда понятно, что \(\log_{2}{8}=3\).

Примеры:		\(\log_{5}{25}=2\)		т.к. \(5^{2}=25\)
		\(\log_{3}{81}=4\)		т.к. \(3^{4}=81\)
		\(\log_{2}\)\(\frac{1}{32}\) \(=-5\)		т.к. \(2^{-5}=\)\(\frac{1}{32}\)

Аргумент и основание логарифма

Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:

Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание - подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».

Как вычислить логарифм?

Чтобы вычислить логарифм - нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?

Например , вычислите логарифм: а) \(\log_{4}{16}\) б) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\) в) \(\log_{\sqrt{5}}{1}\) г) \(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\) д) \(\log_{3}{\sqrt{3}}\)

а) В какую степень надо возвести \(4\), чтобы получить \(16\)? Очевидно во вторую. Поэтому:

\(\log_{4}{16}=2\)

\(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\) \(=-1\)

в) В какую степень надо возвести \(\sqrt{5}\), чтобы получить \(1\)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!

\(\log_{\sqrt{5}}{1}=0\)

г) В какую степень надо возвести \(\sqrt{7}\), чтобы получить \(\sqrt{7}\)? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.

\(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=1\)

д) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\sqrt{3}\)? Из мы знаем, что – это дробная степень, и значит квадратный корень - это степень \(\frac{1}{2}\) .

\(\log_{3}{\sqrt{3}}=\)\(\frac{1}{2}\)

Пример : Вычислить логарифм \(\log_{4\sqrt{2}}{8}\)

Решение :

\(\log_{4\sqrt{2}}{8}=x\)		Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма: \(\log_{a}{c}=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^{b}=c\)
\((4\sqrt{2})^{x}=8\)		Что связывает \(4\sqrt{2}\) и \(8\)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить двойки: \(4=2^{2}\) \(\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\) \(8=2^{3}\)
\({(2^{2}\cdot2^{\frac{1}{2}})}^{x}=2^{3}\)		Слева воспользуемся свойствами степени: \(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\) и \((a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}\)
\(2^{\frac{5}{2}x}=2^{3}\)		Основания равны, переходим к равенству показателей
\(\frac{5x}{2}\) \(=3\)		Умножим обе части уравнения на \(\frac{2}{5}\)
		Получившийся корень и есть значение логарифма

Ответ : \(\log_{4\sqrt{2}}{8}=1,2\)

Зачем придумали логарифм?

Чтобы это понять, давайте решим уравнение: \(3^{x}=9\). Просто подберите \(x\), чтобы равенство сработало. Конечно, \(x=2\).

А теперь решите уравнение: \(3^{x}=8\).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.

Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как \(x=\log_{3}{8}\).

Хочу подчеркнуть, что \(\log_{3}{8}\), как и любой логарифм - это просто число . Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: \(1,892789260714.....\)

Пример : Решите уравнение \(4^{5x-4}=10\)

Решение :

\(4^{5x-4}=10\)		\(4^{5x-4}\) и \(10\) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма. Воспользуемся определением логарифма: \(a^{b}=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_{a}{c}=b\)
\(\log_{4}{10}=5x-4\)		Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева
\(5x-4=\log_{4}{10}\)		Перед нами . Перенесем \(4\) вправо. И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу.
\(5x=\log_{4}{10}+4\)		Поделим уравнение на 5
\(x=\)\(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)		Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.

Ответ : \(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)

Десятичный и натуральный логарифмы

Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы \((a>0, a\neq1)\). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание - число Эйлера \(e\) (равное примерно \(2,7182818…\)), и записывается такой логарифм как \(\ln{a}\).

То есть, \(\ln{a}\) это то же самое, что и \(\log_{e}{a}\)

Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается \(\lg{a}\).

То есть, \(\lg{a}\) это то же самое, что и \(\log_{10}{a}\) , где \(a\) - некоторое число.

Основное логарифмическое тождество

У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:

\(a^{\log_{a}{c}}=c\)

Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.

Вспомним краткую запись определения логарифма:

если \(a^{b}=c\), то \(\log_{a}{c}=b\)

То есть, \(b\) – это тоже самое, что \(\log_{a}{c}\). Тогда мы можем в формуле \(a^{b}=c\) написать \(\log_{a}{c}\) вместо \(b\). Получилось \(a^{\log_{a}{c}}=c\) – основное логарифмическое тождество.

Остальные свойства логарифмов вы можете найти . С их помощью можно упрощать и вычислять значения выражений с логарифмами, которые «в лоб» посчитать сложно.

Пример : Найдите значение выражения \(36^{\log_{6}{5}}\)

Решение :

Ответ : \(25\)

Как число записать в виде логарифма?

Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что \(\log_{2}{4}\) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать \(\log_{2}{4}\).

Но \(\log_{3}{9}\) тоже равен \(2\), значит, также можно записать \(2=\log_{3}{9}\) . Аналогично и с \(\log_{5}{25}\), и с \(\log_{9}{81}\), и т.д. То есть, получается

\(2=\log_{2}{4}=\log_{3}{9}=\log_{4}{16}=\log_{5}{25}=\log_{6}{36}=\log_{7}{49}...\)

Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

Точно также и с тройкой – ее можно записать как \(\log_{2}{8}\), или как \(\log_{3}{27}\), или как \(\log_{4}{64}\)… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:

\(3=\log_{2}{8}=\log_{3}{27}=\log_{4}{64}=\log_{5}{125}=\log_{6}{216}=\log_{7}{343}...\)

И с четверкой:

\(4=\log_{2}{16}=\log_{3}{81}=\log_{4}{256}=\log_{5}{625}=\log_{6}{1296}=\log_{7}{2401}...\)

И с минус единицей:

\(-1=\) \(\log_{2}\)\(\frac{1}{2}\) \(=\) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\) \(=\) \(\log_{4}\)\(\frac{1}{4}\) \(=\) \(\log_{5}\)\(\frac{1}{5}\) \(=\) \(\log_{6}\)\(\frac{1}{6}\) \(=\) \(\log_{7}\)\(\frac{1}{7}\) \(...\)

И с одной третьей:

\(\frac{1}{3}\) \(=\log_{2}{\sqrt{2}}=\log_{3}{\sqrt{3}}=\log_{4}{\sqrt{4}}=\log_{5}{\sqrt{5}}=\log_{6}{\sqrt{6}}=\log_{7}{\sqrt{7}}...\)

Любое число \(a\) может быть представлено как логарифм с основанием \(b\): \(a=\log_{b}{b^{a}}\)

Пример : Найдите значение выражения \(\frac{\log_{2}{14}}{1+\log_{2}{7}}\)

Решение :

Ответ : \(1\)

С уравнениями мы все знакомы с начальных классов. Еще там мы учились решать самые простые примеры, и надо признать, что они находят свое применение даже в высшей математике. С уравнениями все просто, в том числи и с квадратными. Если у вас проблемы с этой темой, настоятельно рекомендуем вам повторить ее.

Логарифмы вы, вероятно, тоже уже прошли. Тем не менее, считаем важным рассказать, что это для тех, кто еще не знает. Логарифм приравнивается к степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получилось число, стоящее справа от знака логарифма. Приведем пример, исходя из которого, вам все станет ясно.

Если вы возведете 3 в четвертую степень получится 81. Теперь подставьте по аналогии числа, и поймете окончательно, как решаются логарифмы. Теперь осталось лишь совместить два рассмотренных понятия. Изначально ситуация кажется чрезвычайно сложной, но при ближайшем рассмотрении весе становится на свои места. Мы уверены, что после этой короткой статьи у вас не будет проблем в этой части ЕГЭ.

Сегодня выделяют множество способов решения подобных конструкций. Мы расскажем о самых простых, эффективных и наиболее применимых в случае заданий ЕГЭ. Решение логарифмических уравнений должно начинаться с самого простого примера. Простейшие логарифмические уравнения состоят из функции и одной переменной в ней.

Важно учесть, что x находится внутри аргумента. A и b должны быть числами. В таком случае вы можете попросту выразить функцию через число в степени. Выглядит это следующим образом.

Разумеется, решение логарифмического уравнения таким методом приведет вас к верному ответу. Ног проблема подавляющего большинства учеников в этом случае заключается в том, что они не понимают, что и откуда берется. В результате приходится мириться с ошибками и не получать желаемых баллов. Самой обидной ошибкой будет, если вы перепутаете буквы местами. Чтобы решить уравнение этим способом, нужно зазубрить эту стандартную школьную формулу, потому что понять ее сложно.

Чтобы было проще, можно прибегнуть к другому способу – канонической форме. Идея крайне проста. Снова обратите внимание на задачу. Помните, что буква a – число, а не функция или переменная. A не равно одному и больше нуля. На b никаких ограничений не действует. Теперь из всех формул вспоминаем одну. B можно выразить следующим образом.

Из этого следует, что все исходные уравнения с логарифмами можно представить в виде:

Теперь мы можем отбросить логарифмы. Получится простая конструкция, которую мы уже видели ранее.

Удобство данной формулы заключается в том, что ее можно применять в самых разных случаях, а не только для самых простых конструкций.

Не переживайте насчет ООФ!

Многие опытные математики заметят, что мы не уделили внимание области определения. Сводится правило к тому, что F(x) обязательно больше 0. Нет, мы не упустили этот момент. Сейчас мы говорим об еще одном серьезном преимуществе канонической формы.

Лишних корней здесь не возникнет. Если переменная будет встречаться лишь в одном месте, то область определения не является необходимостью. Она выполняется автоматически. Чтобы убедиться в данном суждении, займитесь решением нескольких простых примеров.

Как решать логарифмические уравнения с разными основаниями

Это уже сложные логарифмические уравнения, и подход к их решению должен быть особым. Здесь редко получается ограничиться пресловутой канонической формой. Начнем наш подробный рассказ. Мы имеем следующую конструкцию.

Обратите внимание на дробь. В ней находится логарифм. Если вы увидите такое в задании, стоит вспомнить один интересный прием.

Что это значит? Каждый логарифм можно представить в виде частного двух логарифмов с удобным основанием. И у данной формулы есть частный случай, который применим с этим примером (имеем ввиду, если c=b).

Именно такую дробь мы и видим в нашем примере. Таким образом.

По сути, перевернули дробь и получили более удобное выражение. Запомните этот алгоритм!

Теперь нужно, что логарифмическое уравнение не содержало разных оснований. Представим основание дробью.

В математике есть правило, исходя из которого, можно вынести степень из основания. Получается следующая конструкция.

Казалось бы, что мешает теперь превратить наше выражение в каноническую форму и элементарно решить ее? Не все так просто. Дробей перед логарифмом быть не должно. Исправляем эту ситуацию! Дробь разрешается выносить в качестве степени.

Соответственно.

Если основания одинаковые, мы можем убрать логарифмы и приравнять сами выражения. Так ситуация станет в разы проще, чем была. Останется элементарное уравнение, которое каждый из нас умел решать еще в 8 или даже в 7 классе. Расчеты вы сможете произвести сами.

Мы получили единственно верный корень этого логарифмического уравнения. Примеры решения логарифмического уравнения достаточно просты, не так ли? Теперь и у вас получится самостоятельно разобраться даже с самыми сложными задачами для подготовки и сдачи ЕГЭ.

Что в итоге?

В случае с любыми логарифмическими уравнениями мы исходим из одного очень важного правила. Необходимо действовать так, чтобы привести выражение к максимально простому виду. В таком случае у вас будет больше шансов не просто решить задание правильно, но еще и сделать это максимально простым и логичным путем. Именно так всегда действуют математики.

Настоятельно не рекомендуем вам искать сложных путей, особенно в этом случае. Запомните несколько простых правил, которые позволят преобразовать любое выражение. К примеру, привести два или три логарифма к одному основанию или вывести степень из основания и выиграть на этом.

Также стоит помнить о том, что в решении логарифмических уравнений необходимо постоянно тренироваться. Постепенно вы будете переходить ко все более сложным конструкциям, а это приведет вас к уверенному решению всех вариантов задач на ЕГЭ. Готовьтесь к экзаменам заблаговременно, и удачи вам!

Приведены основные свойства натурального логарифма, график, область определения, множество значений, основные формулы, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление функции ln x посредством комплексных чисел.

Определение

Натуральный логарифм - это функция y = ln x , обратная к экспоненте , x = e y , и являющаяся логарифмом по основанию числа е : ln x = log e x .

Натуральный логарифм широко используется в математике, поскольку его производная имеет наиболее простой вид: (ln x)′ = 1/ x .

Исходя из определения , основанием натурального логарифма является число е :
е ≅ 2,718281828459045... ;
.

График функции y = ln x .

График натурального логарифма (функции y = ln x ) получается из графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой y = x .

Натуральный логарифм определен при положительных значениях переменной x . Он монотонно возрастает на своей области определения.

При x → 0 пределом натурального логарифма является минус бесконечность ( - ∞ ).

При x → + ∞ пределом натурального логарифма является плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция x a с положительным показателем степени a растет быстрее логарифма.

Свойства натурального логарифма

Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание

Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства натурального логарифма представлены в таблице.

Значения ln x

ln 1 = 0

Основные формулы натуральных логарифмов

Формулы, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Любой логарифм можно выразить через натуральные логарифмы с помощью формулы замены основания:

Доказательства этих формул представлены в разделе "Логарифм" .

Обратная функция

Обратной для натурального логарифма является экспонента .

Если , то

Если , то .

Производная ln x

Производная натурального логарифма:
.
Производная натурального логарифма от модуля x :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Интеграл вычисляется интегрированием по частям :
.
Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексной переменной z :
.
Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ :
.
Используя свойства логарифма, имеем:
.
Или
.
Аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n - целое,
то будет одним и тем же числом при различных n .

Поэтому натуральный логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.