Законы кеплера и их связь с законами ньютона. Законы Кеплера.pptx - Законы Кеплера. Открытие И. Кеплером законов движения планет. Открытие закона Всемирного тяготения и обобщённые законы Кеплера. Определение масс небесных тел

В мире атомов и элементарных частиц гравитационные силы пренебрежимо малы по сравнению с другими видами силового взаимодействия между частицами. Очень непросто наблюдать гравитационное взаимодействие и между различными окружающими нас телами, даже если их массы составляют многие тысячи килограмм. Однако именно гравитация определяет поведение «больших» объектов, таких, как планеты, кометы и звезды, именно гравитация удерживает всех нас на Земле.

Гравитация управляет движением планет Солнечной системы. Без нее планеты, составляющие Солнечную систему, разбежались бы в разные стороны и потерялись в безбрежных просторах мирового пространства.

Закономерности движения планет с давних пор привлекали внимание людей. Изучение движения планет и строения Солнечной системы и привело к созданию теории гравитации - открытию закона всемирного тяготения.

С точки зрения земного наблюдателя планеты движутся по весьма сложным траекториям (рис. 1.24.1). Первая попытка создания модели Вселенной была предпринята Птолемеем (~ 140 г.). В центре мироздания Птолемей поместил Землю, вокруг которой по большим и малым кругам, как в хороводе, двигались планеты и звезды.

Геоцентрическая система Птолемея продержалась более 14 столетий и только в середине XVI века была заменена гелиоцентрической системой Коперника. В системе Коперника траектории планет оказались более простыми. Немецкий астроном Иоганн Кеплер в начале XVII века на основе системы Коперника сформулировал три эмпирических закона движения планет Солнечной системы. Кеплер использовал результаты наблюдений за движением планет датского астронома Тихо Браге.

Первый закон Кеплера (1609 г.):

Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце .

На рис. 1.24.2 показана эллиптическая орбита планеты, масса которой много меньше массы Солнца. Солнце находится в одном из фокусов эллипса. Ближайшая к Солнцу точка P траектории называется перигелием , точка A , наиболее удаленная от Солнца - афелием . Расстояние между афелием и перигелием - большая ось эллипса.

Почти все планеты Солнечной системы (кроме Плутона) движутся по орбитам, близким к круговым.

Второй закон Кеплера (1609 г.):

Радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади.

Рис. 1.24.3 иллюстрирует 2-й закон Кеплера.

Второй закон Кеплера эквивалентен закону сохранения момента импульса. На рис. 1.24.3 изображен вектор импульса тела и его составляющие и Площадь, описываемая радиус-вектором за малое время Δt , приближенно равна площади треугольника с основанием r Δθ и высотой r :

Здесь - угловая скорость.

Момент импульса L по абсолютной величине равен произведению модулей векторов и :

Из этих отношений следует:

Поэтому, если по второму закону Кеплера , то и момент импульса L при движении остается неизменным.

В частности, поскольку скорости планеты в перигелии и афелии направлены перпендикулярно радиус-векторам и из закона сохранения момента импульса следует:

Третий закон Кеплера (1619 г.):

Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:

Третий закон Кеплера выполняется для всех планет Солнечной системы с точностью выше 1 %.

На рис. 1.24.4 изображены две орбиты, одна из которых - круговая с радиусом R , а другая - эллиптическая с большой полуосью a . Третий закон утверждает, что если R = a , то периоды обращения тел по этим орбитам одинаковы.

Несмотря на то, что законы Кеплера явились важнейшим этапом в понимании движения планет, они все же оставались только эмпирическими правилами, полученными из астрономических наблюдений. Законы Кеплера нуждались в теоретическом обосновании. Решающий шаг в этом направлении был сделан Исааком Ньютоном, открывшим в 1682 году закон всемирного тяготения :

где M и m - массы Солнца и планеты, R - расстояние между ними, G = 6,67·10 -11 Н·м 2 /кг 2 - гравитационная постоянная. Ньютон первый высказал мысль о том, что гравитационные силы определяют не только движение планет Солнечной системы; они действуют между любыми телами Вселенной. В частности, уже говорилось, что сила тяжести, действующая на тела вблизи поверхности Земли, имеет гравитационную природу.

Для круговых орбит первый и второй закон Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что T 2 ~ R 3 , где Т - период обращения, R - радиус орбиты. Отсюда можно получить зависимость гравитационной силы от расстояния. При движении планеты по круговой траектории на нее действует сила, которая возникает за счет гравитационного взаимодействия планеты и Солнца:

Если T 2 ~ R 3 , то

Свойство консервативности гравитационных сил позволяет ввести понятие потенциальной энергии . Для сил всемирного тяготения удобно потенциальную энергию отсчитывать от бесконечно удаленной точки.

Потенциальная энергия тела массы m , находящегося на расстоянии r от неподвижного тела массы M , равна работе гравитационных сил при перемещении массы m из данной точки в бесконечность.

Математическая процедура вычисления потенциальной энергии тела в гравитационном поле состоит в суммировании работ на малых перемещениях (рис. 1.24.5).

Закон всемирного тяготения применим не только к точеным массам, но и к сферически симметричным телам . Работа гравитационной силы на малом перемещении есть:

Полная работа при перемещении тела массой m из начального положения в бесконечность находится суммированием работ ΔA i на малых перемещениях:

В пределе при Δr i → 0 эта сумма переходит в интеграл. В результате вычислений для потенциальной энергии получается выражение

Знак «минус» указывает на то, что гравитационные силы являются силами притяжения.

Если тело находится в гравитационном поле на некотором расстоянии r от центра тяготения и имеет некоторую скорость υ, его полная механическая энергия равна

В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной.

Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела (рис. 1.24.6).

При E = E 1 < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r > r max . В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы).

При E = E 2 = 0 тело может удалиться на бесконечность. Скорость тела на бесконечности будет равна нулю. Тело движется по параболической траектории .

При E = E 3 > 0 движение происходит по гиперболической траектории . Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.

Законы Кеплера применимы не только к движению планет и других небесных тел в Солнечной системе, но и к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей. В этом случае центром тяготения является Земля.

Первой космической скоростью называется скорость движения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли.

Эту скорость необходимо набрать, чтобы преодолеть притяжение Земли и вывести тело (например, спутник) на орбиту Земли.

Второй космической скоростью называется минимальная скорость, которую нужно сообщить космическому кораблю у поверхности Земли, чтобы он, преодолев земное притяжение, превратился в искусственный спутник Солнца (искусственная планета). При этом корабль будет удаляться от Земли по параболической траектории.

Рис. 1.24.7 иллюстрирует космические скорости. Если скорость космического корабля равна υ 1 = 7.9·10 3 м/с и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей. При начальных скоростях, превышающих υ 1 , но меньших υ 2 = 11,2·10 3 м/с, орбита корабля будет эллиптической. При начальной скорости υ 2 корабль будет двигаться по параболе, а при еще большей начальной скорости - по гиперболе.

Рисунок 1.24.7. Космические скорости. Указаны скорости вблизи поверхности Земли. 1: υ = υ 1 - круговая траектория; 2: υ 1 < υ < υ 2 - эллиптическая траектория; 3: υ = 11,1·10 3 м/с - сильно вытянутый эллипс; 4: υ = υ 2 - параболическая траектория; 5: υ > υ 2 - гиперболическая траектория; 6: траектория Луны Третья космическая скорость равна примерно 16,6·10 3 м/сек (при запуске на высоте 200 км над земной поверхностью) и необходима для преодоления гравитации сначала Земли, а затем и Солнца и выхода за пределы Солнечной системы. Сейчас два искусственных спутника развили такую скорость Пионер-10 и Пионер-11, запущенные 2 марта 1972 и 6 апреля 1973 года соответственно. В данный момент аппараты покинули пределы Солнечной системы.

И. Кеплер всю свою жизнь пытался доказать, что наша Солнечная система - это какое-то мистическое искусство. Изначально он пытался доказать, что устройство системы имеет сходство с правильными многогранниками из древнегреческой геометрии. Во времена Кеплера было известно о существовании шести планет. Считалось, что они помещаются в хрустальные сферы. По утверждению ученого, эти сферы располагались таким образом, что между соседствующими точно вписываются многогранники правильной формы. Между Юпитером и Сатурном поместился куб, вписанный во внешнюю среду, в которую вписана сфера. Между Марсом и Юпитером находится тетраэдр, и т.п. После долгих лет наблюдений за небесными объектами, появились законы Кеплера, а свою теорию о многогранниках он опроверг.

Законы

На смену геоцентрической Птолемеевой системе мира пришла система гелиоцентрического типа, созданная Коперником. Еще позже, Кеплер выявил вокруг Солнца.

После многолетних наблюдений за планетами появились три закона Кеплера. Рассмотрим их в статье.

Первый

Согласно первому закону Кеплера, все планеты нашей системы движутся по замкнутой кривой, называемой эллипсом. Наше светило располагается в одном из фокусов эллипса. Всего их два: это две точки внутри кривой, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса постоянна. После длительных наблюдений ученый смог выявить, что орбиты всех планет нашей системы располагаются почти в одной плоскости. Некоторые небесные тела двигаются по орбитам-эллипсам, близким к окружности. И только Плутон с Марсом двигаются по более вытянутым орбитам. Исходя из этого, первый закон Кеплера получил название закона эллипсов.

Второй закон

Изучение движения тел позволяет ученому установить, что больше в тот период, когда она находится ближе к Солнцу, и меньше тогда, когда она находится на максимальном расстоянии от Солнца (это точки перигелия и афелия).

Второй закон Кеплера говорит о следующем: каждая планета перемещается в плоскости, проходящей через центр нашего светила. В одно и то же время радиус-вектор, соединяющий Солнце и исследуемую планету, описывает равные площади.

Таким образом, ясно, что тела движутся вокруг желтого карлика неравномерно, а имея в перигелии максимальную скорость, а в афелии - минимальную. На практике это видно по движению Земли. Ежегодно в начале января наша планета, во время прохождения через перигелий, перемещается быстрее. Из-за этого движение Солнца по эклиптике происходит быстрее, чем в другое время года. В начале июля Земля движется через афелий, из-за чего Солнце по эклиптике перемещается медленнее.

Третий закон

По третьему закону Кеплера, между периодом обращения планет вокруг светила и ее средним расстоянием от него устанавливается связь. Этот закон ученый применил ко всем планетам нашей системы.

Объяснение законов

Законы Кеплера смогли объяснить только после открытия Ньютоном закона тяготения. По нему физические объекты принимают участие в гравитационном взаимодействии. Оно обладает всеобщей универсальностью, которой подвержены все объекты материального типа и физические поля. По утверждению Ньютона, два неподвижных тела действуют взаимно друг с другом с силой, пропорциональной произведению их веса и обратно пропорциональной квадрату промежутков между ними.

Возмущенное движение

Движением тел нашей Солнечной системы управляет сила притяжения желтого карлика. Если бы тела притягивались только силой Солнца, то планеты совершали бы движения вокруг него точно по законам движения Кеплера. Данный вид перемещения называют невозмущенным или кеплеровским.

В действительности все объекты нашей системы притягиваются не только нашим светилом, но и друг другом. Поэтому ни одно из тел не может перемещаться точно по эллипсу, гиперболе или по кругу. Если тело отклоняется во время движения от законов Кеплера, то это называется возмущениями, а само движение - возмущенным. Именно оно считается реальным.

Орбиты небесных тел не являются неподвижными эллипсами. Во время притяжения другими телами, происходит изменение эллипса орбиты.

Вклад И. Ньютона

Исаак Ньютон смог вывести из законов движения планет Кеплера закон всемирного тяготения. Для решения космическо-механических задач Ньютон использовал именно всемирное тяготение.

После Исаака прогресс в области небесной механики заключался в развитии математической науки, применяемой для решения уравнений, выражающих законы Ньютона. Этот ученый смог установить, что гравитация планеты определяется расстоянием до нее и массой, а вот такие показатели, как температура и состав, не оказывают никакого влияния.

В своей научной работе Ньютон показал, что третий кеплеровский закон не совсем точен. Он показал, что при подсчетах важно учитывать массу планеты, так как движение и вес планет связаны. Это гармоническая комбинация показывает связь между кеплеровскими законами и законом тяготения, выявленным Ньютоном.

Астродинамика

Применение законов Ньютона и Кеплера стало основой появления астродинамики. Это раздел небесной механики, изучающий движение космических тел, созданных искусственно, а именно: спутников, межпланетных станций, различных кораблей.

Астродинамика занимается расчетами орбит космических кораблей, а также определяет, по каким параметрам производить пуск, на какую орбиту выводить, какие необходимо провести маневры, планированием гравитационного воздействия на корабли. И это далеко не все практические задачи, которые ставятся перед астродинамикой. Все полученные результаты применяются при выполнении самых разных космических миссий.

С астродинамикой тесно связана небесная механика, которая изучает движение естественных космических тел под действием силы тяготения.

Орбиты

Под орбитой понимают траекторию движения точки в заданном пространстве. В небесной механике принято считать, что траектория тела в гравитационном поле другого тела обладает значительно большей массой. В прямоугольной системе координат, траектория может иметь форму конического сечения, т.е. быть представлена параболой, эллипсом, кругом, гиперболой. При этом фокус будет совпадать с центром системы.

На протяжении длительного времени считалось, что орбиты должны быть круглыми. Довольно долго ученые пытались подобрать именно круговой вариант перемещения, но у них не получалось. И только Кеплер смог объяснить, что планеты перемещаются не по круговой орбите, а по вытянутой. Это позволило открыть три закона, которые смогли описать движение небесных тел по орбите. Кеплер открыл следующие элементы орбиты: форму орбиты, ее наклон, положение плоскости орбиты тела в пространстве, размер орбиты, привязку по времени. Все эти элементы определяют орбиту независимо от ее формы. При расчетах основной координатной плоскостью может быть плоскость эклиптики, галактики, планетарного экватора и т.д.

Многочисленные исследования показывают, что по геометрической форме орбиты могут быть эллиптическими и округлыми. Есть деление на замкнутые и незамкнутые. По углу наклона орбиты к плоскости земного экватора, орбиты могут быть полярными, наклонными и экваториальными.

По периоду обращения вокруг тела, орбиты могут быть синхронными или солнечно-синхронными, синхронно-суточными, квазисинхронными.

Как говорил Кеплер, все тела имеют определенную скорость движения, т.е. орбитальную скорость. Она может быть постоянной на протяжении всего обращения вокруг тела или же изменяться.

(1546–1601). Они используются в небесной механике и формулируются так:

2. Планета движется так, что ее радиус-вектор за равные интервалы времени заметает равные площади. (Закон площадей.)

3. Квадраты периодов любых двух планет соотносятся как кубы их средних расстояний от Солнца. (Гармонический закон.)

Замечательно, что законы Кеплера, составляющие базис небесной механики, выведены из наблюдений Тихо, выполненных без телескопа.

Закон 1.

Тихо поставил перед Кеплером задачу создания научной теории движения Марса. Следуя методике тех лет, Кеплер перепробовал множество комбинаций эпициклов и эксцентриков, но не смог найти подходящую для точного предвычисления наблюдаемого положения планеты. Наконец, он предположил, что орбита Марса эллиптическая, и увидел, что эта кривая хорошо описывает наблюдения, если Солнце поместить в один из фокусов эллипса. Затем Кеплер предположил (хотя и не мог точно доказать этого), что все планеты движутся по эллипсам, в фокусе которых находится Солнце. А орбиту Луны он описал эллипсом, в фокусе которого расположена Земля .

Действительно, орбиты всех больших планет – эллипсы, причем у Венеры орбита наиболее округлая (эксцентриситет е = 0,0068), а у Плутона наиболее вытянута (е = 0,2485). Орбиты малых планет – астероидов – тоже эллипсы; наиболее круглая орбита у астероида 1177 Гоннезия (е = 0,0063), а наиболее эксцентричная у 944 Идальго (е = 0,656).

Закон 2.

Законы Кеплера полностью эмпирические, они выведены из наблюдений. Чтобы получить закон площадей, Кеплер трудился около восьми лет, проделав громадный объем вычислений. Чем ближе планета к Солнцу, тем быстрее она движется по орбите. Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее; поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленно, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Закон 3.

Третий, или гармонический, закон Кеплера связывает среднее расстояние планеты от Солнца (a ) с ее орбитальным периодом (t ):

где индексы 1 и 2 соответствуют любым двум планетам.

Пример : найти среднее расстояние от Солнца планеты Уран, имеющей период 84,015 лет. Из приведенной выше формулы, взяв период Земли за 1 год и ее расстояние от Солнца за 1 а.е.,

Ньютон (1643–1727) установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до нее, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что закон Кеплера не совсем точен; что в действительности в него входит и масса планеты:

где M – масса Солнца, а m 1 и m 2 – массы планет. Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их расстояния и орбитальные периоды.

В астрологии мы постоянно имеем дело с Законами Кеплера, даже если не всегда об этом помним или знаем. Когда мы трактуем замедляющийся Марс или Меркурий и говорим о специфике их влияния, когда мы, не глядя в астрологическую карту, по долготе планет относительно Солнца можем на глазок определить является планета прямой или ретроградной – мы делаем это благодаря законам, которые были открыты выдающимся учёным – Иоганном Кеплером. Ниже на этой странице представлено описание натальной карты Иоганна Кеплера, сделанное им самим. Думаю, этот материал будет интересен и студентам астрологии и астрологам. Но сначала я хочу дать краткую справку о нём.

Иоганн Кеплер (Johannes Kepler) – немецкий математик, астроном, астролог, оптик и механик, первооткрыватель законов движение планет Солнечной системы. Родился 27 декабря 1571 года, в Вайль-дер-Штадте, Германия.

В конце XVI века в астрономии ещё происходила борьба между геоцентрической системой Птолемея и гелиоцентрической системой Коперника . Противники системы Коперника ссылались на то, что в отношении погрешности расчётов она ничем не лучше птолемеевской . Напомним, что в модели Коперника планеты равномерно движутся по круговым орбитам. Чтобы согласовать это предположение с видимой неравномерностью движения планет, Копернику пришлось ввести дополнительные движения по эпициклам. Хотя эпициклов у Коперника было меньше, чем у Птолемея , его астрономические таблицы, первоначально более точные, чем птолемеевы, вскоре существенно разошлись с наблюдениями, что немало озадачило и охладило восторженных коперниканцев.

Открытые Кеплером три закона движения планет полностью и с превосходной точностью объяснили видимую неравномерность этих движений. Они известны как Законы Кеплера. Вместо многочисленных надуманных эпициклов модель Кеплера включает только одну кривую — эллипс. Таким образом Солнце не в центре круга.

Это и есть Первый Закон Кеплера: планеты движутся по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Второй закон Кеплера установил, как меняется скорость планеты при удалении или приближении к Солнцу: чем дальше планета от Солнца, тем медленнее её скорость. А третий Закон Кеплера позволяет рассчитать эту скорость и период обращения вокруг Солнца.

В системе Коперника Земля всё ещё занимала особое положение, поскольку центром мира Коперник объявил центр земной орбиты. У Кеплера Земля — рядовая планета, движение которой подчинено общим трём законам. Кеплер вывел также «уравнение Кеплера » , используемое в астрономии для определения положения небесных тел. Законы планетной кинематики , открытые Кеплером, послужили позже Ньютону основой для создания теории тяготения. Ньютон математически доказал, что все законы Кеплера являются прямыми следствиями закона тяготения. Строго говоря, система мира Кеплера претендовала не только на выявление законов движения планет, но и на гораздо большее. Аналогично пифагорейцам , Кеплер считал мир реализацией некоторой числовой гармонии, одновременно геометрической и музыкальной; раскрытие структуры этой гармонии дало бы ответы на самые глубокие вопросы:

«Я выяснил, что все небесные движения, как в их целом, так и во всех отдельных случаях, проникнуты общей гармонией — правда, не той, которую я предполагал, но ещё более совершенной».

Например, Кеплер объясняет, почему планет именно шесть (к тому времени были известны только шесть планет Солнечной системы) и они размещены в пространстве так, а не как-либо иначе: оказывается, орбиты планет вписаны в правильные многогранники. Кеплер предсказал существование двух спутников Марса и промежуточной планеты между Марсом и Юпитером.

Законы Кеплера соединяли в себе ясность, простоту и вычислительную мощь. Уже современники Кеплера убедились в точности новых законов, хотя их глубинный смысл до Ньютона оставался непонятным. Никаких попыток реанимировать модель Птолемея или предложить иную систему движения, кроме гелиоцентрической, больше не предпринималось. Кеплер немало сделал для принятия протестантами григорианского календаря (на сейме в Регенсбурге, 1613, и в Ахене, 1615).

Иоган Кеплер был также и астрологом. Видео о нём и трёх Законах Кеплера можно посмотреть в конце текста. А сейчас я предлагаю познакомится с гороскопом Иоганна Кеплера, описанным им самим. Это перевод рукописи. В тексте размышления о влияниях некоторых аспектов и о некоторых современниках Кеплера.

Иоганн Кеплер. О себе. Перевод рукописи

Человеку этому на роду написано проводить время главным образом за решением трудных задач, отпугивающих других. Ещё мальчиком он не по возрасту рано увлёкся законами метрического стихосложения. Пробовал писать комедии, выбирал длиннейшие псалмы и запечатлевал их в памяти. Пытался выучить наизусть все примеры из грамматики Крузиуса. Свои первые опыты в стихосложении он посвятил акростихам, загадкам, анаграммам, а затем, когда стал более зрело судить об их истинных достоинствах, обратился к различным труднейшим жанрам лирической поэзии, слагая оды в духе Пиндара, сочинял дифирамбы, проявлял интерес к столь необычным вопросам, как неподвижность Солнца, происхождение рек, вид Атланта, уходящего головой в облака.

Загадки и хитроумнейшие шутки доставляли ему живейшую радость, с аллегориями он забавлялся, прослеживая их до мельчайших подробностей, и лишь затем “хватал их за волосы”. В подражаниях он стремился всюду, где только возможно, сохранять слова подлинника, толкуя их на свой лад. Когда он писал о каких-либо проблемах, особую радость доставляли ему парадоксы. Он считал, что французский язык якобы надлежит выучивать раньше, чем греческий, а в научных занятиях усматривал признаки заката Германии. Выступая оппонентом на диспутах, он всегда утверждал лишь то, что действительно думал. Описывая свои открытия, он всегда привносил в чистовой вариант нечто новое по сравнению с черновиком.

Математику любил превыше других учёных занятий. В философии он прочитал в подлиннике сочинения Аристотеля, составил вопросы к “Физике”, пропустил изрядную часть “Этики”, а также “Топики”, чтобы приняться за “Аналитики”. Комментарии Планера пришлись ему по душе. При чтении “Физики” он восхищался Скалигером. Четвёртую книгу “О метеорологических явлениях” он постиг, главным образом участвуя в диспутах. В теологии его внимание с самого начала привлёк вопрос о предопределении, и он самостоятельно пришёл к мнению Лютера об отсутствии свободы воли. Сколь ни удивительно, но ещё в возрасте тринадцати лет он послал в Тюбинген письмо с просьбой выслать ему, если это возможно, какой-нибудь трактат о предопределении, что позволило оппоненту на одном из диспутов поддеть его так: “Уж не сомневаешься ли ты, приятель, в божественном предопределении?”

Позднее ему удалось ознакомиться с мнением Лютера, которое тот изложил в своей книге, и вместе с Гунииусом он пришел к более разумному толкованию предопределения. Но поскольку он тотчас же затронул другой спорный вопрос кальвинистов, то был вынужден остановиться посредине и признать за богом определённые черты личности, познать которые нам не дано. Этого он добился, введя соответствующий гебраизм в слово “вечеря”. Если ему и случалось утверждать, будто до Христа и древнейшим авторам воскресение не было известно, то к первому его побуждали споры между враждующими партиями, а ко второму — тёмные места в священном писании. Размышляя о милосердии божьем, он пришёл к заключению, что язычники отнюдь не обязательно должны быть осуждены на вечное проклятие.

В математике ему неоднократно случалось ломать голову над многими якобы ещё не решёнными проблемами и лишь впоследствии обнаруживать, что те давно решены. Он придумал небесные часы, разработал новую теорию, касающуюся главным образом пяти правильных тел,— предметы поистине трудные.

В истории он предложил новое толкование недель Даниила. Написал новую историю ассирийского царства, предпринял исследование римского календаря. Каким бы родом учёной деятельности ему ни приходилось заниматься, он всегда с жаром участвовал в диспутах и составлял извлечения из прочитанного.Страницы своих рукописей он хранит довольно небрежно, зато всякого рода выпрошенные книги стремится всеми силами подольше не возвращать, будто те могут ему ещё раз понадобиться.

Даже непродолжительное время, проведённое без пользы, причиняет ему страдание. Вместе с тем он далёк от того, чтобы упорно сторониться человеческого общества. В денежных вопросах он почти скуп, в экономии тверд, строг к мелочам и ко всему, что приводит к напрасной потере времени. Вместе с тем он питает к работе непреодолимое отвращение, столь сильное, что часто лишь страсть к познанию удерживает его от того, чтобы не бросить начатое. И всё же то, к чему он стремится, прекрасно, и в большинстве случаев ему удавалось постичь истину. Своей добросовестностью он мало чем отличается от Крузиуса, намного уступает тому в работоспособности и превосходит того в здравости суждений.

Меркурий в VII доме означает торопливость и нерасположение к работе, хотя сам Меркурий движется быстро, а Солнце в секстиле с Сатурном означает усердие и настойчивость. Таковы два противоположных начала в этом человеке: он непрестанно испытывает раскаяние по поводу упущенного времени и всё же постоянно бесцельно расходует время. Меркурий наделяет его склонностью к шутке и забаве, а также к игре ума с более легковесными предметами. В детстве он с упоением отдавался игре; став старше, он обрёл радость в другом и потому пристрастился к другому. Следовательно, то, в чём человек находит удовольствие, зависит от его взглядов. Поскольку упорное нежелание расстаться с деньгами отвращает его от азартных игр, то он часто играет с самим собой.

Вместе с тем нельзя не заметить, что подобная скаредность порождена отнюдь не стремлением к богатству, а боязнью нищеты. Впрочем, жадность почти всегда берёт начало от такой обращённой боязни нищеты, но не только от неё: многие одержимы корыстолюбием. Он стремится к выгоде и к почёту. Возможно, что и здесь во многом виновна боязнь нищеты. Он не чужд надменности, прислушивается к мнению толпы и склонен к жестокости. У Крузиуса же Меркурий находится в стоянии и в противостоянии с Сатурном. Я считаю, что чем свободнее Меркурий от лучей других планет, тем менее свойственно ему, как и Асценденту , означать гибель.

Например, в лучах Сатурна Меркурий приносит холод и способствует вялости духа, в лучах Юпитера рождает влагу и тепло. Там всё увлечено страстью к наживе, здесь — стремлением к почестям. Коснувшись своими лучами Меркурия, как это происходит в моем случае, Марс сильно устрашает того. Меркурий теснит и раздражает дух, поощряя его к играм и располагая к самым различным вещам, как то: к истории, войнам, рискованным торговым сделкам, отваге и разносторонней деятельности (всё это свойственно рожденному), возражениям, враждебным выпадам, порицанию всяческих порядков, критическому складу ума. Всего, что этот человек создал в науке, ему удалось достичь (и это не следует упускать из виду!) в общении с другими, отличая, высмеивая и браня дурные стороны людей, невзирая на лица.

Эту черту с ним разделяет Ортольф. По моему мнению, Меркурий, находясь в соединении с Солнцем, способствует умеренности во всём, ибо в Солнце заключена середина всего. По этой причине стояние Меркурия, а также его прямое и попятное движение сказываются на силе дарования, а планеты, озаряющие своими лучами Меркурий, предопределяют, в чём эта сила. Так, если Меркурий находится в соединении с Венерой, то та придаёт ему нечто венерианское: слабость суждений, любовь к пению, людям и т. д. В соединении с Луной Меркурий порождает предрасположение к влажному, простому и хорошему, как у Магерлина. В соединении с Юпитером Меркурий наделяет склонностью не только к простому, но и к суеверию, а в важных делах — к наивности. Когда же Меркурий свободен от лучей всех других планет, то он придаёт характеру человека особую искренность. Заметь: Солнце оказывает влияние, как и другие планеты, поэтому и Солнце необходимо принимать во внимание, а также Асцендент , поскольку последний сказывается на наружном виде и телосложении. Поэтому если Юпитер находится в Асценденте, то Луна с Меркурием порождают склонность к простому, как у Магерлина. У моего же деверя Симона склонность к простому вызвана совместным действием Луны, Венеры, Солнца и Юпитера.

Заметь: человек, думающий о чём-то постороннем и продолжающий писать, находится под влиянием Меркурия в квадратуре с Марсом. Свободный Меркурий способствует ясности мышления, но квадратура с Марсом пересиливает и приводит к тому, что человек не ждёт, покуда его мышление прояснится. Отсюда — частое раскаяние, поскольку способность к мышлению остаётся, а порыв проходит. Возможно, что Марс вызывает порыв лишь там, где сам преисполнен порыва. Но этим влияние Марса отнюдь не исчерпывается. У меня Марс, поскольку он близок к стоянию, означает непрестанно действующую, всепроникающую, неотвратимую силу, у других в соединении с Солнцем он порождает умеряющую, а в противостоянии — раздражающую силу. Натура, весьма склонная к лукавству,— из-за живости ума. Но присущая ему тяга к лукавству, обману и лжи неодолима. Эти дурные наклонности проистекают из того же источника, что и любовь к шуткам: их вызывает Меркурий, а поощряет Марс. Однако имеются два обстоятельства, мешающие лукавству.

Во-первых, боязнь дурной молвы: ведь больше всего он стремится заслужить истинную хвалу, и всякое умаление чести для него невыносимо. От злых сплетен, хотя бы и самого невинного свойства, он готов откупиться любой ценой, и даже нищета страшит его лишь связанным с ней унижением. К этому с необходимостью приводит влияние Юпитера. Осуществляться оно может трояко: 1) если Юпитер занимает благоприятное положение (должно ли это сказываться на душе или на судьбе?); 2) если Юпитер находится в лучах Солнца и Венеры (такое расположение действительно потому, что, как я уже упоминал, Солнце оказывает такое же влияние, как и Меркурий); 3) если Юпитер находится в квадратуре с Асцендентом (я склонен думать, что действенно именно это расположение планет, хотя отклонение от него составляет 6°). Что ещё сдерживает лукавство этого человека, как бы благоприятно ни складывались обстоятельства и с какой бы осторожностью он ни действовал, так это его необычайная неудачливость: “ведь сколь ни хорошо задумана уловка, всё же хитрецу она на ум приходит поздно”.

Вторая из названных мной причин неудач по существу сводится к первой, ибо неудачи вызывают стыд и замешательство. Вот я и думаю, не кроются ли причины неудач в самой природе вещей: не могут же завершаться успешно все махинации, творимые людьми. И всё же кое-кому во многих случаях удаётся достичь желаемого. Выясним теперь причины неудач этого человека. Меркурий как показатель не встречает не только существенных (если допустимо такое выражение), но и случайных помех, ибо находится он в VII углу. Следовательно, пребывая в этом доме, Меркурий не способен приносить неудачи и благоприятствует только удачам. Быть может, всему виной квадратура с Марсом? Но из неё я вывел самое лицемерие. Итак, квадратура с Марсом непосредственно не благоприятствует обману, ибо порождает и самый обман и то, что ему неизбежно сопутствует. Тем не менее некоторые умудряются плутовать столь успешно, будто для них не составляет никакого труда обмануть и бога, и людей. Даже если их усилия в конечном счёте оказываются тщетными, мошенничество, успешно творимое на протяжении долгого времени, само по себе надлежит считать чудом. В чём же причина того и другого? (В лучах Сатурна). Разве не они вызывают непостоянство, забывчивость, неумение вовремя остановиться, безрассудность речи, и объяснение следует искать в чем-то другом? Во всяком случае, этот рождённый столь неудачлив в своём искусстве лицемерить, что оно не способно привести к последствиям более серьёзным, нежели вызвать досаду у него самого. Возможно, что причины неудач, которыми неизменно заканчивались все его попытки обмануть кого-нибудь, кроются не в гороскопе, а в каких-то других свойствах души.

В-третьих, причиной его неудач может быть Луна в депрессии, ибо во всех прочих делах успех не сопутствует ему, так же как и в обмане. Свойственное ему дружелюбие считают признаком недалёкого ума, его обходительность принимают за чрезмерную доверчивость, набожность — за склонность к суеверию, весёлый нрав — за глупость, справедливый гнев — за приступ бешенства.

Итак, я прихожу к следующему заключению. В квадратуре с Марсом , находясь к востоку от него и двигаясь быстро, Меркурий в VII углу благоприятствует хитрости, которую он означает, то есть способствует осмотрительности и побуждает вести себя так, чтобы решение, принятое под влиянием отдельной неудачи, не помешало всему делу (людям часто свойственно совершать именно эту роковую ошибку). Но, во-первых, по живости характера он не слишком далеко заходит в осмотрительности и так далее. Во-вторых, одной лишь его природы недостаточно для того, чтобы приводить к успеху всех мошеннических проделок, поскольку им не благоприятствует квадратура с Марсом. В-третьих, Луна, находящаяся в депрессии в XII доме означает, что мошеннические проделки не удаются людям, как и всё прочее.

Человек, о котором идёт речь, достиг ныне, когда я пишу эти строки, 26 лет, не внимая голосу рассудка, а скорее, как в юные годы. Затем он занялся необычайно разносторонней и многообразной деятельностью. В-третьих, не всё постиг он своими силами. Из этих трёх обстоятельств проистекают непрестанные сожаления о прошлом.

Поговорим сначала о последнем. Даже без особых предзнаменований в гороскопе юности свойственно незнание многого. Следует признать, однако, что ему это незнание присуще в меньшей степени, чем другим. Теперь о втором. Он берётся за множество новых дел, не завершив предыдущих. На то имеются следующие естественные причины.

1) Нерасположение к непродолжительной работе или внезапный, быстро угасающий порыв трудолюбия. Сколь ни велико прилежание этого человека, работа ему ненавистна. И всё же он упорно трудится, движимый ненасытной жаждой знания и любовью к выдумке и фантазии.

2) Другая причина, по которой он не доводит начатое до конца, кроется в велении судьбы или, скорее, в особенностях его натуры: ведь затеянных им дел слишком много для того, чтобы их можно было довести до благополучного завершения. Кроме того, в тот момент, когда его захватывает новая идея, всё кажется ему простым и легко осуществимым, при воплощении же становится трудным или затягивается на долгое время: ведь разум этого человека гораздо тоньше, проворнее и находится в большей готовности к действию, нежели любая рука. Кроме того, как уже говорилось, вина судьбы состоит в том, что исполнение даже тех намерений, которые он по своей природе мог бы довести до конца, откладывается или наталкивается па какие-нибудь препятствия.

На мой взгляд, так происходит потому, что Меркурий находится в квадратуре с Марсом . Здесь необходимо различать два возможных случая. В иных случаях, чтобы завершить то, начало чему положено разумом этого человека, потребен другой мастер, но тогда ничего нового не возникает, разве что этому человеку посчастливится встретить родственного по духу мастера, что бывает чрезвычайно редко. Найти такого мастера было бы необычайной удачей. В иных случаях задуманное доводят до конца другие люди, как бы выступающие в роли вспомогательных орудий и действующие этично. Я усматриваю особое невезение в том, что этому человеку необходимо случайно встретить помощника или что вспомогательные орудия редко оказываются у него под рукой. Впрочем, со всем этим следует подождать до выяснения вопроса о том, почему этот человек всё задуманное вынужден осуществлять при поддержке других, а не своими силами (что в большей степени способствует удаче).

Третья причина, по которой он затевает множество новых дел, многогранна; чем больше он страшится оставить незавершённым начатое ранее, тем сильнее его стремление приступить к новому. Этому стремлению в значительной мере способствует образ жизни учёного и кабинетная тишина. Если бы этот человек нёс на себе тяжкое бремя какой-нибудь службы, то он не мог бы отдаваться своим возвышенным порывам, как, впрочем, и в том случае, если бы он был задавлен нищетой. Поэтому кормилицей его стремления к новому надлежит считать образ жизни, не обременённый ни высокими заботами, но и не задавленный нищетой. Об отличительных особенностях его образа смотри ниже. Что же касается самого стремления к новому, то без него невозможно никакое просвещение. Природный ум и учёность зависят от Меркурия, ибо я считаю, что на эти дарования указывает быстрый Меркурий в восточной части VII дома. Возможно также, что на стремление к новому дурно влияет квадратура с Марсом , означающим пылкость и скоротечность, и это стремление чинит помехи самому себе.

Но более всего способен разжечь страсть к новому пример других или трудность предмета, что свойственно Марсу, как и огонь, присущий природе Марса. Пример способствует подражанию, это — от Марса. Но пищу и конечную цель стремлению к новому даёт любовь к истине, прекрасному, почестям, признанию и славе. Откуда берётся стремление ко всему этому — вопрос особый. Торопливость и страстность, которую я назвал вредной, приводят к тому, что этому человеку случается высказывать суждения прежде, чем он успевает их обдумать. Поэтому в разговоре он часто допускает вздорные замечания, и ему никогда не удавалось экспромтом хорошо написать письмо. Но стоит лишь внести незначительные исправления, как всё становится превосходным. Он так складно говорит и хорошо пишет, покуда его ничто не торопит, будто успел всё продумать заранее. Но пока он говорит и пишет, ему на ум непрестанно приходят новые соображения либо относительно слов, предметов, выражений или приводимых им доказательств, либо о новых планах и о том, не следовало ли бы умолчать именно о тех вещах, о которых он говорит. Так как другие, например Скалигер, превосходно пишут экспромтом, то у них непременно должно быть некоторое предзнаменование ясного разума в сочетании с предзнаменованием их страсти. Впрочем, чему удивляться, если язык — своеобразное проявление жизни, как и было задумано с самого начала.

И всё же некто другой, как тот, у кого Меркурий находится в VII доме к востоку и движется быстро и прямо, ничем не отличается от этого человека, ибо их разум наделён способностью воспринимать многое одновременно. Эта природная способность, по-видимому, связана с Луной и с Асцендентом , а также с многочисленными звёздами, отсюда — воображение и удивительная способность по одному вспоминать другое, хотя этот человек никогда не отличался хорошей памятью, как и многим другим, то есть такой памятью, которая бы удерживала услышанное или прочитанное. Поэтому он способен хранить в своей памяти лишь столько сведений и так долго, покуда известное ранее служит причиной воспоминаний и связывает их с чем-нибудь. В этом — причина многочисленных отступлений в его речи, поскольку всё, что только приходит ему на ум из-за сильнейшего возбуждения всего хранимого в памяти, он хотел бы сразу высказать. Поэтому речь его сбивчива или, по крайней мере, малопонятна.

Впрочем, следует заметить, что, как я уже говорил, причина этого стремления коренится в праздном образе жизни, хотя не исключено, что она не исчезла бы бесследно, веди он самый деятельный образ жизни. Ибо неоднократно случалось, когда он бывал необычайно занят на протяжении долгого времени (о причинах такой судьбы — в другом месте), то избавлялся от своей страсти. Он охотно отказывается от насущных забот о подыскании какого-нибудь в высшей степени почётного места и следует туда, куда влечёт его дух, в силу чего он не избегает упрёка, когда его учёность, всегда находящаяся в полной готовности, не позволяет ему с ходу выполнить какую-нибудь обязанность.

Словом, хотя он о своих служебных обязанностях печётся весьма рачительно, всё же исполнение их сопряжено с трудностями, о которых уже говорилось. Никогда не ощущал он недостатка в материале, питающем его страсть, пылкое рвение и любовь к изучению всего трудного. Ему на ум одновременно приходят тысячи вопросов, решение которых, поскольку он не может ограничить себя во времени, наносит бóльший ущерб его служебным обязанностям, чем легкомыслие. Нет сомнения в том, что если бы ему выпала судьба идти на военную службу (о чём — в другом месте), то он показал бы себя храбрецом. Ибо не тот лучший солдат, кто растратил всё своё состояние и с отчаяния отправился на военную службу. Ему присущи ярость, хитрость, бдительность, непрестанная готовность к мгновенному действию и, возможно, удачливость.

Теперь было бы уместно поговорить о первом, если бы о нём всё уже не было сказано. Ни один из тех, в ком сильна страсть, не следует доводам рассудка; у юности — юношеские желания. И всё же, чтобы до конца разобраться в этом вопросе, необходимо подробно рассмотреть разум, способность к суждению и пониманию. Я считаю, что тот, кто видит истину и добродетель, видит лучше всех прочих, что способности этой всегда сопутствует способность рассуждать здраво, и что тот, кто обнаруживает признак острого ума, способен судить о множестве вещей, в которых он разбирается, в силу чего суждение человека просвещённого при прочих равных обстоятельствах всегда ближе к истине, чем суждение невежды. Поэтому зодчий, воздвигший чудесное здание, лучше судит о различного рода сооружениях, хотя он и не всегда является их создателем. Суждение — порождение разума, деяние — порождение страсти. Именно поэтому и случается иногда, что учёнейшие мужи дают дурные советы государству, ибо они поддаются страстям и с нечистой совестью отстаивают дурное. И всё же чем образованней человек, тем справедливее он по сравнению с человеком неучёным и неопытным. Имеются и другие обстоятельства, мешающие некоторым установить познаваемую ими истину: папистам — власть папы, религия древности, одним — суеверия, другим — пристрастие к определённому государственному устройству или мнение множества единомышленников.

Поэтому астролог не может заранее предсказать, каких взглядов будет придерживаться рождённый по любому вопросу. Впрочем, тому, кто силен разумом, как правило, обстоятельства менее всего мешают выносить здравые суждения. Не далёк от вершины тот, кого потрясают вещи, имеющие заурядную форму и потому ставшие настолько привычными, что люди не могут постичь истину. Те же, кто встречает на пути к истине препятствия, не отличаются ни истинно высоким духом, ни особой учёностью. Беллармина отношу к числу учёнейших. Ему мешает не религия, а пристрастность и страх за свою славу. Сколь многочисленны препятствия, затрудняющие познание истины. По-видимому, он не читает того, что пишут, или не задумывается над доводами, приводимыми в защиту нашего дела. Быть может, он надеется, что некие смягчающие обстоятельства позволят ему улучшить своё положение. Он пребывает среди наших врагов и придерживается того мнения, что не следует вносить необдуманные изменения и что надлежит всё испробовать и испытать. Именно так и поступали учёнейшие и достославнейшие мужи до нашего времени.

Что мне сказать о Лютере? Он не похож на других. Чтобы постичь истину, он двигался не по той территории, по которой прошествовали мудрейшие. По этой причине он и стал самым мудрым из всех. Но что сказать о его пристрастии к сквернословию и брани? Подобает ли оно мудрому? Он поступал так, но не одобрял этого. Он заблуждался в страсти, а не в суждении. По-видимому, полезнейшим окажется тот муж, которому присущи не только здравость суждений, но и пылкость и страстность. Такой муж, если эти качества проявляются во всех его поступках и согласуются с разумом, действует как бы по божьему велению. В противном случае великие натуры вместе с великими добродетелями приносят и великие ошибки. Большой ущерб наносят справедливости те, кто честолюбив, обуреваем жаждой власти или корыстолюбием. В них страсть одерживает верх над разумом. Это подтверждает то, о чём я говорил в самом начале: способность к здравому суждению связана с одарённостью. Если какие-то знаки свидетельствуют об одном, то они свидетельствуют и о другом. Но чтобы вызвать всё то, о чем я говорю, недостаточно быть сильным в свете суждений, воспламеняться различными страстями, начав многое, продолжать заниматься многим, допускать необдуманные высказывания и в юности видеть не всё. К этому надлежит, в-четвёртых, присоединить невероятную любовь к славе, похвалам, одобрению. Этому человеку так часто случалось совершать нелепые поступки или высказывать бессмысленные утверждения, что следует опасаться, как бы его не сочли глупцом. То же суровое суждение он подкреплял и с другой стороны, решая, что хорошо и что плохо, в зависимости от того, как ответит судьба.

До тех пор, пока начатое не приведёт к успеху или к неудаче, он не может правильно судить об этом. Если оп совершил какую-нибудь провинность тайно, то обдумывает содеянное почти спокойно. Во всяком случае он часто проклинает не то, что свершилось, а всю свою натуру. Особенно заботится он не о том, как снискать себе пропитание, не об одежде, не о горе, не о радости и не о своих работах. Его помыслы заняты главным образом тем, что думают о нём люди, которые все кажутся ему великими. Откуда это глупое стремление “быть замеченным”, хотя само по себе то, чем он занимается, достойно всяческого уважения? Итак, необходимо рассмотреть два вопроса: 1) почему он любит лишь подлинную славу? 2) почему он любит её так сильно? Выше мы уже выяснили нечто другое: почему всё, к чему он приступает, сначала сопровождается столь пылкими и бурными восторгами.

Итак, если сила Меркурия кроется в Солнце, то причина проявляется лишь отчасти. Действительно, Солнце находится в секстиле с Юпитером и в соединении с Венерой, которая есть ни что иное, как красота, и, возможно, следует добавить, что квадратура Юпитера предшествует Асценденту , Солнце стоит в VII доме, а Луна — в тригоне с Марсом . Кроме того, возможно, что Луна находится в Асценденте с весьма многими звёздами. К тому же Юпитер располагается в Середине неба. Разве всё это — не многочисленные благоприятные показатели? Итак, Солнце в секстиле с Сатурном делает подозрительным, беспокойным, боязливым, склонным к ночным бдениям и внимательным к мелким подробностям. Когда же он исследует собственную жизнь и обнаруживает свои ошибки, то более всего его огорчает то, что оп считает наихудшим. Но, как мы уже говорили, ему лишь кажется, что то или иное плохо. В действительности же хуже всего позор. Впрочем, к чему он скорбит о том, что познано? Не потому ли, что это естественно или является божественным инстинктом? Напротив! Люди заметнейшим образом отличаются друг от друга именно тем, что одним позор причиняет страдания, других оставляет равнодушными, мы различаем их, говоря о “хороших и дурных природных наклонностях”. Откуда проистекает столь сильное страдание? Может быть, из его большой любви к славе? Откуда берутся оба? Выше мы уже говорили о его страсти и любви к различного рода забавным выдумкам, теперь же настала пора поговорить о морали. Не потому ли страдание его столь мучительно, что он остро сознаёт, сколь плохо то или иное, а плохое, естественно, причиняет страдание? Тогда любую добродетель, присущую духу, можно было бы вывести из разума.

Итак, лучше всего, когда прилежание сочетается с дарованием. И здесь замечательно во всех отношениях, что лишь квадратурные лучи Марса усиливают чрезмерную торопливость и склонность начинать одновременно множество дел! Заметь: у Магерлина Юпитер находится в Асценденте , и Магерлин так заботится о признании и похвалах. Следовательно, простой характер Юпитера проявляется в стремлении к почестям. Но одно дело почести, а другое похвалы. Между тем и другим необходимо проводить различие: похвалы основаны на мнении людей и на их оценках, почести — на церемониях, приветствиях, титулах, знаках почтения и могут воздаваться без похвал. Но если почести не лишены смысла, то исходить они должны из похвал. Достоинство в определённой мере зиждется на почестях, если почести связаны с похвалами. Превосходство, преимущество служат основой, и их можно мыслить и без похвал. Авторитет в конечном счёте опирается на мнение других, а в первую очередь на то, чем мы воздаём за что-нибудь, и присущ в равной мере благодетелям и покровителям, даже если те и не удостаиваются похвал, а также людям могущественным и богатым. Добродетель есть нечто более таинственное, чем превосходство, ибо её принято рассматривать просто, а превосходство — лишь в сравнении. Авторитет — это молчаливое царствование без царских почестей. Так царствовал Лютер.

С юных лет у этого человека были враги. Первым, кто сохранился в моей памяти, был Хольп, а также все соученики: в Маульбронне — Молитор и Виланд, в Тюбингене — Кёллин, в Бебенхаузе — Брауибаум, в Маульбронне — Цигельхойзер. Перечисляю лишь тех, кто враждовал со мной на протяжении многих лет.

В Тюбингене — Гульденрейх, Зейфферт, Ортольф, в Адельберге — Лендлин, в Маульбронне — Ребшток, Хузель, в Тюбингене — Даубер, Лорхард. Мой родственник Егер, Иоганн Региус, Мурр, Шпейдель, Цейлер, брат Иоганна Молитора, А. Крелль, тесть; все это главным образом сверстники, остальным приходилось по тем или иным причинам сталкиваться с этим человеком. Итак, все помыслы его были постоянно заняты борьбой с врагами. Может быть, потому, что те всегда соперничали с ним в добродетели, преуспеянии, отличиях и удаче? Или потому, что Солнце и Меркурий стоят в VII доме?

Между Хольпом и мной шло тайное соперничество по учёным вопросам. Он часто ненавидел меня и дважды дрался со мной: один раз в Монберге и один раз в Маульбронне. Но после того как первое место досталось мне, наши отношения снова наладились. Он оставил надежду вернуть себе то место, которое он занимал прежде, и так как всегда опасался потерять это место, то после того, как его опасения сбылись, его антипатия ко мне прошла вместе с опасениями. Молитор питал ненависть ко мне втайне по той же причине, но внешне под благовидным предлогом: некогда я совершил предательство по отношению к нему и к Виланду. Но я молил о прощении и его, и Цигельхойзера. Кёллин не питал ко мне ненависти, скорее я ненавидел его. Он подружился было со мной, но потом стал непрестанно ссориться. Я никогда не помышлял о том, чтобы причинить ему зло, но разговоры с ним были для меня невыносимы. Наши отношения были вполне приличными, ибо в том, что касается чувств, они были более чем дружескими, а в делах — чистыми, не запятнанными ничем постыдным. Ни с кем другим у меня не было ни резких споров, ни длительных размолвок. Мой весёлый прав и склонность к шуткам привели к тому, что Браунбаум из друга стал моим врагом, из-за чего проистекла несправедливая для обоих сторон перемена, которую я переживал очень тяжело. Гульденрейха отвратили от меня прежде всего не сдержанное мною слово и необоснованность моих упреков.

Ненависть Зейфферта я вызвал сам, так как другие относились к нему без симпатий, а я вздумал поддразнивать его, хотя он не давал для этого ни малейшего повода. Ортольф не выносил меня так же, как я Кёллина, хотя я любил его, но напряжённость охватывала многие стороны наших взаимоотношений. Я пытался подражать ему в прилежании, почти завидовал его проницательности, а его злословие и подозрения заставляли меня пылать от негодования. Нередко каким-нибудь проступком я вызывал всеобщий гнев: в Адельберге — доносами, в Маульбронне — тем, что я вступился за Гретера, в Тюбингене — просьбами соблюдать тишину, высказанными в грубой форме. Лендлин поссорился со мной из-за неуместной надписи, Шпангеиберг — из-за того, что я, не подумав, поправил его, хотя он был преподавателем. Клебер возненавидел меня из-за ложного подозрения, как своего соперника, хотя некогда относился ко мне с большой приязнью. К этому привели мои несколько рискованные высказывания и его угрюмый нрав. Он часто задирал меня и грозил кулаками.

Ребштока раздражало, когда кто-нибудь похвально отзывался о моих способностях, сказалось и его легкомыслие, ибо он позволил себе дурно отзываться о моем отце. Когда же я хотел отомстить ему за это, получил побои, так как он был сильнее меня. Хузель также воспротивился моим успехам, хотя я не допустил по отношению к нему никакой несправедливости. Между Даубером и мной установились молчаливое соперничество и вражда, в которых обе стороны приняли почти равное участие. Однако он охотно наносил обиды. Лорхард не нашёл со мной общего языка. Я пытался даже подражать ему, но ни он, ни кто-нибудь другой об этом не знал. Наконец, как и Даубер, страстно желавший вернуть себе занятое мной первое место, он возненавидел меня и начал вредить мне, так как занимал более высокое положение. Позднее своей дерзостью я навлёк на себя гнев одного родственника из Мерингена. Наконец, когда мой спутник Егер злоупотребил моим доверием, обманул меня и растратил значительную часть моих денег, то я болел два года и пользовал свою хворь множеством сердитых писем. Между тем я заполучил ещё одного врага в лице ректора. Причиной его недовольства явилась моя недостаточная почтительность по отношению к нему как главе университета и пренебрежительное отношение к отдаваемым им распоряжениям. Поэтому он преследовал меня поистине удивительным образом. Я не стал мстить ему, но не обошел молчанием столь оскорбительное и несправедливое обращение со мной.

С Мурром мы стали врагами потому, что, оказав ему некогда благодеяния, я взял на себя смелость упрекнуть его, высказав сомнение в том, были ли у меня какие-нибудь основания для этого. Шпейдель, во всём доверявший ректору, используя авторитет должностного лица, стал вмешиваться в мою судьбу. Позднее он из корыстных соображений пытался расстроить мой брак; дабы снискать большую популярность, он вознамерился выдать вдову замуж по собственному усмотрению за человека, чьим благоволением ему необходимо было заручиться. Разумеется, ему непременно требовалось посоветоваться с вдовой. Пожалуй, наибольшее раздражение у меня вызывал Цейлер. Причин для этого было множество. Первоначально разногласия возникли из-за того, что я вопреки обычаю растратил приданое жены. За это он вздумал поколотить меня кулаками. Я имел право расходовать приданое жены, но, может быть, вёл себя не слишком вежливо, что и вызвало неудовольствие. Он же был неправ, ибо отрицал и то и другое. Неумеренность моих высказываний задела жён, и те почувствовали себя обиженными. Впоследствии многому помогло примирение. Он проявил необычайное своекорыстие, я выказал необычайный гнев.

Мои взаимоотношения с Мюллером складывались так же. Несправедливость, состоявшая в том, что тот презирал и ругал меня, в моем представлении была гораздо большей, чем в действительности. Он хотел увезти и забрать мою падчерицу. Все это делалось для того, чтобы уязвить меня, я же своей горечью и злобой лишь пуще подстрекал его, и он стал угрожать мне наихудшим. Причиной ссоры с братом были, во-первых, его глупая хвастливость, во-вторых, моя страсть к упрекам, в-третьих, его непомерные требования и, в-четвёртых, моя скупость. С Креллем мы разошлись в конечном счёте из-за религии, к тому же он нарушил уговор. С тех пор я гневаюсь на него. Дай бог, чтоб этот гнев был последним! Итак, причины отчасти кроются во мне, отчасти в судьбе. Во мне — гнев, нетерпимость по отношению к неприятным мне людям, дерзкая страсть строить насмешки и потешаться, наконец, неуёмное стремление судить обо всём, ибо я не упускаю случая сделать кому-нибудь замечание. В моей судьбе — неудачи, сопутствующие всему этому. Причина первого заключается в том, что Меркурий находится в квадратуре с Марсом, Луна — в тригоне с Марсом , Солнце — в секстиле с Сатурном, причина второго — в том, что Солнце и Меркурий пребывают в VII доме.

Этот человек обладает во всех отношениях собачьей натурой. Он вполне походил на обыкновенную дворнягу. Телом подвижен, сухощав, хорошо сложен. Ест он то же, что любят собаки: ему доставляет удовольствие обгладывать кости и грызть хлебные корки, он прожорлив и способен проглотить всё, что только попадётся ему на глаза. Пьет он мало. Довольствуется самым малым.

Прежде всего он непрестанно заискивает перед старшими, как собака перед хозяевами, во всём зависит от других, стремится услужить им, если его упрекают, не гневается на них и всячески старается вновь заслужить их расположение. Испробовал свои силы в простейших видах деятельности из области науки и политики, а также в домашних делах. Он находится в непрестанном движении, и некоторым из тех, кто пытается что-нибудь сделать, он следует, стремясь сделать и придумать то же самое. Он нетерпелив в обращении и тех, кто имеет обыкновение частенько заглядывать к нему в дом, встречает, как собака. Если кому-нибудь случается вызвать у него хотя бы малейшее неудовольствие, то он рычит и приходит в ярость, как собака. У него мёртвая хватка, он преследует тех, кто плохо делает что-нибудь, и лает. Он кусается, и у него всегда наготове острое словцо. За это многие его ненавидят и стараются избегать, по старшие ценят его, как дорожат хорошей собакой хозяева. Боится купаться, погружаться в воду и мыться, как собака. Итак, ему присуще необычайное легкомыслие, идущее от Меркурия в квадратуре с Марсом и Луны в тригоне с Марсом.

Но при всём том он заботится о своей жизни. Храбрость в жизни, преисполненной опасностями, чужда ему, возможно, потому, что эти аспекты не имеют отношения к Солнцу. Примерно так обстоит дело с легкомыслием, отсутствием храбрости, гневливостью, пристрастиями и всем прочим, в чём его обычно упрекают. Теперь речь должна идти о сторонах его состояния и характера, снискавших ему определённое уважение: о скромности, богобоязненности, верности, честности, изяществе. Наконец, нельзя не упомянуть и о том, что заложено в середине или из чего смешивается хорошее и дурное: например, о его любознательности и тщетном стремлении ко всему самому возвышенному.

В детстве учителя любили его за добрые задатки, хотя и в ту пору среди подобных себе он выделялся с худшей стороны. Достигнув юношеского возраста, он пользуется репутацией человека набожного, уравновешенного и прилежного, за что люди состоятельные благоволят к нему. Всё это относится к судьбе и будет рассмотрено в дальнейшем. Что же касается существа дела, то он действительно набожен до суеверия. Прочитав впервые десятилетним мальчиком священное писание, он решил при вступлении в брак следовать примеру Якова и Ревекки и хотел придерживаться предписаний закона божьего; огорчался, что ему, поскольку жизнь его уже запятнана грехом, не суждено стать пророком; за каждый поступок налагал на себя епитимью и лишь после того, как выполнял её, считал себя свободным от наказания. Обычно епитимья сводилась к повторению какой-нибудь заповеди. Если вечером, утомлённый, он засыпал, не успев произнести вечернюю молитву, то на рассвете он присоединял её к утренней молитве. Он взял за правило просить бога лишь о самом большом и лучшем с тем, чтобы бог, проявив себя во временной помощи, позволил ему уверовать в вечную помощь и т. д. Охотно выступал со страстными речами о религии перед народом.

Как уже говорилось выше, он с необычайным рвением заботился о собственной добродетели. Поэтому жизнь его не отмечена сколько-нибудь заметными пятнами, кроме тех, которые проистекают от гнева или легкомысленных и необдуманных забав. От этих пятен он не может избавиться и поныне. К старикам он относится с любовью и почтением, проявляет благодарность на словах и на деле и выказывает её. Он стремится во всём знать меру, пытаясь познать первопричины вещей. Если он с чем-нибудь не согласен, то тотчас же хватается за оружие. По его мнению, язычники отнюдь не могут считаться осуждёнными на вечные муки лишь потому, что они не веруют в Христа; по этой же причине он призывает к миру между лютеранами и кальвинистами, он справедлив к папистам и рекомендует им всем справедливость.

Всё это можно вывести из одного и того же источника, ибо всякий, обладающий здравым рассудком, думает так, любит бога и ближних; но ко всем его рассуждениям каким-то образом примешивается кротость. Откуда она исходит? Христианские добродетели исходят от бога. Почему не только из соединения Юпитера и Венеры с Солнцем? Несомненно, что Меркурию, находящемуся в квадратуре с Марсом , это качество не свойственно: кротость, о которой мы говорим, присуща лишь человеку. Может быть, в этом каким-то образом сказывается влияние Асцендента и Луны? Но, с другой стороны, чрезмерная кротость вырождается в глупость так же, как чрезмерная набожность — в суеверие. То же относится и и снам. Откуда они возникают? Может быть, их причину следует искать в том, что Луна находится в депрессии в XII доме? И хотя это предположение весьма правдоподобно и многими почитается за истину (что он принимает не без возражений), над всем одерживает верх благоприятное мнение и добрая слава. Почему? Может быть, потому, что Юпитер находится в X доме, а Солнце и Венера в VII? Так более сильная экзальтация Юпитера побеждает депрессию Луны... (На этом рукопись обрывается.).

Коль скоро на сайте завелись "разоблачители", утверждающие, что математика - это ересь, а гравитационного притяжения между планетами вообще не существует, давайте посмотрим, как закон всемирного тяготения позволяет описать явления, установленные эмпирическим путем. Ниже представлено математическое обоснование первого закона Кеплера.

1. Исторический экскурс

Для начала вспомним, как вообще этот закон появился на свет. В 1589 году некто Иоганн Кеплер (1571 - 1630) - выходец из бедной немецкой семьи - заканчивает школу и поступает в Тюбингенский университет. Там он занимается математикой и астрономией. Причем его учитель профессор Местлин, будучи тайным поклонником идей Коперника (гелиоцентрическая система мира), преподает в университете "правильную" теорию - систему мира Птолемея (т.е. геоцентрическую). Что, впрочем, не мешает ему познакомить своего ученика с идеями Коперника, и вскоре тот сам становится убежденным сторонником этой теории.

В 1596 году Кеплер издает свою "Космографическую тайну". Хотя работа представляет сомнительную научную ценность даже по тем временам, тем не менее она не остается незамеченной для датского астронома Тихо Браге, который вел астрономические наблюдения и вычисления уже на протяжении четверти века. Тот замечает самостоятельность мышления молодого ученого и знания им астрономии.

С 1600 года Иоганн работает помощником Браге. После его смерти в 1601 году Кеплер начинает изучать результаты трудов Тихо Браге - данные многолетних астрономических наблюдений. Дело в том, что к концу XVI века прусские таблицы (таблицы движения небесных тел, вычисленные на основе учений Коперника) стали давать существенные расхождения с наблюдаемыми данными: ошибка в положении планет доходила до 4-5 0 .

Для решения проблемы Кеплер был вынужден усложнить теорию Коперника. Он отказывается от идеи о том, что планеты движутся по круговым орбитам, что в конечном итоге позволяет ему решить проблему с расхождением теории с наблюдаемыми данными. Согласно его выводам, планеты движутся по орбитам, имеющим форму эллипса, причем Солнце находится в одном из его фокусов. Так что расстояние между планетой и Солнцем периодически меняется. Этот вывод известен как первый закон Кеплера .

2. Математическое обоснование

Посмотрим теперь, как первый закон Кеплера согласуется с законом всемирного тяготения. Для этого выведем закон движения тела в гравитационном поле, обладающем сферической симметрией. В этом случае выполняется закон сохранения момента импульса тела $\vec{L}=[\vec{r},\vec{p}]$. Это значит, что тело будет двигаться в плоскости, перпендикулярной вектору $\vec{L}$, причем ориентация этой плоскости в пространстве неизменна. В таком случае удобно использовать полярную систему координат $(r, \phi)$ с началом в источнике гравитационного поля (т.е. вектор $\vec{r}$ перпендикулярен вектору $\vec{L}$). Т.е. одно из тел (Солнце) мы помещаем в начало координат, и ниже выведем закон движения второго тела (планеты) в этом случае.

Нормальная и тангенциальная составляющие вектора скорости второго тела в выбранной системе координат выражаются следующими соотношениями (здесь и далее точка означает производную по времени):

$$ V_{r}=\dot{r}; V_{n}=r\dot{\phi} $$

Закон сохранения энергии и момента импульса в этом случае имеют следующий вид:

$$E = \frac{m\dot{r}^2}{2}+\frac{m(r\dot{\phi})^2}{2}-\frac{GMm}{r}=const \hspace{3cm}(2.1)$$ $$L = mr^2\dot{\phi}=const \hspace{3cm}(2.2)$$

Здесь $G$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса центрального тела, $m$ - масса "спутника", $E$ - полная механическая энергия "спутника", $L$ - величина его момента импульса.

Выражая $\dot{\phi}$ из (2.2) и подставляя его в (2.1), получаем:

$$ E = \frac{m\dot{r}^2}{2}+\frac{L^2}{2mr^2}-\frac{GMm}{r} \hspace{3cm}(2.3) $$

Перепишем полученное соотношение следующим образом:

$$ dt=\frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}(E-\frac{L^2}{2mr^2}+\frac{GMm}{r})}} \hspace{3cm}(2.4)$$

Из соотношения (2.2) следует:

$$ d\phi=\frac{L}{mr^2}dt $$

Подставляя вместо $dt$ выражение (2.4), получаем:

$$ d\phi=\frac{L}{r^2}\frac{dr}{\sqrt{2m(E-\frac{L^2}{2mr^2}+\frac{GMm}{r})}} \hspace{3cm}(2.5) $$

Чтобы проинтегрировать полученное выражение, перепишем выражение, стоящее под корнем в скобках, в следующем виде:

$$ E-((\frac{GMm^{3/2}}{\sqrt{2}L})^2 - \frac{GMm}{r} + \frac{L^2}{2mr^2}) + (\frac{GMm^{3/2}}{\sqrt{2}L})^2=$$ $$ =E-(\frac{GMm^{3/2}}{\sqrt{2}L}-\frac{L}{r\sqrt{2mr}})^2 + (\frac{GMm^{3/2}}{\sqrt{2}L})^2=$$ $$ =\frac{L^2}{2m}(\frac{2mE}{L^2}+(\frac{GMm^2}{L^2})^2-(\frac{GMm^2}{L^2}-\frac{1}{r})^2) $$

Введем следующее обозначение:

$$ \frac{GMm^2}{L^2}\equiv\frac{1}{p} $$

Продолжая преобразования, получаем:

$$ \frac{L^2}{2m}(\frac{2mE}{L^2}+(\frac{GMm^2}{L^2})^2-(\frac{GMm^2}{L^2}-\frac{1}{r})^2)=$$ $$\frac{L^2}{2m}(\frac{2mE}{L^2} + \frac{1}{p^2}-(\frac{1}{p}-\frac{1}{r})^2)=$$ $$\frac{L^2}{2m}(\frac{1}{p^2}(1+\frac{2EL^2}{(GM)^2m^3})-(\frac{1}{p}-\frac{1}{r})^2) $$

Введем обозначение:

$$ 1+\frac{2EL^2}{(GM)^2m^3} \equiv e^2 $$

В этом случае преобразуемое выражение принимает следующий вид:

$$ \frac{L^2e^2}{2mp^2}(1-(\frac{p}{e} (\frac{1}{p}-\frac{1}{r}))^2) $$

Введем для удобства следующую переменную:

$$ z=\frac{p}{e} (\frac{1}{p}-\frac{1}{r}) $$

Теперь уравнение (2.5) принимает вид:

$$ d\phi=\frac{p}{er^2}\frac{dr}{\sqrt{1-z^2}}=\frac{dz}{\sqrt{1-z^2}}\hspace{3cm}(2.6) $$

Проинтегрируем полученное выражение:

$$ \phi(r)=\int\frac{dz}{\sqrt{1-z^2}}=\arcsin{z}-\phi_0 $$

Здесь $\phi_0$ - конатснта интегрирования.

Наконец, получаем закон движения:

$$ r(\phi)=\frac{p}{1-e\sin{(\phi+\phi_0)}} $$

Положив константу интегрирования $\phi_0=\frac{3\pi}{2}$ (данное значение соответствует экстремуму функции $r(\phi)$), окончательно получаем:

$$r(\phi)=\frac{p}{1+e\cos{\phi}} \hspace{3cm}(2.7)$$ $$p=\frac{L^2}{GMm^2}$$ $$e=\sqrt{1+\frac{2EL^2}{(GM)^2m^3}}$$

Из курса аналитической геометрии известно, что выражение, полученное для функции $r(\phi)$, описывает кривые второго порядка: эллипс, параболу и гиперболу. Параметры $p$ и $e$ называют, соответственно, фокальным параметром и эксцентриситетом кривой. Фокальный параметр может принимать любое положительное значение, а величина эксцентриситета определяет вид траектории: если $e\in}