বিন্দু M(x, y, z) এবং বিন্দু M 1 (x + Dx, y + Dy, z + Dz) বিন্দুতে u(x, y, z) ফাংশনটি বিবেচনা করুন।

M এবং M বিন্দু দিয়ে 1 ভেক্টর আঁকি। স্থানাঙ্ক অক্ষ x, y, z এর দিকে এই ভেক্টরের প্রবণতার কোণগুলি যথাক্রমে a, b, g দ্বারা চিহ্নিত করা হবে। এই কোণগুলির কোসাইনগুলিকে বলা হয় দিক কোসাইনভেক্টর

আসুন ভেক্টরের M এবং M 1 বিন্দুর মধ্যে দূরত্বকে DS হিসাবে চিহ্নিত করি।

যেখানে e 1 , e 2 , e 3 এর পরিমাণ অসীম।

জ্যামিতিক বিবেচনা থেকে এটি স্পষ্ট:

সুতরাং, উপরের সমতাগুলি নিম্নরূপ উপস্থাপন করা যেতে পারে:

মনে রাখবেন যে পরিমাণ s স্কেলার। এটি শুধুমাত্র ভেক্টরের দিক নির্ধারণ করে।

এই সমীকরণ থেকে নিম্নলিখিত সংজ্ঞা নিম্নরূপ:

সীমা বলা হয় ভেক্টরের দিকে u(x, y, z) ফাংশনের ডেরিভেটিভস্থানাঙ্ক সহ একটি বিন্দুতে (x, y, z)।

একটি উদাহরণ ব্যবহার করে উপরের সমতার অর্থ ব্যাখ্যা করা যাক।

উদাহরণ 9.1। ভেক্টরের দিকে A(1, 2) বিন্দুতে z = x 2 + y 2 x ফাংশনের ডেরিভেটিভ গণনা করুন। খ (3, 0)।

সমাধান।প্রথমত, ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি নির্ধারণ করা প্রয়োজন।

আমরা সাধারণ আকারে z ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পাই:

A বিন্দুতে এই পরিমাণের মান:

একটি ভেক্টরের দিক কোসাইনগুলি খুঁজে পেতে, আমরা নিম্নলিখিত রূপান্তরগুলি সম্পাদন করি:

=

একটি প্রদত্ত ভেক্টর বরাবর নির্দেশিত একটি নির্বিচারে ভেক্টর একটি মান হিসাবে নেওয়া হয়, যেমন পার্থক্যের দিক নির্ধারণ করা।

এখান থেকে আমরা ভেক্টরের কোসাইনের দিকনির্দেশের মানগুলি পাই:

cosa = ; cosb = -

অবশেষে আমরা পাই: - ভেক্টরের দিকে একটি প্রদত্ত ফাংশনের ডেরিভেটিভের মান।

যদি কিছু ডোমেনে D একটি ফাংশন u = u(x, y, z) এবং কিছু ভেক্টর দেওয়া হয় যার স্থানাঙ্ক অক্ষের অনুমানগুলি সংশ্লিষ্ট বিন্দুতে u ফাংশনের মানের সমান

,

তারপর এই ভেক্টর বলা হয় গ্রেডিয়েন্টফাংশন u.

এই ক্ষেত্রে, তারা বলে যে D অঞ্চলে গ্রেডিয়েন্টের একটি ক্ষেত্র নির্দিষ্ট করা হয়েছে।

উপপাদ্য: ফাংশন u = u(x, y, z) এবং গ্রেডিয়েন্ট ক্ষেত্র দেওয়া যাক

.

তারপর কিছু ভেক্টরের দিকের সাপেক্ষে ডেরিভেটিভটি ভেক্টরের উপর ভেক্টর গ্র্যাডুর অভিক্ষেপের সমান।

প্রমাণ: একটি ইউনিট ভেক্টর এবং কিছু ফাংশন u = u(x, y, z) বিবেচনা করুন এবং ভেক্টরের স্কেলার গুণফল বের করুন এবং স্নাতক.

এই সমতার ডান দিকের অভিব্যক্তিটি s এর দিকে u ফাংশনের ডেরিভেটিভ।

সেগুলো. . ভেক্টরের মধ্যে কোণ হলে স্নাতকএবং j দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, তাহলে স্কেলার গুণফলকে এই ভেক্টরগুলির মডিউলির গুণফল এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন হিসাবে লেখা যেতে পারে। ভেক্টর যে একক তা বিবেচনায় নিয়ে, অর্থাৎ এর মডুলাস একের সমান, আমরা লিখতে পারি:

এই সমতার ডান দিকের অভিব্যক্তিটি ভেক্টরের অভিক্ষেপ স্নাতক uভেক্টরের কাছে

উপপাদ্য প্রমাণিত।

গ্রেডিয়েন্টের জ্যামিতিক এবং ভৌত অর্থ বোঝানোর জন্য, ধরা যাক যে গ্রেডিয়েন্ট হল একটি ভেক্টর যা যেকোনো সময়ে কিছু স্কেলার ফিল্ডের দ্রুততম পরিবর্তনের দিক নির্দেশ করে। পদার্থবিজ্ঞানে, তাপমাত্রা গ্রেডিয়েন্ট, চাপ গ্রেডিয়েন্ট ইত্যাদির মতো ধারণা রয়েছে। সেগুলো. গ্রেডিয়েন্টের দিক হল ফাংশনের দ্রুততম বৃদ্ধির দিক।

জ্যামিতিক উপস্থাপনা দৃষ্টিকোণ থেকে, গ্রেডিয়েন্টটি ফাংশন স্তরের পৃষ্ঠের লম্ব।

বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভের ধারণাটি প্রবর্তন করে, আমরা অন্য সমস্ত যুক্তি অপরিবর্তিত রেখে ভেরিয়েবলগুলিকে পৃথকভাবে বৃদ্ধি করেছি। বিশেষ করে, যদি আমরা দুটি ভেরিয়েবল z = f(x,y) এর একটি ফাংশন বিবেচনা করি, তাহলে হয় x পরিবর্তনশীলকে একটি বৃদ্ধি Δx দেওয়া হয়েছিল এবং তারপরে ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনে স্থানাঙ্ক সহ একটি বিন্দু থেকে একটি রূপান্তর ছিল। (x,y) স্থানাঙ্ক সহ একটি বিন্দুতে (x + Δx;y); অথবা ভেরিয়েবল y কে একটি বৃদ্ধি Δy দেওয়া হয়েছিল, এবং তারপর ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনে স্থানাঙ্ক (x,y) সহ একটি বিন্দু থেকে স্থানাঙ্ক (x; y + Δy) সহ একটি বিন্দুতে একটি রূপান্তর ছিল (চিত্র 5.6 দেখুন ) এইভাবে, আমরা যে বিন্দুতে ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভ নিয়েছি তা সমতলে স্থানাঙ্ক অক্ষের সমান্তরাল দিকে সরে গেছে (হয় x-অক্ষের সমান্তরাল বা অর্ডিনেটের সমান্তরাল)। আসুন এখন বিবেচনা করা যাক যখন নির্দেশটি নির্বিচারে নেওয়া যেতে পারে, যেমন ইনক্রিমেন্ট একবারে বিভিন্ন ভেরিয়েবলে দেওয়া হয়। দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের ক্ষেত্রে, আমরা বিন্দুতে চলে যাব (x + Δx; y + Δy), এবং স্থানচ্যুতি হবে Δ l(চিত্র 5.6 দেখুন)।

একটি প্রদত্ত দিকে অগ্রসর হলে, z ফাংশন Δ বৃদ্ধি পাবে l z = f(x + Δx; y + Δy) – f(x,y), একটি নির্দিষ্ট দিকে z ফাংশনের বৃদ্ধি বলা হয় l.

z এর ডেরিভেটিভ l` দিকে l দুটি ভেরিয়েবলের ফাংশন
z = f(x,y) হল এই দিকে ফাংশন বৃদ্ধির অনুপাতের সীমা স্থানচ্যুতি মান Δ lযেহেতু পরেরটি শূন্যের দিকে থাকে, অর্থাৎ .

ডেরিভেটিভ z l` দিক নির্দেশ করে ফাংশন পরিবর্তনের হার l.

দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভের ধারণাটি যেকোন সংখ্যক ভেরিয়েবল সহ ফাংশনে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে।

চিত্র 5.6 – একটি বিন্দুকে একটি দিকে সরানো l

এটা প্রমাণ করা যেতে পারে যে z l` = z x `cos α + z y `cos β, যেখানে α এবং β হল স্থানাঙ্ক অক্ষের সাথে বিন্দুর গতিবিধি দ্বারা গঠিত কোণ (চিত্র 5.6 দেখুন)।

উদাহরণস্বরূপ, বিন্দুতে z = ln (x 2 + xy) ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যাক
(3; 1) এই বিন্দু থেকে বিন্দুতে যাওয়ার দিকে (6; -3) (চিত্র 5.7 দেখুন)।

এটি করার জন্য, প্রথমে বিন্দুতে এই ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি খুঁজুন (3; 1): z x ` = (2x + y)/(x 2 + xy) = (2*3 + 1)/(3 2 + 3* 1) = 7/12;
z y ` = x/(x 2 + xy) = 3/(3 2 + 3*1) = 3/12 = 1/4।

উল্লেখ্য যে Δx = 6 – 3 = 3; Δy = -3 – 1 = -4; (Δ l) 2 = 9 + 16 = 25;
|Δ l| = 5. তারপর cos α = 3/5; cos β = -4/5; z l` = z x `cos α + z y `cos β = (7/12)*(3/5) - (1/4)*(4/5) = (7/4)*(1/5) - (1/4)*(4 / 5) = (7*1 – 1*4)/(4*5) = 3/20।

গ্রেডিয়েন্ট ফাংশন

স্কুলের গণিত কোর্স থেকে আমরা জানি যে সমতলের একটি ভেক্টর একটি নির্দেশিত অংশ। এর শুরু এবং শেষ দুটি স্থানাঙ্ক রয়েছে। ভেক্টর স্থানাঙ্কগুলি শেষ স্থানাঙ্ক থেকে শুরু স্থানাঙ্কগুলি বিয়োগ করে গণনা করা হয়।

একটি ভেক্টরের ধারণা n-মাত্রিক স্থান পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে (দুটি স্থানাঙ্কের পরিবর্তে n স্থানাঙ্ক থাকবে)।

গ্রেডিয়েন্টফাংশনের grad z = f(x 1, x 2, ...x n) একটি বিন্দুতে ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভের ভেক্টর, যেমন স্থানাঙ্ক সহ ভেক্টর .

এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে একটি ফাংশনের গ্রেডিয়েন্ট একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের স্তরের দ্রুততম বৃদ্ধির দিক নির্দেশ করে।

উদাহরণস্বরূপ, z = 2x 1 + x 2 ফাংশনের জন্য (চিত্র 5.8 দেখুন), যে কোনো বিন্দুতে গ্রেডিয়েন্টের স্থানাঙ্ক থাকবে (2; 1)। আপনি এটিকে বিভিন্ন উপায়ে একটি সমতলে তৈরি করতে পারেন, যেকোন বিন্দুকে ভেক্টরের শুরু হিসাবে নিয়ে। উদাহরণস্বরূপ, আপনি পয়েন্ট (0; 0) থেকে বিন্দু (2; 1), অথবা বিন্দু (1; 0) থেকে বিন্দু (3; 1), অথবা বিন্দু (0; 3) থেকে বিন্দু (2; 4) সংযোগ করতে পারেন, বা তাই .P. (চিত্র 5.8 দেখুন)। এইভাবে নির্মিত সমস্ত ভেক্টরের স্থানাঙ্ক থাকবে (2 – 0; 1 – 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

চিত্র 5.8 থেকে স্পষ্টভাবে দেখা যায় যে ফাংশনের স্তর গ্রেডিয়েন্টের দিকে বৃদ্ধি পায়, যেহেতু নির্মিত স্তরের লাইনগুলি 4 > 3 > 2 স্তরের মানগুলির সাথে মিলে যায়৷

চিত্র 5.8 - ফাংশনের গ্রেডিয়েন্ট z = 2x 1 + x 2

আরেকটি উদাহরণ বিবেচনা করা যাক - ফাংশন z = 1/(x 1 x 2)। এই ফাংশনের গ্রেডিয়েন্ট আর সবসময় বিভিন্ন বিন্দুতে একই থাকবে না, যেহেতু এর স্থানাঙ্কগুলি সূত্র (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)) দ্বারা নির্ধারিত হয়।

চিত্র 5.9 লেভেল 2 এবং 10 এর জন্য z = 1/(x 1 x 2) ফাংশনের লেভেল লাইনগুলি দেখায় (সরলরেখা 1/(x 1 x 2) = 2 একটি বিন্দুযুক্ত রেখা দ্বারা নির্দেশিত, এবং সরলরেখাটি
1/(x 1 x 2) = 10 – কঠিন রেখা)।

চিত্র 5.9 - বিভিন্ন বিন্দুতে z = 1/(x 1 x 2) ফাংশনের গ্রেডিয়েন্ট

উদাহরণস্বরূপ, বিন্দু (0.5; 1) নিন এবং এই বিন্দুতে গ্রেডিয়েন্ট গণনা করুন: (-1/(0.5 2 *1); -1/(0.5*1 2)) = (-4; - 2)। লক্ষ্য করুন যে বিন্দুটি (0.5; 1) লেভেল লাইন 1/(x 1 x 2) = 2-এ অবস্থিত, কারণ z = f(0.5; 1) = 1/(0.5*1) = 2. ভেক্টর চিত্রিত করতে ( -4; -2) চিত্র 5.9-এ, আমরা বিন্দু (0.5; 1) বিন্দু (-3.5; -1) এর সাথে সংযুক্ত করি, কারণ
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

একই স্তরের লাইনে আরেকটি বিন্দু নেওয়া যাক, উদাহরণস্বরূপ, বিন্দু (1; 0.5) (z = f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2)। এবার গ্রেডিয়েন্ট গণনা করা যাক
(-1/(1 2 *0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4)। চিত্র 5.9-এ এটিকে চিত্রিত করতে, আমরা বিন্দু (1; 0.5) বিন্দু (-1; -3.5) এর সাথে সংযুক্ত করি, কারণ (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4)।

একই স্তরের লাইনে আরেকটি বিন্দু নেওয়া যাক, কিন্তু এখন শুধুমাত্র একটি নন-ইতিবাচক স্থানাঙ্ক কোয়ার্টারে। উদাহরণস্বরূপ, বিন্দু (-0.5; -1) (z = f(-0.5; -1) = 1/((-1)*(-0.5)) = 2)। এই পয়েন্টে গ্রেডিয়েন্ট সমান হবে
(-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2)। বিন্দু (3.5; 1) এর সাথে বিন্দু (-0.5; -1) সংযোগ করে চিত্র 5.9 এ চিত্রিত করা যাক, কারণ (3.5 – (-0.5); 1 – (-1)) = (4; 2)।

এটি লক্ষ করা উচিত যে বিবেচনা করা তিনটি ক্ষেত্রেই, গ্রেডিয়েন্ট ফাংশন স্তরের বৃদ্ধির দিকটি দেখায় (লেভেল লাইন 1/(x 1 x 2) = 10 > 2 এর দিকে)।

এটা প্রমাণ করা যেতে পারে যে গ্রেডিয়েন্ট সবসময় একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া লেভেল রেখার (স্তরের পৃষ্ঠ) লম্ব।

স্কেলার ক্ষেত্রস্থানের একটি অংশ (বা সমস্ত স্থান) বলা হয়, প্রতিটি বিন্দু যার সাথে কিছু স্কেলার পরিমাণের সংখ্যাসূচক মান মিলে যায়।

উদাহরণ

প্রতিটি বিন্দুতে একটি নির্দিষ্ট তাপমাত্রার মান আছে এমন একটি দেহ হল একটি স্কেলার ক্ষেত্র।

একটি অসঙ্গতিপূর্ণ শরীর, যার প্রতিটি বিন্দু একটি নির্দিষ্ট ঘনত্বের সাথে মিলে যায় - একটি স্কেলার ঘনত্বের ক্ষেত্র।

এই সমস্ত ক্ষেত্রে, স্কেলার পরিমাণ U সময়ের উপর নির্ভর করে না, তবে স্থানের M বিন্দুর অবস্থানের (স্থানাঙ্ক) উপর নির্ভর করে, অর্থাৎ এটি তিনটি চলকের একটি ফাংশন, একে বলা হয় ক্ষেত্রের ফাংশন. এবং বিপরীতভাবে, তিনটি ভেরিয়েবলের প্রতিটি ফাংশন u=f(x, y, z)কিছু স্কেলার ক্ষেত্র নির্দিষ্ট করে।

ফ্ল্যাট স্কেলার ফিল্ড ফাংশন দুটি ভেরিয়েবলের উপর নির্ভর করে z=f(x, y).

স্কেলার ক্ষেত্র বিবেচনা করুন u=f(x, y, z)।

একটি ভেক্টর যার স্থানাঙ্কগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে গণনা করা ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভস বলে গ্রেডিয়েন্টএই বিন্দুতে ফাংশন বা স্কেলার ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্ট।

একটি ভেক্টর এবং এটিতে দুটি বিন্দু বিবেচনা করুন M 0 (x 0, y 0, z 0)এবং . চলুন ফাংশনের ক্রমবর্ধমান দিকটি সন্ধান করি:

দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভনিম্নলিখিত সীমা বলা হয় যদি এটি বিদ্যমান থাকে:

ভেক্টরের দিক কোসাইন কোথায়; α, β, γ - স্থানাঙ্ক অক্ষের সাথে ভেক্টর দ্বারা গঠিত কোণ, যদি।

দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের জন্য, এই সূত্রগুলি ফর্ম নেয়:

বা ,

কারণ .

একই বিন্দুতে গ্রেডিয়েন্ট এবং দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভের মধ্যে একটি সম্পর্ক রয়েছে।

উপপাদ্য।একটি ফাংশনের গ্রেডিয়েন্টের স্কেলার গুণফল এবং কিছু দিকের একটি ভেক্টর এই ভেক্টরের দিকের এই ফাংশনের ডেরিভেটিভের সমান:

.

পরিণতি।দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভের সর্বাধিক মূল্য রয়েছে যদি এই দিকটি গ্রেডিয়েন্টের দিকের সাথে মিলে যায় (স্কেলার পণ্যের সংজ্ঞা ব্যবহার করে নিজেকে জাস্টিফাই করুন এবং ধরে নিন)।

উপসংহার:

1. গ্রেডিয়েন্ট হল একটি ভেক্টর যা একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ফাংশনের সর্বাধিক বৃদ্ধির দিক নির্দেশ করে এবং একটি মডিউল সংখ্যাগতভাবে এই বৃদ্ধির হারের সমান থাকে:

.

2. দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভ হল একটি ফাংশনের দিক পরিবর্তনের হার: যদি , তাহলে এই দিকের ফাংশন বৃদ্ধি পায়, যদি , তাহলে ফাংশনটি হ্রাস পায়।

3. যদি ভেক্টর কোনো একটি ভেক্টরের সাথে মিলে যায়, তাহলে এই ভেক্টরের দিকনির্দেশের ক্ষেত্রে ডেরিভেটিভটি সংশ্লিষ্ট আংশিক ডেরিভেটিভের সাথে মিলে যায়।

উদাহরণস্বরূপ, যদি, তাহলে।

উদাহরণ

ফাংশন দেওয়া হয়েছে , বিন্দু A(1, 2)এবং ভেক্টর।

খুঁজুন: 1);

সমাধান

1) ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি সন্ধান করুন এবং A বিন্দুতে তাদের গণনা করুন।

, .

তারপর .

2) ভেক্টরের দিক কোসাইনগুলি খুঁজুন:

উত্তর: ; .

সাহিত্য [ 1,2]

স্ব-পরীক্ষার প্রশ্ন:

1. দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনকে কী বলা হয়, এর সংজ্ঞার ডোমেইন?

2. কিভাবে আংশিক ডেরিভেটিভ নির্ধারণ করা হয়?

3. আংশিক ডেরিভেটিভের জ্যামিতিক অর্থ কী?

4. একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে স্কেলার ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্টকে কী বলা হয়?

5. দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভকে কী বলা হয়?

6. দুটি ভেরিয়েবলের ফাংশনের এক্সট্রিমা বের করার নিয়ম প্রণয়ন কর।

বিকল্প 1

টাস্ক নং 1

ক) ; খ) ;

ভি); ছ) .

টাস্ক নং 2ধারাবাহিকতার জন্য একটি ফাংশন পরীক্ষা করুন: ফাংশনের বিচ্ছিন্নতা বিন্দুগুলি খুঁজুন এবং তাদের ধরন নির্ধারণ করুন। ফাংশনের একটি পরিকল্পিত গ্রাফ তৈরি করুন।

টাস্ক নংএকটি জটিল সংখ্যা Z দেওয়া হয়েছে। প্রয়োজনীয়: Z সংখ্যাটি বীজগণিত এবং ত্রিকোণমিতিক আকারে লিখুন। .

টাস্ক নং 4।

1) y = 3x 5 – sinx, 2) y = tgx, 3) y = , 4)।

টাস্ক নং 5।ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি ফাংশন তদন্ত করুন এবং অধ্যয়নের ফলাফল ব্যবহার করে একটি গ্রাফ তৈরি করুন। .

টাস্ক নং 6।ফাংশন z=f(x,y) দেওয়া আছে। চেক করুন পরিচয় F≡0 ধারণ করে কিনা?

টাস্ক নং 7একটি ফাংশন দেওয়া Z=x 2 +xy+y 2, বিন্দু এবং ভেক্টর। অনুসন্ধান:

1) স্নাতক zবিন্দুতে ক;

2) একটি বিন্দুতে ডেরিভেটিভ কভেক্টরের দিকে .

বিকল্প 2

টাস্ক নং 1 L'Hopital এর নিয়ম ব্যবহার না করে ফাংশনের সীমা গণনা করুন।

ক) ; খ) ;

ভি) ; ছ) .

টাস্ক নং 2ধারাবাহিকতার জন্য একটি ফাংশন পরীক্ষা করুন: ফাংশনের বিচ্ছিন্নতা বিন্দুগুলি খুঁজুন এবং তাদের ধরন নির্ধারণ করুন। ফাংশনের একটি পরিকল্পিত গ্রাফ তৈরি করুন।

টাস্ক নং 3একটি জটিল সংখ্যা Z দেওয়া হয়েছে। প্রয়োজনীয়: Z সংখ্যাটি বীজগণিত এবং ত্রিকোণমিতিক আকারে লিখুন।

টাস্ক নং 4।এই ফাংশনগুলির প্রথম অর্ডার ডেরিভেটিভগুলি খুঁজুন।

দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভ।

প্লেনে চলো XOYবিন্দু অবস্থিত এম 0 (এক্স 0 ,y 0 ) এর একটি নির্বিচারে কোণ সেট করা যাক কএবং একই সমতলে বিন্দুগুলির একটি সেট বিবেচনা করুন, যার স্থানাঙ্কগুলি সূত্র থেকে নির্ধারিত হয়

x = x 0 + tকারণ a, y = y 0 + tপাপ ক (1)

এখানে t- একটি প্যারামিটার যা যেকোনো সংখ্যার সমান হতে পারে। সূত্র (1) থেকে এটি নিম্নরূপ:

(y - y 0)/(x - x 0) = tg ক

এই যে সব পয়েন্ট মানে এম(x,y), যার স্থানাঙ্কগুলি সমতাকে সন্তুষ্ট করে (1), বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখায় অবস্থান করে এম 0 (এক্স 0 ,y 0) এবং কোণের উপাদান কএক্সেল সহ OX. প্রতিটি মান tএকটি একক পয়েন্টের সাথে মিলে যায় এম(x,y), এই লাইনে শুয়ে আছে, এবং সূত্র অনুযায়ী (1) বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব থেকে এম 0 (এক্স 0 ,y 0) এবং এম(x,y) সমান t. আমরা এই সরলরেখাটিকে একটি সংখ্যা অক্ষ হিসাবে বিবেচনা করতে পারি যার একটি ধনাত্মক দিকনির্দেশ পরামিতির বৃদ্ধি দ্বারা নির্ধারিত হয় t. আসুন প্রতীক দ্বারা এই অক্ষের ইতিবাচক দিক নির্দেশ করি l.

l.একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ z = f(x,y) পয়েন্টে এম 0 (এক্স 0 ,y 0)দিকে l নম্বর বলা হয়

একটি ফাংশনের দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভকে একটি জ্যামিতিক ব্যাখ্যা দেওয়া যেতে পারে। যদি সরাসরি মাধ্যমে l, সূত্র দ্বারা নির্ধারিত (1), একটি উল্লম্ব সমতল আঁকুন পৃ(আসলে, ত্রিমাত্রিক স্থানে, সমীকরণ (1) এই সমতলটিকে সংজ্ঞায়িত করুন), তাহলে এই সমতলটি ফাংশনের পৃষ্ঠ-গ্রাফকে ছেদ করবে z = f(x,y) বরাবর

কিছু স্থানিক বক্ররেখা এল. অনুভূমিক সমতলের মধ্যবর্তী কোণের স্পর্শক এবং বিন্দুতে এই বক্ররেখার স্পর্শক এম 0 (এক্স 0 ,y 0) দিকটির এই বিন্দুতে ফাংশনের ডেরিভেটিভের সমান l.

গাণিতিক বিশ্লেষণের যে কোনও কোর্সে এটি প্রমাণিত হয় যে নির্দেশমূলক ডেরিভেটিভ, সূত্র (2) দ্বারা নির্ধারিত, আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে

উল্লেখ্য যে আংশিক ডেরিভেটিভের সাথে সাপেক্ষে এক্সএছাড়াও দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভ। এই দিকটি সমতা দ্বারা নির্ধারিত হয়: cos a = 1; পাপ a = 0. একইভাবে, সাপেক্ষে আংশিক ডেরিভেটিভ yনির্দেশের সাপেক্ষে ডেরিভেটিভ, যা শর্তের দ্বারা নির্দিষ্ট করা যেতে পারে a = 0; পাপ a = 1.

সূত্র (3) বিশ্লেষণ করার আগে, আমরা ভেক্টর বীজগণিত কোর্স থেকে কিছু ধারণা এবং তথ্য উপস্থাপন করি। একটি স্থানাঙ্ক সিস্টেম সহ একটি সমতলে যাক XOYএকটি নির্দেশিত সেগমেন্ট বা (যা একই জিনিস) একটি ভেক্টর, এবং বিন্দু প্রদত্ত এম 0 (এক্স 0 ,y 0) এর সূচনা বিন্দু, এবং এম 1 (এক্স 1 ,y 1) - শেষ বিন্দু। অক্ষ বরাবর ভেক্টরের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করা যাক OXসমান সংখ্যা হিসাবে এক্স 1 ‑ এক্স 0, এবং সমান একটি সংখ্যা হিসাবে অক্ষ বরাবর স্থানাঙ্ক y 1 ‑ y 0 আপনি যদি কোন সংখ্যার একটি অর্ডার করা জোড়া নির্দিষ্ট করেন কএবং খ, তাহলে এই সংখ্যাগুলিকে সমতলের কিছু ভেক্টরের স্থানাঙ্ক হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে XOY, এবং এই ভেক্টরের দৈর্ঘ্য সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়

,

এবং প্রবণ কোণের স্পর্শক gঅক্ষ থেকে ভেক্টর OXসূত্র tg থেকে নির্ধারিত g = b/a(দ্রষ্টব্য যে tg এর মান জেনে g, সেইসাথে সংখ্যার যেকোনো একটি চিহ্ন কএবং খ, আমরা কোণ নির্ধারণ করতে পারি g 2 থেকে সঠিক পি).

আমরা একটি ভেক্টরের উপস্থাপনা লিখব তার স্থানাঙ্কগুলির একটি জোড়া আকারে আকারে। এই উপস্থাপনা একটি বৈশিষ্ট্য বৈশিষ্ট্য আছে: এটি সমতলে ভেক্টরের অবস্থান নির্ধারণ করে না XOY. এটি নির্ধারণ করতে, আপনাকে ভেক্টরের স্থানাঙ্কের সাথে উল্লেখ করতে হবে, উদাহরণস্বরূপ, এর শুরুর স্থানের স্থানাঙ্ক বা, এটিকে বলা যেতে পারে, ভেক্টরের প্রয়োগের বিন্দু।

যদি দুটি ভেক্টর দেওয়া হয়: এবং তারপর স্কালে পণ্যএই ভেক্টরগুলির মধ্যে সংখ্যা বলা হয় ( j- ভেক্টরের মধ্যে কোণ)।

যেকোনো ভেক্টর বীজগণিত কোর্সে এটি প্রমাণিত হয় যে ভেক্টরগুলির স্কেলার গুণফল এবং এই ভেক্টরগুলির একই স্থানাঙ্কের গুণফলের সমষ্টির সমান:

= ক 1 খ 1 + ক 2 খ 2 . (4)

কিছু এলাকায় যাক জিসমতল XOYফাংশন নির্দিষ্ট z = f(x,y) , যার উভয় আর্গুমেন্টের ক্ষেত্রে ক্রমাগত আংশিক ডেরিভেটিভ রয়েছে।

গ্রেডিয়েন্টবা গ্রেডিয়েন্ট ভেক্টর ফাংশন f(x,y)বিন্দুতে (x,y) О G হল ভেক্টর যা সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়

.

ফাংশন চএলাকার প্রতিটি পয়েন্টের জন্য সংজ্ঞায়িত করে জিএই বিন্দু থেকে নির্গত গ্রেডিয়েন্ট ভেক্টর।

এখন সূত্রে (3) ফিরে আসা যাক। আমরা এর ডান দিকটিকে ভেক্টরের স্কেলার গুণ হিসাবে বিবেচনা করতে পারি। তাদের মধ্যে প্রথমটি ফাংশনের গ্রেডিয়েন্ট ভেক্টর z = f(x,y) বিন্দুতে এম 0 (এক্স 0 ,y 0):

.

দ্বিতীয়টি একটি ভেক্টর . এটি একটি ভেক্টর যার দৈর্ঘ্য 1 এবং অক্স অক্ষের সমান প্রবণতার একটি কোণ ক.

এখন আমরা উপসংহার করতে পারি যে ফাংশনের ডেরিভেটিভ z = f(x,y) কোণ দ্বারা নির্ধারিত দিক কঅক্ষে কাত OX, বিন্দুতে এম 0 (এক্স 0 ,y 0) সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে

. (5)

এখানে খ- ভেক্টর এবং ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ যে দিক দিয়ে ডেরিভেটিভ নেওয়া হয়েছে তা নির্দিষ্ট করে। এখানে সেটাও বিবেচনায় নেওয়া হয়েছে

ফাংশন যাক u = f (x, y, z)কিছু অঞ্চলে একটানা ডিএবং এই অঞ্চলে ক্রমাগত আংশিক ডেরিভেটিভ আছে। আমাদের বিবেচনাধীন এলাকায় একটি বিন্দু নির্বাচন করা যাক M(x,y,z)এবং এটি থেকে একটি ভেক্টর আঁকুন এস, যার দিক কোসাইন হল cosα, cosβ, cosγ। ভেক্টরের উপর এস দূরত্বে Δ sএর শুরু থেকে আমরা একটি বিন্দু খুঁজে পাব এম 1 (x+Δ x, y+Δ y, z+Δ z), কোথায়

এর ফাংশন সম্পূর্ণ বৃদ্ধি কল্পনা করা যাক চযেমন:

কোথায়

Δ দ্বারা ভাগ করার পর sআমরা পেতে:

কারন পূর্ববর্তী সমতা এইভাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে:

গ্রেডিয়েন্ট।

সংজ্ঞাএ অনুপাতের সীমা বলা হয় একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ u = f (x, y, z)ভেক্টরের দিকে এস এবং মনোনীত করা হয়।

এই ক্ষেত্রে, (1) থেকে আমরা পাই:

(2)

মন্তব্য 1. আংশিক ডেরিভেটিভ হল দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। উদাহরণস্বরূপ, যখন আমরা পেতে:

মন্তব্য 2. উপরে, দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভের জ্যামিতিক অর্থকে পৃষ্ঠের ছেদ রেখার স্পর্শকগুলির কৌণিক সহগ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল, যা সমতল সহ ফাংশনের গ্রাফ। x = x 0এবং y = y 0. একইভাবে, আমরা এই ফাংশনের ডেরিভেটিভকে দিক বিবেচনা করতে পারি lবিন্দুতে M(x 0, y 0)একটি প্রদত্ত পৃষ্ঠের ছেদ রেখার কৌণিক সহগ এবং একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সমতল এম O অক্ষের সমান্তরাল zএবং সোজা l.

সংজ্ঞাএকটি ভেক্টর যার একটি নির্দিষ্ট অঞ্চলের প্রতিটি বিন্দুতে স্থানাঙ্কগুলি ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভ u = f (x, y, z)এই সময়ে বলা হয় গ্রেডিয়েন্টফাংশন u = f (x, y, z)।

পদবি: স্নাতক u = .

গ্রেডিয়েন্ট বৈশিষ্ট্য।

1. কিছু ভেক্টরের দিকের সাপেক্ষে ডেরিভেটিভ এস ভেক্টর গ্রেডের অভিক্ষেপের সমান uভেক্টরের কাছে এস . প্রমাণ। একক দিক ভেক্টর এস দেখতে e এস =(cosα, cosβ, cosγ), তাই সূত্রের ডানদিকের (4.7) হল ভেক্টর গ্র্যাডের স্কেলার গুণফল uএবং e s , যে, নির্দিষ্ট অভিক্ষেপ.

2. ভেক্টরের দিকে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ডেরিভেটিভ এস গ্র্যাডের সমান সর্বোচ্চ মান আছে u|, যদি এই দিকটি গ্রেডিয়েন্টের দিকের সাথে মিলে যায়। প্রমাণ। ভেক্টরের মধ্যকার কোণটি বোঝাই এস এবং স্নাতক uφ মাধ্যমে। তারপর সম্পত্তি 1 থেকে এটি যে |গ্র্যাড অনুসরণ করে u|∙cosφ, (4.8) অতএব, এর সর্বশ্রেষ্ঠ মান φ=0 এ অর্জিত হয় এবং এটি |grad এর সমান u|.

3. ভেক্টর গ্র্যাডের সাথে লম্ব ভেক্টরের দিক থেকে ডেরিভেটিভ u, শূন্যের সমান।

প্রমাণ। এই ক্ষেত্রে, সূত্রে (4.8)

4. যদি z = f(x,y)দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন, তারপর গ্রেড চ= লেভেল লাইনে লম্ব নির্দেশিত f (x,y) = c,এই পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যাচ্ছে।

বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের ফাংশনের সীমা। একটি extremum জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত. একটি extremum জন্য যথেষ্ট শর্ত. শর্তাধীন চরম। Lagrange গুণক পদ্ধতি। বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মান খোঁজা.

সংজ্ঞা 1.ডট M 0 (x 0, y 0)ডাকা সর্বোচ্চ পয়েন্টফাংশন z = f (x, y),যদি f (x o, y o) > f(x,y)সব পয়েন্টের জন্য (x, y) M 0.

সংজ্ঞা 2. ডট M 0 (x 0, y 0)ডাকা সর্বনিম্ন পয়েন্টফাংশন z = f (x, y),যদি f (x o, y o) < f(x,y)সব পয়েন্টের জন্য (x, y)একটি বিন্দুর কিছু পাড়া থেকে M 0.

দ্রষ্টব্য 1. সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন পয়েন্ট বলা হয় চরম পয়েন্টবিভিন্ন ভেরিয়েবলের ফাংশন।

মন্তব্য 2. যেকোনো সংখ্যক ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের জন্য চরম বিন্দু একইভাবে নির্ধারিত হয়।

উপপাদ্য ঘ(একটি চরমের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত)। যদি M 0 (x 0, y 0)- ফাংশনের চরম বিন্দু z = f (x, y),তারপর এই সময়ে এই ফাংশনের প্রথম ক্রম আংশিক ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই৷

প্রমাণ।

চলকের মান ঠিক করা যাক এ, গণনা y = y 0. তারপর ফাংশন f (x, y 0)একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন হবে এক্স, কিসের জন্য x = x 0চরম বিন্দু. অতএব, Fermat এর উপপাদ্য দ্বারা, বা বিদ্যমান নেই. একই বিবৃতি জন্য একইভাবে প্রমাণিত হয়.

সংজ্ঞা 3.কয়েকটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের ডোমেইনের অন্তর্গত বিন্দু যেখানে ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান বা বিদ্যমান নেই তাকে বলা হয় স্থির পয়েন্টএই ফাংশন।

মন্তব্য করুন। সুতরাং, প্রান্তটি কেবল স্থির বিন্দুতে পৌঁছানো যেতে পারে, তবে তাদের প্রতিটিতে এটি অগত্যা পরিলক্ষিত হয় না।

উপপাদ্য 2(একটি চরমের জন্য পর্যাপ্ত শর্ত)। বিন্দু কিছু আশেপাশে যাক M 0 (x 0, y 0), যা ফাংশনের একটি স্থির বিন্দু z = f (x, y),এই ফাংশনে 3য় ক্রম পর্যন্ত অবিচ্ছিন্ন আংশিক ডেরিভেটিভ রয়েছে। আসুন তাহলে বোঝাই:

1) f(x,y)পয়েন্ট এ আছে M 0সর্বোচ্চ যদি এসি-বি² > 0, ক < 0;

2) f(x,y)পয়েন্ট এ আছে M 0সর্বনিম্ন যদি এসি-বি² > 0, ক > 0;

3) গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টে কোন চরমপন্থা নেই যদি এসি-বি² < 0;

4) যদি এসি-বি² = 0, আরও গবেষণা প্রয়োজন।

উদাহরণ। চলুন ফাংশনের চরম বিন্দুগুলো খুঁজে বের করা যাক z = x² - 2 xy + 2y² + 2 এক্স.স্থির পয়েন্টগুলি খুঁজে পেতে, আমরা সিস্টেমটি সমাধান করি . সুতরাং, স্থির বিন্দু হল (-2,-1)। যার মধ্যে ক = 2, ভিতরে = -2, সঙ্গে= 4. তারপর এসি-বি² = 4 > 0, অতএব, একটি স্থির বিন্দুতে একটি চরমে পৌঁছে যায়, যথা ন্যূনতম (যেহেতু ক > 0).

শর্তাধীন চরম।

সংজ্ঞা 4.যদি ফাংশন আর্গুমেন্ট f (x 1 , x 2 ,…, x n)ফর্ম অতিরিক্ত শর্ত দ্বারা আবদ্ধ হয় মিসমীকরণ ( মি< n) :

φ 1 ( x 1, x 2, …, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2, …, x n) = 0, …, φ মি ( x 1, x 2, …, x n) = 0, (1)

যেখানে ফাংশন φ i এর ক্রমাগত আংশিক ডেরিভেটিভ থাকে, তখন সমীকরণ (1) বলা হয় সংযোগ সমীকরণ.

সংজ্ঞা 5।ফাংশন এর চরম f (x 1 , x 2 ,…, x n)যখন শর্ত (1) পূরণ করা হয়, এটি বলা হয় শর্তাধীন চরম.

মন্তব্য করুন। আমরা দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্তের নিম্নলিখিত জ্যামিতিক ব্যাখ্যা দিতে পারি: ফাংশনের আর্গুমেন্টগুলি যাক f(x,y)φ সমীকরণ দ্বারা সম্পর্কিত (x,y)= 0, O সমতলে কিছু বক্ররেখা সংজ্ঞায়িত করা xy. এই বক্ররেখার প্রতিটি বিন্দু থেকে সমতল O-তে লম্ব পুনর্গঠন xyযতক্ষণ না এটি পৃষ্ঠের সাথে ছেদ করে z = f (x,y),আমরা বক্ররেখার উপরে পৃষ্ঠে থাকা একটি স্থানিক বক্ররেখা পাই φ (x,y)= 0. কাজটি ফলাফল বক্ররেখার চরম বিন্দুগুলি খুঁজে বের করা, যা অবশ্যই, সাধারণ ক্ষেত্রে ফাংশনের শর্তহীন চরম বিন্দুগুলির সাথে মিলিত হয় না f(x,y)।

আসুন আমরা প্রথমে নিম্নলিখিত সংজ্ঞাটি প্রবর্তন করে দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের জন্য শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমামের প্রয়োজনীয় শর্তগুলি নির্ধারণ করি:

সংজ্ঞা 6.ফাংশন L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (2)

কোথায় λi -কিছু ধ্রুবক, বলা হয় ল্যাগ্রেঞ্জ ফাংশন, এবং সংখ্যা λi– অনির্দিষ্ট Lagrange গুণক.

উপপাদ্য(কন্ডিশনাল এক্সট্রিমামের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত)। একটি ফাংশনের শর্তাধীন প্রান্ত z = f (x, y)কাপলিং সমীকরণের উপস্থিতিতে φ ( x, y)= 0 শুধুমাত্র Lagrange ফাংশনের স্থির বিন্দুতে অর্জন করা যেতে পারে L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y)।