আপনার ভাল কাজ পাঠান জ্ঞান ভাণ্ডার সহজ. নীচের ফর্ম ব্যবহার করুন

ছাত্র, স্নাতক ছাত্র, তরুণ বিজ্ঞানী যারা তাদের অধ্যয়ন এবং কাজে জ্ঞানের ভিত্তি ব্যবহার করেন তারা আপনার কাছে খুব কৃতজ্ঞ হবেন।

http://www.allbest.ru/ এ পোস্ট করা হয়েছে

নিয়মিত পলিহেড্রনএকটি উত্তল পলিহেড্রন বলা হয়, যার মুখগুলি সমান নিয়মিত বহুভুজ এবং সমস্ত শীর্ষবিন্দুতে ডিহেড্রাল কোণগুলি একে অপরের সমান। এটি প্রমাণিত হয়েছে যে একটি নিয়মিত পলিহেড্রনের প্রতিটি শীর্ষে একই সংখ্যক মুখ এবং একই সংখ্যক প্রান্ত একত্রিত হয়।

প্রকৃতিতে মোট পাঁচটি নিয়মিত পলিহেড্রা রয়েছে। নিয়মিত বহুভুজের সংখ্যার তুলনায়, এটি খুবই ছোট: প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা n>2-এর জন্য একটি নিয়মিত n-gon থাকে, অর্থাৎ নিয়মিত বহুভুজের একটি অসীম সংখ্যা আছে। মুখের সংখ্যা অনুসারে নিয়মিত পলিহেড্রন নামকরণ করা হয়: টেট্রাহেড্রন (4 মুখ), হেক্সাহেড্রন (6 মুখ), অষ্টহেড্রন (8 মুখ), ডোডেকাহেড্রন (12 মুখ) এবং আইকোসেহেড্রন (20 মুখ)। গ্রীক ভাষায় "হেড্রন" অর্থ মুখ, "টেট্রা", "হেক্সা", ইত্যাদি - মুখের নির্দেশিত সংখ্যা। এটা অনুমান করা কঠিন নয় যে হেক্সহেড্রন পরিচিত ঘনক ছাড়া আর কিছুই নয়। টেট্রাহেড্রন, অষ্টহেড্রন এবং আইকোসাহেড্রনের মুখগুলি নিয়মিত ত্রিভুজ, ঘনকের মুখগুলি বর্গাকার এবং ডোডেকাহেড্রনের মুখগুলি নিয়মিত পঞ্চভুজ।

পলিহেড্রনউত্তল বলা হয়, যদি এটি সম্পূর্ণরূপে তার মুখের সমতলের একপাশে থাকে; তারপর এর প্রান্তগুলিও উত্তল। একটি উত্তল পলিহেড্রন স্থানকে দুটি অংশে বিভক্ত করে - বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ। এর ভেতরের অংশটি একটি উত্তল দেহ। বিপরীতভাবে, যদি একটি উত্তল দেহের পৃষ্ঠটি বহুহেড্রাল হয়, তবে সংশ্লিষ্ট বহুহেড্রন উত্তল হয়।

কোন জ্যামিতিক দেহের নিয়মিত পলিহেড্রার মতো পরিপূর্ণতা এবং সৌন্দর্য নেই। এল. ক্যারল একবার লিখেছিলেন, "এখানে খুবই কম সংখ্যক নিয়মিত পলিহেড্রা রয়েছে, কিন্তু এই অত্যন্ত বিনয়ী স্কোয়াডটি বিভিন্ন বিজ্ঞানের গভীরতায় প্রবেশ করতে সক্ষম হয়েছিল।

এই defiantly ছোট সংখ্যা কি এবং কেন তাদের অনেক আছে? কত? দেখা যাচ্ছে যে ঠিক পাঁচটি আছে - বেশি নয়, কম নয়। এটি একটি উত্তল পলিহেড্রাল কোণ বিকাশ করে নিশ্চিত করা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, তার সংজ্ঞা অনুসারে যেকোনো নিয়মিত পলিহেড্রন পেতে, প্রতিটি শীর্ষে একই সংখ্যক মুখ একত্রিত হতে হবে, যার প্রতিটি একটি নিয়মিত বহুভুজ। একটি পলিহেড্রাল কোণের সমতল কোণের যোগফল অবশ্যই 360-এর কম হতে হবে, অন্যথায় কোনো পলিহেড্রাল পৃষ্ঠ পাওয়া যাবে না। অসমতার সম্ভাব্য পূর্ণসংখ্যার সমাধান গণনা করা: 60k< 360, 90к < 360 и 108к < 360, можно доказать, что правильных многогранников ровно пять (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника).

নিয়মিত পলিহেড্রার নাম গ্রীস থেকে এসেছে। আক্ষরিকভাবে গ্রীক থেকে অনুবাদ করা হয়েছে, "টেট্রাহেড্রন", "অক্টাহেড্রন", "হেক্সহেড্রন", "ডোডেকাহেড্রন", "আইকোসাহেড্রন" এর অর্থ: "টেট্রাহেড্রন", "অক্টাহেড্রন", "হেক্সাহেড্রন", "ডোডেকাহেড্রন", "বিশ-হেড্রন"। ইউক্লিডের উপাদানগুলির 13 তম বইটি এই সুন্দর দেহগুলির জন্য উত্সর্গীকৃত। এগুলিকে প্লেটোনিক কঠিন পদার্থও বলা হয়, কারণ। তারা মহাবিশ্বের গঠন সম্পর্কে প্লেটোর দার্শনিক ধারণার একটি গুরুত্বপূর্ণ স্থান দখল করেছে। চারটি পলিহেড্রন এতে চারটি সারাংশ বা "উপাদান" ব্যক্ত করেছে। টেট্রাহেড্রন আগুনের প্রতীক, কারণ। এর শীর্ষ উপরের দিকে পরিচালিত হয়; icosahedron - জল, কারণ এটি সবচেয়ে "সুবিধাপূর্ণ"; ঘনক - পৃথিবী, সবচেয়ে "স্থিতিশীল" হিসাবে; অষ্টহেড্রন - বায়ু, সবচেয়ে "বায়ুযুক্ত" হিসাবে। পঞ্চম পলিহেড্রন, ডোডেকাহেড্রন, "অস্তিত্বশীল সবকিছু" মূর্ত করে, সমগ্র মহাবিশ্বের প্রতীক, এবং প্রধান হিসাবে বিবেচিত হয়েছিল।

আপনি যদি পৃথিবীতে প্রাচীন বিশ্বের বৃহত্তম এবং সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য সংস্কৃতি এবং সভ্যতার কেন্দ্রগুলিকে প্লট করেন, আপনি গ্রহের ভৌগলিক মেরু এবং নিরক্ষরেখার সাথে সম্পর্কিত তাদের অবস্থানে একটি প্যাটার্ন লক্ষ্য করবেন। অনেক খনিজ আমানত আইকোসাহেড্রন-ডোডেকাহেড্রন গ্রিড বরাবর প্রসারিত। এমনকি আরও আশ্চর্যজনক জিনিসগুলি এই প্রান্তগুলির সংযোগস্থলে ঘটে: এখানে প্রাচীন সংস্কৃতি এবং সভ্যতার কেন্দ্রগুলি রয়েছে: পেরু, উত্তর মঙ্গোলিয়া, হাইতি, ওব সংস্কৃতি এবং অন্যান্য। এই পয়েন্টগুলিতে, সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন বায়ুমণ্ডলীয় চাপ রয়েছে, বিশ্ব মহাসাগরের বিশাল প্রান্ত, এখানে স্কটিশ লেক লচ নেস, বারমুডা ট্রায়াঙ্গেল রয়েছে। পৃথিবীর আরও অধ্যয়ন এই সুন্দর বৈজ্ঞানিক অনুমানের প্রতি মনোভাব নির্ধারণ করতে পারে, যেখানে দেখা যায়, নিয়মিত পলিহেড্রা একটি গুরুত্বপূর্ণ স্থান দখল করে।

সুতরাং, দেখা গেল যে ঠিক পাঁচটি নিয়মিত পলিহেড্রা রয়েছে। কিভাবে আমরা তাদের মধ্যে প্রান্ত, মুখ এবং শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা নির্ধারণ করতে পারি? অল্প সংখ্যক প্রান্ত সহ পলিহেড্রার জন্য এটি করা কঠিন নয়, তবে কীভাবে, উদাহরণস্বরূপ, একজন আইকোসাহেড্রনের জন্য এই জাতীয় তথ্য পেতে পারে? বিখ্যাত গণিতবিদ এল. অয়লার B+G-P=2 সূত্রটি পেয়েছিলেন, যা যেকোনো পলিহেড্রনের শীর্ষবিন্দু /B/, মুখ /G/ এবং প্রান্তগুলি /P/ সংযুক্ত করে। এই সূত্রটির সরলতা এই সত্যের মধ্যে রয়েছে যে এটি দূরত্ব বা কোণের সাথে সম্পর্কিত নয়। একটি নিয়মিত পলিহেড্রনের প্রান্ত, শীর্ষবিন্দু এবং মুখের সংখ্যা নির্ধারণ করার জন্য, আমরা প্রথমে k = 2y - xy + 2x সংখ্যাটি খুঁজে পাই, যেখানে x হল একটি মুখের প্রান্তের সংখ্যা, y হল মুখের সংখ্যা একটি শীর্ষবিন্দু।

সুতরাং, নিয়মিত পলিহেড্রা আমাদের কাছে বিশ্ব সম্প্রীতির রহস্যের কাছাকাছি যাওয়ার জন্য বিজ্ঞানীদের প্রচেষ্টা প্রকাশ করেছিল এবং জ্যামিতির অপ্রতিরোধ্য আকর্ষণ দেখিয়েছিল।

নিয়মিত পলিহেড্রার তালিকা

শুধুমাত্র পাঁচটি নিয়মিত পলিহেড্রা রয়েছে:

ছবি	নিয়মিত পলিহেড্রনের প্রকার	একটি মুখের দিকের সংখ্যা	একটি শীর্ষবিন্দু সংলগ্ন প্রান্তের সংখ্যা	শীর্ষবিন্দুর মোট সংখ্যা	প্রান্তের মোট সংখ্যা	মোট মুখের সংখ্যা
	টেট্রাহেড্রন
	ডোডেকাহেড্রন
	আইকোসাহেড্রন

আমাদের বিশ্ব প্রতিসাম্য পূর্ণ. প্রাচীনকাল থেকেই সৌন্দর্য সম্পর্কে আমাদের ধারণাগুলো এর সাথে জড়িত। এটি সম্ভবত পলিহেড্রার প্রতি মানুষের স্থায়ী আগ্রহকে ব্যাখ্যা করে - প্রতিসাম্যের আশ্চর্যজনক প্রতীক যা প্লেটো এবং ইউক্লিড থেকে অয়লার এবং কচি পর্যন্ত অনেক অসামান্য চিন্তাবিদদের দৃষ্টি আকর্ষণ করেছিল।

যাইহোক, পলিহেড্রা কোনভাবেই বৈজ্ঞানিক গবেষণার একটি বস্তু নয়। তাদের ফর্ম সম্পূর্ণ এবং বাতিকপূর্ণ, এবং ব্যাপকভাবে আলংকারিক শিল্পে ব্যবহৃত হয়। সাধারণত, পলিহেড্রার মডেলগুলি উন্নয়ন থেকে নির্মিত হয়। কিন্তু অন্য উপায় আছে।

গণিতবিদরা দীর্ঘকাল ধরে টেপ থেকে ত্রিমাত্রিক বস্তু নির্মাণের সম্ভাবনা প্রমাণ করেছেন। চিত্রে। 1 দেখায় কিভাবে একটি কাগজের স্ট্রিপ বাঁকিয়ে একটি টেট্রাহেড্রন পাওয়া যায় যার উপর আঁকা সমবাহু ত্রিভুজগুলির পাশে।

ভাত। 1

একইভাবে, আপনি একটি ঘনক্ষেত্র (চিত্র 2) ভেঙে ফেলতে পারেন। এর প্রান্তগুলিও একটি শৃঙ্খলে সারিবদ্ধ, এবং গঠনটি সম্পূর্ণ করতে টেপের দিক পরিবর্তন করতে, এটি বর্গক্ষেত্রের তির্যক বরাবর বাঁকানো যথেষ্ট।

ভাত। 2

এইভাবে, যখন একটি প্যাটার্ন তার পৃষ্ঠে প্রয়োগ করা হয়, তখন প্রথম নজরে একটি অসামান্য কাগজের টেপ বিভিন্ন ধরণের পলিহেড্রা নির্মাণের জন্য একটি ফাঁকা হয়ে যায়। বিভিন্ন প্যাটার্নের উপর ভিত্তি করে, আপনি ডোডেকাহেড্রন ব্যতীত সমস্ত নিয়মিত পলিহেড্রা তৈরি করতে পারেন। সমতল প্যাটার্নে 5ম, 7ম এবং উচ্চতর ক্রমগুলির প্রতিসাম্য অক্ষের অনুপস্থিতি দ্বারা এটি ব্যাখ্যা করা হয়েছে - অন্য কথায়, পেন্টাগনের একটি অবিচ্ছিন্ন প্যাটার্ন তৈরি করা অসম্ভব।

চিত্র 3

অষ্টহেড্রন এবং আইকোসাহেড্রনের নির্মাণ নিয়মিত ত্রিভুজগুলির একটি প্যাটার্নের উপর ভিত্তি করে (চিত্র 3 এবং চিত্র 4)। অষ্টহেড্রনের জন্য ছয়টি ত্রিভুজের একটি রিং এবং আইকোসাহেড্রনের জন্য দশটি ত্রিভুজ তৈরি করার পরে, আমরা ফিতাটিকে বিপরীত দিকে বাঁকিয়ে একই রিংগুলিকে রোল আপ করতে থাকি।

চিত্র 4

আমাদের ফিতাগুলির নিদর্শনগুলি শুবনিকভ-লাভস প্রতিসাম্য নেটওয়ার্কগুলির একটি বিশেষ ক্ষেত্রে (চিত্র 5 দেখুন)। ত্রিভুজাকার কোষগুলি দুটি জোড়া আয়না ষড়ভুজাকার জালির উপরে স্থাপন করে প্রাপ্ত করা হয়, একে অপরের সাথে 90° ঘোরানো হয় এবং বর্গাকার কোষগুলি একে অপরের সাথে 45° কোণে বর্গাকার জালিগুলিকে একত্রিত করে প্রাপ্ত হয়। এই অবস্থানগুলি থেকে, পলিহেড্রা গঠনের প্রক্রিয়াটি একটি ফোকাস থেকে একটি তাত্ত্বিকভাবে ন্যায়সঙ্গত এবং প্রাকৃতিক ঘটনাতে পরিণত হয়।

ভাত। 5

প্রকৃতপক্ষে, যখন ভবিষ্যতের পলিহেড্রনের রিংটি ভাঁজ করা হয়, তখন জালির প্রাথমিক কোষটি আক্ষরিক অর্থে একটি নির্দিষ্ট ধাপে স্থানান্তরিত হয়, অর্থাৎ স্থানান্তর প্রতিসাম্য অর্জন করা হয়। টেপটিকে বিপরীত দিকে বাঁকিয়ে আকৃতির দিক পরিবর্তন করে, আমরা মানসিকভাবে ল্যাটিস নোডের চারপাশে ঘরটিকে ঘুরিয়ে দিই, অর্থাৎ, ঘূর্ণন প্রতিসাম্য ইতিমধ্যেই উপস্থিত হয়। অতএব, টেপ ফাঁকা ঘূর্ণন এবং স্থানান্তর প্রতিসাম্য প্রদান করে। আমাদের নির্মাণে এই ধরনের ঘূর্ণন-স্থানান্তর প্রতিসাম্য ঘূর্ণন কোণ দিয়ে অর্জন করা যেতে পারে; 30° 45°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°। এটি একটি ফ্ল্যাট টেপ থেকে ভলিউমেট্রিক বডি গঠনের পদ্ধতির সম্পূর্ণ গোপনীয়তা।

সুতরাং, এটা স্পষ্ট যে 30° এবং 45° এর গুণিতক বিভাজন কোণে শুধুমাত্র দুই ধরনের টেপ থাকতে পারে। তাদের থেকে চারটি নিয়মিত পলিহেড্রন পাওয়া যায়: ঘনক, অষ্টহেড্রন, টেট্রাহেড্রন, আইকোসাহেড্রন - এবং সমজাতীয় পলিহেড্রনের একটি সম্পূর্ণ পরিবার (চিত্র 6 দেখুন)। জোহানেস কেপলারের "হেক্সাগোনাল স্নোফ্লেক্সের উপর" বিস্ময়কর প্রবন্ধে একটি খুব উপযুক্ত মন্তব্য রয়েছে: "নিয়মিত দেহগুলির মধ্যে, প্রথমটিকে যথাযথভাবে ঘনক হিসাবে বিবেচনা করা হয়, আদিম চিত্র, অন্যান্য সমস্ত দেহের জনক, অক্টেহেড্রন, যার অনেকগুলি শীর্ষবিন্দু রয়েছে। যেমন ঘনক্ষেত্রের মুখ আছে, তেমনি তার স্ত্রী..." প্রকৃতপক্ষে, আমাদের টেপ থেকে গঠিত জটিল আকারের সমস্ত উপাদানই একটি ঘনক বা অষ্টহেড্রনের উপাদান, বা উভয়ই।

Fig.6

পলিহেড্রন টেট্রাহেড্রন কিউব অষ্টহেড্রন ডোডেকাহেড্রন আইকোসাহেড্রন

সাধারণ পলিহেড্রা নির্মাণে কোনো বিশেষ অসুবিধা হয় না। কিন্তু টেপটিকে জটিল তারকা-আকৃতির আকারে ভাঁজ করার জন্য, রিংগুলিকে ধরে রাখতে আপনার বিশেষ ডিভাইসের প্রয়োজন হবে যা এখনও একে অপরের সাথে সংযুক্ত নয় - কাগজের ক্লিপ, ক্ল্যাম্প এবং এর মতো। পলিহেড্রা তৈরি করা যা তাদের আকৃতিতে আসল তা নিজেই গঠনের প্রক্রিয়ায় অত্যন্ত বিনোদনমূলক।

Allbest.ru এ পোস্ট করা হয়েছে

অনুরূপ নথি

একটি নিয়মিত পলিহেড্রনের স্থানিক প্রতিসাম্য। Tetrahedron, octahedron, icosahedron, cube, dodecahedron. জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য: এলাকা, আয়তন। জ্যামিতির বিকাশে এথেন্সের থিয়েটাসের ভূমিকা। সৌরজগতের গঠন এবং গ্রহের মধ্যে দূরত্বের সম্পর্ক।

উপস্থাপনা, 05/04/2013 যোগ করা হয়েছে


সমজাতীয় উত্তল এবং সমজাতীয় অ-উত্তল পলিহেড্রার অধ্যয়ন। নিয়মিত পলিহেড্রার সংজ্ঞা। কিউব এবং অষ্টহেড্রনের দ্বৈততা। অয়লারের উপপাদ্য। আর্কিমিডিসের মৃতদেহ। কেপলার-পয়নসট মৃতদেহ প্রাপ্ত করা। ভূতত্ত্ব, গয়না, স্থাপত্যে পলিহেড্রা।

উপস্থাপনা, 10/27/2013 যোগ করা হয়েছে


টপোলজির দৃষ্টিকোণ থেকে পলিহেড্রনের ধারণা এবং এর উপাদান। একটি প্রিজমের ক্ষেত্রফল এবং পার্শ্বীয় পৃষ্ঠ নির্ণয়, সমান্তরাল, পিরামিড। নিয়মিত, অর্ধ-নিয়মিত, স্টেলেট পলিহেড্রার ধারণা। সংস্কৃতি ও বিজ্ঞানের বিভিন্ন ক্ষেত্রে পলিহেড্রা।

কোর্স ওয়ার্ক, 04/02/2012 যোগ করা হয়েছে


উত্তল পলিহেড্রা, অয়লারের উপপাদ্য। উত্তল পলিহেড্রার বৈশিষ্ট্য। একটি নিয়মিত পলিহেড্রনের সংজ্ঞা। সেমিনিগুলার পলিহেড্রার ধারণা। রম্বিকিউবোকটাহেড্রন, কিউবোকটাহেড্রন, টেট্রাহেড্রন, অষ্টহেড্রন, আইকোসাহেড্রন, ডোডেকাহেড্রন এবং কিউবের বৈশিষ্ট্য।

প্রশিক্ষণ ম্যানুয়াল, 04/30/2012 যোগ করা হয়েছে


নিয়মিত পলিহেড্রার প্রথম উল্লেখ। পলিহেড্রার শ্রেণীবিভাগ, তাদের প্রকার, বৈশিষ্ট্য, উত্তল পলিহেড্রার বিকাশের উপর উপপাদ্য (কচি এবং আলেকসান্দ্রভ)। উন্নয়ন এবং অরিগামি পদ্ধতি ব্যবহার করে নিয়মিত পলিহেড্রার মডেল তৈরি করা।

কোর্সের কাজ, যোগ করা হয়েছে 01/18/2011


একটি নিয়মিত পলিহেড্রনের ধারণা। নিয়মিত ইউক্লিডীয় পলিহেড্রার একটি সম্পূর্ণ গাণিতিক বর্ণনা। কক্ষপথ গতিবিদ্যার দুটি সূত্র আবিষ্কার। আইকোসাহেড্রনের প্রধান বৈশিষ্ট্য। একটি নিয়মিত পলিহেড্রনের শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা এবং প্রান্তের সংখ্যার অনুপাত৷

উপস্থাপনা, 02/19/2017 যোগ করা হয়েছে


বিভিন্ন ধরণের নিয়মিত এবং অর্ধ-নিয়মিত পলিহেড্রা, তাদের মৌলিক বৈশিষ্ট্য। পলিহেড্রাল সারফেস, পলিহেড্রা, টপোলজিক্যাল, সহজতম এবং নিয়মিত পলিহেড্রা। পলিহেড্রনের পৃষ্ঠের মুখ, প্রান্ত এবং শীর্ষবিন্দু। পিরামিড এবং প্রিজম।

কোর্সের কাজ, যোগ করা হয়েছে 08/21/2013


একটি নিয়মিত পলিহেড্রন নির্ণয়, এর পার্শ্ব, শীর্ষবিন্দু, শীর্ষবিন্দুগুলিকে সংযোগকারী অংশগুলি। বৈশিষ্ট্য, জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য এবং নিয়মিত পলিহেড্রার প্রকার বিশ্লেষণ। নিয়মিত পলিহেড্রা যা জীবন্ত প্রকৃতি এবং স্থাপত্যে পাওয়া যায়।

উপস্থাপনা, যোগ করা হয়েছে 11/13/2015


ঐতিহাসিক তথ্য, পলিহেড্রা সম্পর্কে ধারণা। নমনীয় কনেলি পলিহেড্রা। বেলো হাইপোথিসিস। Bricard Octahedron, Steffen Flexor মডেলের নির্মাণ। পলিহেড্রার প্রতিসাম্য, আয়তন, নমনযোগ্যতা এবং মৌলিক বৈশিষ্ট্য। সাবিটভের উপপাদ্য।

কোর্স ওয়ার্ক, 10/03/2010 যোগ করা হয়েছে


একটি পলিহেড্রনের সংজ্ঞা, এর বাহু এবং শীর্ষবিন্দু, শীর্ষবিন্দুগুলিকে সংযোগকারী অংশগুলি। প্রিজমের ভিত্তি, পাশের মুখ এবং উচ্চতার বর্ণনা। নিয়মিত এবং কাটা পিরামিড। অয়লারের উপপাদ্য। নিয়মিত পলিহেড্রার বৈশিষ্ট্য এবং জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যের বিশ্লেষণ।

পলিহেড্রা শুধুমাত্র জ্যামিতিতে একটি বিশিষ্ট স্থান দখল করে না, তবে প্রতিটি ব্যক্তির দৈনন্দিন জীবনেও পাওয়া যায়। একটি ম্যাচবক্স থেকে শুরু করে স্থাপত্য উপাদান পর্যন্ত বিভিন্ন বহুভুজের আকারে কৃত্রিমভাবে তৈরি গৃহস্থালির আইটেমগুলি উল্লেখ না করার মতো, প্রকৃতিতে কিউব (লবণ), প্রিজম (ক্রিস্টাল), পিরামিড (স্কিলাইট), অষ্টহেড্রন (হীরা) আকারে স্ফটিকও রয়েছে। ), ইত্যাদি .d.

একটি পলিহেড্রনের ধারণা, জ্যামিতিতে পলিহেড্রনের প্রকারগুলি

একটি বিজ্ঞান হিসাবে জ্যামিতিতে স্টেরিওমেট্রি বিভাগ রয়েছে, যা ভলিউমেট্রিক বডিগুলির বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করে, যার পার্শ্বগুলি সীমাবদ্ধ সমতল (মুখ) দ্বারা গঠিত হয়, যাকে "পলিহেড্রা" বলা হয়। কয়েক ডজন ধরণের পলিহেড্রা রয়েছে, মুখের সংখ্যা এবং আকারে ভিন্ন।

তবুও, সমস্ত পলিহেড্রার সাধারণ বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

1. তাদের সকলেরই 3টি অবিচ্ছেদ্য উপাদান রয়েছে: একটি মুখ (বহুভুজের পৃষ্ঠ), একটি শীর্ষ (মুখের সংযোগস্থলে গঠিত কোণগুলি), একটি প্রান্ত (চিত্রের পার্শ্ব বা দুটি মুখের সংযোগস্থলে গঠিত একটি অংশ) )
2. একটি বহুভুজের প্রতিটি প্রান্ত দুটি এবং শুধুমাত্র দুটি মুখকে সংযুক্ত করে যা একে অপরের সংলগ্ন।
3. উত্তলতার অর্থ হল শরীরটি সম্পূর্ণরূপে সমতলের একপাশে অবস্থিত যার একটি মুখ রয়েছে। নিয়মটি পলিহেড্রনের সমস্ত মুখের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। স্টেরিওমেট্রিতে, এই ধরনের জ্যামিতিক চিত্রগুলিকে উত্তল পলিহেড্রা বলা হয়। ব্যতিক্রম হল স্টেলেটেড পলিহেড্রা, যা নিয়মিত পলিহেড্রাল জ্যামিতিক বডির ডেরিভেটিভ।

পলিহেড্রাকে ভাগ করা যায়:

1. উত্তল পলিহেড্রার প্রকারগুলি, যা নিম্নলিখিত শ্রেণীগুলি নিয়ে গঠিত: সাধারণ বা ধ্রুপদী (প্রিজম, পিরামিড, সমান্তরাল), নিয়মিত (প্ল্যাটোনিক কঠিন পদার্থও বলা হয়), অর্ধ-নিয়মিত (অন্য নাম আর্কিমিডিয়ান কঠিন)।
2. অ-উত্তল পলিহেড্রা (স্টারলেট)।

প্রিজম এবং এর বৈশিষ্ট্য

জ্যামিতির একটি শাখা হিসাবে স্টেরিওমেট্রি ত্রিমাত্রিক চিত্রের বৈশিষ্ট্য, পলিহেড্রার প্রকারগুলি (এগুলির মধ্যে প্রিজম) অধ্যয়ন করে। একটি প্রিজম হল একটি জ্যামিতিক বডি যার অপরিহার্যভাবে দুটি সম্পূর্ণ অভিন্ন মুখ থাকে (এগুলিকে বেসও বলা হয়) সমান্তরাল সমতলে পড়ে থাকে এবং সমান্তরাল বৃত্তের আকারে পাশের মুখের তম সংখ্যা। পরিবর্তে, প্রিজমের বিভিন্ন প্রকার রয়েছে, যার মধ্যে রয়েছে এই ধরনের পলিহেড্রা:

1. একটি সমান্তরালপাইপড গঠিত হয় যদি ভিত্তিটি একটি সমান্তরাল বৃত্ত হয় - একটি বহুভুজ যার 2 জোড়া সমান বিপরীত কোণ এবং দুই জোড়া সমতুল্য বিপরীত বাহু রয়েছে।
2. বেসের সাথে লম্ব পাঁজর আছে।
3. প্রান্ত এবং ভিত্তির মধ্যে পরোক্ষ কোণের উপস্থিতি (90 ব্যতীত) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
4. একটি নিয়মিত প্রিজম সমান পার্শ্বীয় মুখের আকারে বেস দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

প্রিজমের মৌলিক বৈশিষ্ট্য:

• সঙ্গতিপূর্ণ ঘাঁটি।
• প্রিজমের সমস্ত প্রান্ত একে অপরের সমান এবং সমান্তরাল।
• সমস্ত পাশের মুখগুলি একটি সমান্তরালগ্রামের আকার ধারণ করে।

পিরামিড

একটি পিরামিড হল একটি জ্যামিতিক বডি যা একটি বেস এবং ত্রিভুজাকার মুখগুলির তম সংখ্যাটি এক বিন্দুতে সংযোগ করে - শীর্ষ। এটি লক্ষ করা উচিত যে যদি পিরামিডের পাশের মুখগুলি অগত্যা ত্রিভুজ দ্বারা উপস্থাপিত হয়, তবে গোড়ায় একটি ত্রিভুজাকার বহুভুজ, একটি চতুর্ভুজ, একটি পঞ্চভুজ এবং তাই বিজ্ঞাপন অসীম থাকতে পারে। এই ক্ষেত্রে, পিরামিডের নামটি ভিত্তির বহুভুজের সাথে মিলিত হবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি পিরামিডের গোড়ায় একটি ত্রিভুজ থাকে - এটি একটি চতুর্ভুজ ইত্যাদি।

পিরামিডগুলি শঙ্কু আকৃতির পলিহেড্রা। এই গোষ্ঠীর পলিহেড্রার প্রকারগুলি, উপরে তালিকাভুক্তগুলি ছাড়াও, নিম্নলিখিত প্রতিনিধিগুলিকেও অন্তর্ভুক্ত করে:

1. এর গোড়ায় একটি নিয়মিত বহুভুজ রয়েছে এবং এর উচ্চতা ভিত্তিতে খোদাই করা একটি বৃত্তের কেন্দ্রে প্রক্ষিপ্ত হয় বা এটির চারপাশে সীমাবদ্ধ।
2. একটি আয়তক্ষেত্রাকার পিরামিড গঠিত হয় যখন পাশের প্রান্তগুলির একটি সমকোণে ভিত্তিটিকে ছেদ করে। এই ক্ষেত্রে, এই প্রান্তটিকে পিরামিডের উচ্চতাও বলা যেতে পারে।

পিরামিডের বৈশিষ্ট্য:

• যদি পিরামিডের সমস্ত পাশের প্রান্তগুলি সঙ্গতিপূর্ণ হয় (একই উচ্চতার), তবে সেগুলি একই কোণে বেসের সাথে ছেদ করে এবং বেসের চারপাশে আপনি একটি বৃত্ত আঁকতে পারেন যার কেন্দ্রটি উপরের দিকের অভিক্ষেপের সাথে মিলে যায়। পিরামিড
• যদি একটি নিয়মিত বহুভুজ পিরামিডের গোড়ায় থাকে, তবে সমস্ত পাশের প্রান্তগুলি একমত এবং মুখগুলি হল সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ৷

নিয়মিত পলিহেড্রন: পলিহেড্রনের প্রকার ও বৈশিষ্ট্য

স্টেরিওমেট্রিতে, একটি বিশেষ স্থান জ্যামিতিক দেহ দ্বারা দখল করা হয় একেবারে সমান মুখের সাথে, যার শীর্ষবিন্দুতে একই সংখ্যক প্রান্ত সংযুক্ত থাকে। এই দেহগুলিকে প্লেটোনিক কঠিন পদার্থ বা নিয়মিত পলিহেড্রা বলা হয়। এই বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে শুধুমাত্র পাঁচ ধরনের পলিহেড্রা রয়েছে:

1. টেট্রাহেড্রন।
2. হেক্সহেড্রন।
3. অষ্টহেড্রন।
4. ডোডেকাহেড্রন।
5. আইকোসাহেড্রন।

নিয়মিত পলিহেড্রা তাদের নাম প্রাচীন গ্রীক দার্শনিক প্লেটোর কাছে ঋণী, যিনি এই জ্যামিতিক দেহগুলিকে তাঁর রচনায় বর্ণনা করেছিলেন এবং প্রাকৃতিক উপাদানগুলির সাথে যুক্ত করেছিলেন: পৃথিবী, জল, আগুন, বায়ু। পঞ্চম চিত্রটিকে মহাবিশ্বের কাঠামোর সাথে সাদৃশ্য দেওয়া হয়েছিল। তার মতে, প্রাকৃতিক উপাদানের পরমাণুগুলো নিয়মিত পলিহেড্রার মতো আকৃতির। তাদের সবচেয়ে আকর্ষণীয় সম্পত্তি - প্রতিসাম্যের জন্য ধন্যবাদ, এই জ্যামিতিক সংস্থাগুলি কেবল প্রাচীন গণিতবিদ এবং দার্শনিকদের জন্যই নয়, সর্বকালের স্থপতি, শিল্পী এবং ভাস্করদের কাছেও খুব আগ্রহের বিষয় ছিল। পরম প্রতিসাম্য সহ শুধুমাত্র 5 ধরণের পলিহেড্রার উপস্থিতি একটি মৌলিক অনুসন্ধান হিসাবে বিবেচিত হয়েছিল, তারা এমনকি ঐশ্বরিক নীতির সাথে যুক্ত ছিল।

হেক্সহেড্রন এবং এর বৈশিষ্ট্য

একটি ষড়ভুজ আকারে, প্লেটোর উত্তরসূরিরা পৃথিবীর পরমাণুর গঠনের সাথে একটি মিল ধরে নিয়েছিল। অবশ্যই, বর্তমানে এই অনুমানটি সম্পূর্ণরূপে খণ্ডন করা হয়েছে, যা, তবে, আধুনিক সময়ের পরিসংখ্যানগুলিকে তাদের নান্দনিকতার সাথে বিখ্যাত ব্যক্তিদের মনকে আকর্ষণ করতে বাধা দেয় না।

জ্যামিতিতে, একটি হেক্সাহেড্রন, যা একটি ঘনক নামেও পরিচিত, একটি সমান্তরাল পাইপডের একটি বিশেষ কেস হিসাবে বিবেচিত হয়, যা ঘুরেফিরে প্রিজমের একটি প্রকার। তদনুসারে, ঘনক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্যগুলি একে অপরের সাথে সম্পর্কিত, একমাত্র পার্থক্য হল যে ঘনক্ষেত্রের সমস্ত মুখ এবং কোণ একে অপরের সমান। নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি এটি থেকে অনুসরণ করে:

1. ঘনক্ষেত্রের সমস্ত প্রান্তগুলি সঙ্গতিপূর্ণ এবং একে অপরের সাপেক্ষে সমান্তরাল সমতলে অবস্থিত।
2. সমস্ত মুখই সমসাময়িক বর্গাকার (এগুলির মধ্যে 6টি ঘনক্ষেত্রে রয়েছে), যার যে কোনোটিকে ভিত্তি হিসাবে নেওয়া যেতে পারে।
3. সমস্ত ইন্টারহেড্রাল কোণ 90 এর সমান।
4. প্রতিটি শীর্ষে সমান সংখ্যক প্রান্ত রয়েছে, যথা 3।
5. ঘনক্ষেত্রে 9 আছে যা সমস্ত হেক্সহেড্রনের কর্ণগুলির ছেদ বিন্দুতে ছেদ করে, যাকে প্রতিসাম্য কেন্দ্র বলে।

টেট্রাহেড্রন

একটি টেট্রাহেড্রন হল একটি টেট্রাহেড্রন যার সমান মুখ ত্রিভুজের আকারে, যার প্রতিটি শীর্ষবিন্দু তিনটি মুখের সংযোগ বিন্দু।

নিয়মিত টেট্রাহেড্রনের বৈশিষ্ট্য:

1. একটি টেট্রাহেড্রনের সমস্ত মুখ - এর মানে হল যে একটি টেট্রাহেড্রনের সমস্ত মুখ একমত।
2. যেহেতু বেসটি একটি নিয়মিত জ্যামিতিক চিত্র দ্বারা উপস্থাপিত হয়, অর্থাৎ এটির সমান দিক রয়েছে, তাহলে টেট্রাহেড্রনের মুখগুলি একই কোণে একত্রিত হয়, অর্থাৎ, সমস্ত কোণ সমান।
3. প্রতিটি শীর্ষে সমতল কোণের সমষ্টি 180, যেহেতু সমস্ত কোণ সমান, তাহলে একটি নিয়মিত টেট্রাহেড্রনের যেকোনো কোণ 60।
4. প্রতিটি শীর্ষবিন্দু বিপরীত (অর্থোসেন্টার) মুখের উচ্চতার ছেদ বিন্দুতে অভিক্ষিপ্ত হয়।

অক্টেহেড্রন এবং এর বৈশিষ্ট্য

নিয়মিত পলিহেড্রার প্রকারগুলি বর্ণনা করার সময়, কেউ অক্টাহেড্রনের মতো একটি বস্তুকে লক্ষ্য করতে ব্যর্থ হতে পারে না, যেটিকে চাক্ষুষরূপে দুটি চতুর্ভুজাকার নিয়মিত পিরামিড হিসাবে উপস্থাপিত করা যেতে পারে যা ঘাঁটিতে একসাথে আঠালো।

অষ্টহেড্রনের বৈশিষ্ট্য:

1. একটি জ্যামিতিক বডির নামই এর মুখের সংখ্যা নির্দেশ করে। অষ্টহেড্রন 8টি সমবাহু সমবাহু ত্রিভুজ নিয়ে গঠিত, যার প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে সমান সংখ্যক মুখ একত্রিত হয়, যথা 4টি।
2. যেহেতু অষ্টহেড্রনের সমস্ত মুখ সমান, তাই এর ইন্টারফেস কোণগুলিও সমান, যার প্রত্যেকটি 60 এর সমান এবং যেকোন শীর্ষবিন্দুর সমতল কোণের সমষ্টি এইভাবে 240।

ডোডেকাহেড্রন

যদি আমরা কল্পনা করি যে একটি জ্যামিতিক শরীরের সমস্ত মুখগুলি একটি নিয়মিত পঞ্চভুজ, তবে আমরা একটি ডোডেকাহেড্রন পাই - 12টি বহুভুজের একটি চিত্র।

ডোডেকাহেড্রনের বৈশিষ্ট্য:

1. তিনটি মুখ প্রতিটি শীর্ষে ছেদ করে।
2. সমস্ত মুখ সমান এবং একই প্রান্তের দৈর্ঘ্য, সেইসাথে সমান ক্ষেত্রফল রয়েছে।
3. ডোডেকাহেড্রনে 15টি অক্ষ এবং প্রতিসাম্যের সমতল রয়েছে এবং তাদের যে কোনও একটি মুখের শীর্ষবিন্দু এবং এর বিপরীত প্রান্তের মধ্য দিয়ে যায়।

আইকোসাহেড্রন

ডোডেকাহেড্রনের চেয়ে কম আকর্ষণীয় নয়, আইকোসাহেড্রন চিত্রটি 20টি সমান মুখের সাথে একটি ত্রিমাত্রিক জ্যামিতিক শরীর। নিয়মিত 20-হেড্রনের বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে, নিম্নলিখিতগুলি উল্লেখ করা যেতে পারে:

1. আইকোসাহেড্রনের সমস্ত মুখ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
2. পলিহেড্রনের প্রতিটি শীর্ষে পাঁচটি মুখ মিলিত হয় এবং শীর্ষবিন্দুর সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 300।
3. আইকোসাহেড্রন, ডোডেকাহেড্রনের মতো, 15টি অক্ষ এবং প্রতিসাম্যের সমতলগুলি বিপরীত মুখের মধ্যবিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়।

অর্ধনিয়মিত বহুভুজ

প্লেটোনিক কঠিন পদার্থ ছাড়াও, উত্তল পলিহেড্রার গোষ্ঠীতে আর্কিমিডিয়ান কঠিন পদার্থও রয়েছে, যেগুলিকে নিয়মিত পলিহেড্রা কাটা হয়। এই গ্রুপের পলিহেড্রার প্রকারের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

1. জ্যামিতিক দেহগুলির বিভিন্ন ধরণের জোড়া সমান মুখ থাকে, উদাহরণস্বরূপ, একটি কাটা টেট্রাহেড্রনের একটি নিয়মিত টেট্রাহেড্রনের মতো, 8টি মুখ থাকে, তবে একটি আর্কিমিডিয়ান দেহের ক্ষেত্রে, 4টি মুখ আকৃতিতে ত্রিভুজাকার এবং 4টি ষড়ভুজাকার হবে।
2. একটি শীর্ষবিন্দুর সব কোণই সঙ্গতিপূর্ণ।

স্টার পলিহেড্রা

নন-ভলিউমেট্রিক ধরণের জ্যামিতিক দেহের প্রতিনিধিরা স্টেলেট পলিহেড্রা, যার মুখগুলি একে অপরের সাথে ছেদ করে। এগুলি দুটি নিয়মিত ত্রিমাত্রিক সংস্থাগুলিকে একত্রিত করে বা তাদের মুখের প্রসারণের ফলে গঠিত হতে পারে।

এইভাবে, এই ধরনের স্টেলেটেড পলিহেড্রন নামে পরিচিত: অষ্টহেড্রন, ডোডেকাহেড্রন, আইকোসাহেড্রন, কিউবোকটাহেড্রন, আইকোসিডোডেকাহেড্রন।

তাত্ত্বিক অংশ

পলিহেড্রার সংজ্ঞা এবং শ্রেণীবিভাগ

পলিহেড্রার তত্ত্ব, বিশেষ করে উত্তল পলিহেড্রা, জ্যামিতির সবচেয়ে আকর্ষণীয় অধ্যায়গুলির মধ্যে একটি।

লা. লিউস্টারনিক

পলিহেড্রা হ'ল মহাকাশের সবচেয়ে সরল দেহ, যেমন বহুভুজগুলি সমতলের সবচেয়ে সরল চিত্র। সম্পূর্ণরূপে জ্যামিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, একটি পলিহেড্রন হল সমতল বহুভুজ - মুখ দ্বারা আবদ্ধ স্থানের একটি অংশ। মুখের দিক এবং শীর্ষবিন্দুগুলিকে পলিহেড্রনের প্রান্ত এবং শীর্ষবিন্দু বলা হয়। মুখগুলি একটি তথাকথিত পলিহেড্রাল পৃষ্ঠ গঠন করে। নিম্নলিখিত বিধিনিষেধগুলি সাধারণত একটি পলিহেড্রাল পৃষ্ঠের উপর আরোপ করা হয়:

1) প্রতিটি প্রান্ত অবশ্যই দুটি এবং শুধুমাত্র দুটি মুখের একটি সাধারণ দিক হতে হবে, যাকে সন্নিহিত বলা হয়;

2) প্রতিটি দুটি মুখ ধারাবাহিকভাবে সংলগ্ন মুখগুলির একটি চেইন দ্বারা সংযুক্ত হতে পারে;

3) প্রতিটি শীর্ষবিন্দুর জন্য, এই শীর্ষবিন্দুর সংলগ্ন মুখগুলির কোণগুলিকে অবশ্যই একটি নির্দিষ্ট পলিহেড্রাল কোণে আবদ্ধ করতে হবে।

জ্যামিতিক সংস্থা

পলিহেড্রা

পলিহেড্রা নয়

চিত্র 1 এর চিত্রটি একটি পলিহেড্রন। চিত্র 2-এ 18টি বর্গক্ষেত্রের সেটটি একটি পলিহেড্রন নয় কারণ পলিহেড্রাল পৃষ্ঠের উপর আরোপিত বিধিনিষেধ পূরণ করা হয় না।

একটি পলিহেড্রনকে উত্তল বলা হয় যদি এটি তার যেকোনো মুখের সমতলের একপাশে থাকে।

একটি পলিহেড্রনকে নিয়মিত বলা হয় যদি:

এটি উত্তল;

এর সমস্ত মুখ সমান নিয়মিত বহুভুজ;

এর প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে একই সংখ্যক মুখ একত্রিত হয়;

এর সমস্ত ডাইহেড্রাল কোণ সমান।

নিয়মিত পলিহেড্রার প্রকারভেদ

"এখানে উদ্বেগজনকভাবে কয়েকটি নিয়মিত পলিহেড্রা রয়েছে, তবে এই অত্যন্ত বিনয়ী স্কোয়াডটি বিভিন্ন বিজ্ঞানের গভীরতায় প্রবেশ করতে সক্ষম হয়েছে।"

এল. ক্যারল

নিয়মিত পলিহেড্রার প্রথম উল্লেখ

পিথাগোরিয়ান স্কুলকে 5 ধরনের নিয়মিত উত্তল পলিহেড্রার অস্তিত্ব আবিষ্কার করার কৃতিত্ব দেওয়া হয়। পরবর্তীতে, তার গ্রন্থ "Timaeus"-এ আরেক প্রাচীন গ্রীক বিজ্ঞানী, প্লেটো, নিয়মিত পলিহেড্রার পিথাগোরিয়ান মতবাদের রূপরেখা দিয়েছেন। তারপর থেকে, নিয়মিত পলিহেড্রা প্লেটোনিক কঠিন পদার্থ হিসাবে পরিচিত হয়ে ওঠে। ইউক্লিডের বিখ্যাত রচনা "এলিমেন্টস" এর শেষ, XIII বইটি নিয়মিত পলিহেড্রনের জন্য উত্সর্গীকৃত। একটি সংস্করণ আছে যে ইউক্লিড প্রথম 12টি বই লিখেছিলেন যাতে পাঠক XIII বইতে লেখা নিয়মিত পলিহেড্রার তত্ত্ব বুঝতে পারে, যাকে গণিতের ইতিহাসবিদরা "উপাদানের মুকুট" বলে অভিহিত করেন। এখানে পাঁচ ধরনের নিয়মিত পলিহেড্রার অস্তিত্ব প্রতিষ্ঠিত হয় এবং এটি প্রমাণিত হয় যে অন্য কোন নিয়মিত পলিহেড্রা নেই।

কেন তাদের মধ্যে শুধুমাত্র 5 আছে?

কিন্তু তারপরও কেন মাত্র পাঁচটি নিয়মিত পলিহেড্রা আছে? সর্বোপরি, সমতলে অসীম সংখ্যক নিয়মিত বহুভুজ রয়েছে।

ক) একটি নিয়মিত পলিহেড্রনের মুখগুলি নিয়মিত ত্রিভুজ হতে দিন, প্রতিটি সমতল কোণ 60 ডিগ্রি সমান। পলিহেড্রাল কোণের শীর্ষে n সমতল কোণ থাকলে, 60 o n< 360 o , n < 6,

n = 3, 4, 5, i.e. ত্রিভুজাকার মুখের নিয়মিত পলিহেড্রা 3 প্রকার। এগুলি হল টেট্রাহেড্রন, অষ্টহেড্রন, আইকোসাহেড্রন।

b) একটি নিয়মিত পলিহেড্রনের মুখগুলি বর্গাকার হতে দিন, প্রতিটি সমতল কোণ 90 ডিগ্রি। n - মুখী কোণগুলির জন্য 90 o n<360 о, n < 4,

n = 3, i.e. ট্রাইহেড্রাল কোণ সহ একটি নিয়মিত পলিহেড্রন - একটি ঘনক - বর্গাকার মুখ থাকতে পারে।

গ) মুখগুলিকে নিয়মিত পঞ্চভুজ হতে দিন, প্রতিটি সমতল কোণ 180 o (5 - 2) এর সমান: 5 = 108 o, 108 o n<360 о, n< n = 3, додекаэдр.

ঘ) একটি নিয়মিত ষড়ভুজের অভ্যন্তরীণ কোণ রয়েছে:

L = 180 o (6 - 2) : 6 = 120 o

এই ক্ষেত্রে, এমনকি একটি trihedral কোণ অসম্ভব। এর মানে হল যে ষড়ভুজ বা একাধিক মুখের সাথে কোন নিয়মিত পলিহেড্রা নেই।

নিয়মিত পলিহেডরা কেন এমন নাম পেল?

এটি তাদের মুখের সংখ্যার কারণে। গ্রীক থেকে অনুবাদ:

হেড্রন - মুখ, অক্টো - আট, যার অর্থ অষ্টহেড্রন - অষ্টহেড্রন

টেট্রা চারটি, তাই একটি টেট্রাহেড্রন হল একটি পিরামিড যা চারটি সমবাহু ত্রিভুজ নিয়ে গঠিত,

ডোডেকা - বারো, ডোডেকাহেড্রন বারোটি মুখ নিয়ে গঠিত,

হেক্সা - ছয়, ঘনক - হেক্সহেড্রন, যেহেতু এর ছয়টি মুখ আছে,

ikosi - বিশ, icosahedron - বিশ পার্শ্বযুক্ত।

ফর্মের নিখুঁততা এবং নিয়মিত পলিহেড্রার অন্তর্নিহিত সুন্দর গাণিতিক নিদর্শনগুলি তাদের বিভিন্ন জাদুকরী বৈশিষ্ট্যের জন্য দায়ী করা হয়েছিল। তারা মহাবিশ্বের গঠন সম্পর্কে প্লেটোর দার্শনিক ধারণার একটি গুরুত্বপূর্ণ স্থান দখল করেছে। চারটি পলিহেড্রন এতে চারটি সারাংশ বা "উপাদান" ব্যক্ত করেছে। টেট্রাহেড্রন আগুনের প্রতীক, কারণ। এর শীর্ষ উপরের দিকে পরিচালিত হয়; icosahedron - জল, কারণ এটি সবচেয়ে "সুবিধাপূর্ণ"; ঘনক - পৃথিবী, সবচেয়ে "স্থিতিশীল" হিসাবে; অষ্টহেড্রন - বায়ু, সবচেয়ে "বায়ুযুক্ত" হিসাবে। পঞ্চম পলিহেড্রন, ডোডেকাহেড্রন, "অস্তিত্বশীল সবকিছু" মূর্ত করে, সমগ্র মহাবিশ্বের প্রতীক, এবং প্রধান হিসাবে বিবেচিত হয়েছিল।

একটি পলিহেড্রন হল একটি জ্যামিতিক দেহ যা চারদিকে সমতল - সমতল বহুভুজ দ্বারা আবদ্ধ।

একটি উত্তল পলিহেড্রন যদি এটি তার প্রতিটি মুখের এক পাশে অবস্থিত হয়।

একটি প্রিজম হল একটি পলিহেড্রন, যার 2টি মুখ একটি সমান্তরাল সমতলে থাকা এন-গন এবং বাকি এন-মুখগুলি সমান্তরালগ্রাম।

সমান্তরাল বেস প্লেনে অবস্থিত বহুভুজ।

পাশের মুখগুলির সংমিশ্রণটি পার্শ্বীয় পৃষ্ঠ তৈরি করে।

প্রিজমগুলিকে বিভক্ত করা হয়েছে:

1) ভিত্তির কোণের সংখ্যা দ্বারা (ত্রিভুজাকার, চতুর্ভুজাকার, ইত্যাদি)

2) গোড়ার দিকে পাঁজরের প্রবণতা অনুসারে (সোজা, তির্যক)

একটি নিয়মিত প্রিজমের একটি নিয়মিত বহুভুজ ভিত্তি থাকে।

প্রিজমের উচ্চতা হল বেসগুলির মধ্যে দূরত্ব।

একটি প্রিজমের একটি অঙ্কন নির্মাণ তার শীর্ষবিন্দু (চরিত্রিক বিন্দু) নির্মাণ এবং অভিক্ষেপ দ্বারা সীমিত সরল রেখা নির্মাণে নেমে আসে।

একটি পলিহেড্রনের বিকাশ একটি সমতলের সাথে এর সমস্ত মুখ একত্রিত করে প্রাপ্ত একটি চিত্র।

উন্নয়নগুলি কঠিন প্রধান লাইন দিয়ে চিত্রিত করা হয়। প্রয়োজন হলে, বাঁক লাইন আঁকুন। উন্নয়নের জন্য, উপাদানগুলির শুধুমাত্র প্রাকৃতিক মূল্য গ্রহণ করা হয়।

একটি পিরামিড একটি পলিহেড্রন, একটি মুখ একটি এন-গন এবং বাকিগুলি একটি সাধারণ শীর্ষবিন্দু সহ ত্রিভুজ।

পিরামিডের ভিত্তি যদি একটি নিয়মিত বহুভুজ হয় তবে এটি একটি নিয়মিত পিরামিড। উচ্চতা বেসের মাঝখান দিয়ে যাবে। অন্যান্য ধরণের পলিহেড্রা রয়েছে - প্রিজমাটয়েড, টেট্রাহেড্রন ইত্যাদি।

10. সারফেস। পৃষ্ঠতলের গঠন এবং সংজ্ঞা। ঘূর্ণন পৃষ্ঠ.

একটি পৃষ্ঠ হল মহাকাশের দুটি সংলগ্ন অংশের একটি সাধারণ অংশ, মহাকাশে চলমান রেখার অবস্থানের একটি অবিচ্ছিন্ন সেট (বিপ্লবের সারফেসগুলি এমন পৃষ্ঠগুলি যা একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার চারপাশে একটি নির্দিষ্ট জেনাট্রিক্সের ঘূর্ণনের দ্বারা গঠিত হয়। - ঘূর্ণনের অক্ষ।

ঘূর্ণনের সময়, জেনারাট্রিক্সের প্রতিটি বিন্দু একটি বৃত্ত বর্ণনা করে, যার ঘূর্ণনের কেন্দ্রটি ঘূর্ণনের অক্ষে থাকে। এই বৃত্তগুলিকে সমান্তরাল বলা হয়।

সবচেয়ে বড় ব্যাসের সমান্তরালকে বিষুবরেখা বলা হয়।

একটি সিলিন্ডার হল একটি জ্যামিতিক বডি যা একটি নলাকার পৃষ্ঠ এবং 2টি সমান্তরাল সমতল দ্বারা আবদ্ধ।

গাইড যদি একটি বৃত্ত হয় তবে এটি একটি বৃত্তাকার সিলিন্ডার।

যদি জেনারাট্রিক্স বেসের সাথে লম্ব হয় তবে এটি একটি সোজা সিলিন্ডার।

একটি শঙ্কু হল একটি জ্যামিতিক দেহ যা শীর্ষের একপাশে অবস্থিত একটি শঙ্কুযুক্ত পৃষ্ঠ দ্বারা আবদ্ধ এবং বেসে একটি সমতল যা সমস্ত জেনাট্রিকে ছেদ করে।

গোলাকার পৃষ্ঠ। এটি এই বৃত্তের সমতলে অবস্থিত একটি বৃত্ত বা এর অংশ ঘোরানোর মাধ্যমে পাওয়া যায়, তবে শর্ত থাকে যে বৃত্তের কেন্দ্রটি ঘূর্ণনের অক্ষের উপর থাকে।

একটি টরিক পৃষ্ঠ এই বৃত্তের সমতলে অবস্থিত একটি অক্ষের চারপাশে একটি বৃত্ত বা এর কিছু অংশ ঘোরানোর মাধ্যমে প্রাপ্ত করা হয় কিন্তু এর কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায় না।

11. একটি সমতল সঙ্গে পৃষ্ঠতলের ছেদ.

যখন একটি পৃষ্ঠ বা জ্যামিতিক চিত্র একটি সমতলের সাথে ছেদ করে, তখন একটি সমতল চিত্র পাওয়া যায়, যাকে একটি বিভাগ বলে।

সেকশন লাইনের অনুমানগুলি নির্ধারণ করা রেফারেন্স পয়েন্টগুলির নির্মাণের সাথে শুরু করা উচিত - পৃষ্ঠের কনট্যুর লাইনে অবস্থিত পয়েন্টগুলি (বক্ররেখার অনুমানগুলির দৃশ্যমানতার সীমানা সংজ্ঞায়িত করে); প্রজেকশন প্লেন থেকে চরম (সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন) দূরত্বে অবস্থিত পয়েন্ট। এর পরে, বিভাগ লাইনের নির্বিচারে পয়েন্টগুলি নির্ধারিত হয়।

পলিহেড্রার সেকশন নির্মাণ।

একটি পলিহেড্রন হল একটি স্থানিক চিত্র যা একটি বদ্ধ পৃষ্ঠ দ্বারা আবদ্ধ যা বহুভুজের মতো আকৃতির সমতলগুলির অংশগুলি নিয়ে গঠিত (ত্রিভুজের বিশেষ ক্ষেত্রে)।

বহুভুজের পাশগুলি প্রান্তগুলি তৈরি করে এবং বহুভুজের সমতলগুলি পলিহেড্রনের মুখগুলি তৈরি করে।

পলিহেড্রার অংশগুলির অনুমানগুলি, সাধারণ ক্ষেত্রে, বহুভুজ যার শীর্ষগুলি প্রান্তগুলির অন্তর্গত এবং যার পার্শ্বগুলি পলিহেড্রনের মুখের অন্তর্গত *। সুতরাং, একটি পলিহেড্রনের বিভাগ নির্ধারণের সমস্যাটি একটি সমতলের সাথে একটি সরল রেখার (পলিহেড্রনের প্রান্ত) মিলন বিন্দু নির্ধারণের সমস্যা বা ছেদ রেখা খুঁজে পাওয়ার সমস্যার পুনরাবৃত্তি সমাধানে হ্রাস করা যেতে পারে। দুটি সমতল (পলিহেড্রনের মুখ এবং একটি কাটিং প্লেন)।

প্রথম সমাধান পথটিকে প্রান্ত পদ্ধতি বলা হয়, দ্বিতীয়টি - প্রান্ত পদ্ধতি

বিপ্লবের পৃষ্ঠের একটি অংশের নির্মাণ।

একটি সমতল দ্বারা বিপ্লবের দেহগুলির একটি অংশের চিত্রের চেহারা কাটা প্লেনের অবস্থানের উপর নির্ভর করে।

যখন একটি বৃত্তাকার সিলিন্ডার একটি অংশে একটি সমতলের সাথে ছেদ করে, তখন সিলিন্ডারের তিনটি ক্রস-বিভাগীয় চিত্র পাওয়া যেতে পারে:

ক) একটি বৃত্ত, যদি কাটিং প্লেনটি সিলিন্ডারের অক্ষের সাথে লম্ব হয়;

খ) উপবৃত্ত, যদি কাটিং প্লেনটি সিলিন্ডারের অক্ষের দিকে ঝুঁকে থাকে

c) একটি আয়তক্ষেত্র, যদি কাটিং প্লেনটি সিলিন্ডার অক্ষের সমান্তরাল হয়

পৌর শিক্ষা প্রতিষ্ঠান

জিমনেসিয়াম নং 26

জ্যামিতি

পলিহেড্রার প্রধান প্রকার এবং তাদের বৈশিষ্ট্য

সম্পাদিত:

নবম-১ম শ্রেণীর ছাত্র

বায়সাকোভা লিয়াজ্জাত

শিক্ষক:

সিসোয়েভা এলেনা আলেকসিভনা

চেলিয়াবিনস্ক

ভূমিকা

এখন অবধি, জ্যামিতি কোর্সে, আমরা প্ল্যানিমেট্রি অধ্যয়ন করছি - আমরা সমতল জ্যামিতিক পরিসংখ্যানগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করছি, অর্থাৎ, সম্পূর্ণরূপে সমতলে অবস্থিত পরিসংখ্যানগুলি। কিন্তু আমাদের চারপাশের বেশিরভাগ বস্তুই পুরোপুরি সমতল নয়, তারা মহাকাশে অবস্থিত। জ্যামিতির যে অংশে মহাকাশের চিত্রগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করা হয় তাকে বলা হয় স্টেরিওমেট্রি (অন্যান্য গ্রীক থেকে στερεός, "স্টিরিওস" - "কঠিন, স্থানিক" এবং μετρέω - "আমি পরিমাপ করি")।

মহাকাশ প্রধান পরিসংখ্যান হয় বিন্দু , সোজাএবং সমতল. এই সহজতম পরিসংখ্যানগুলির সাথে, জ্যামিতিক দেহ এবং তাদের পৃষ্ঠগুলি স্টেরিওমেট্রিতে বিবেচনা করা হয়। জ্যামিতিক সংস্থাগুলি অধ্যয়ন করার সময়, অঙ্কনে চিত্রগুলি ব্যবহার করুন।

চিত্র 1 চিত্র 2

চিত্র 1 একটি পিরামিড দেখায়, চিত্র 2 একটি ঘনক দেখায়। এই জ্যামিতিক শরীর বলা হয় পলিহেড্রাআসুন পলিহেড্রার কিছু প্রকার এবং বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করি।

বহুমুখী পৃষ্ঠ। পলিহেড্রন

একটি পলিহেড্রাল পৃষ্ঠ হল একটি সীমিত সংখ্যক সমতল বহুভুজের মিলন যাতে যেকোন বহুভুজের প্রতিটি বাহু একই সময়ে অন্য একটি (কিন্তু শুধুমাত্র একটি) বহুভুজের পাশে থাকে, যাকে প্রথম বহুভুজের সংলগ্ন বলা হয়।

পলিহেড্রাল পৃষ্ঠ তৈরি করে এমন যে কোনো বহুভুজ থেকে, আপনি সংলগ্ন বহুভুজ বরাবর সরে গিয়ে অন্য যে কোনোটিতে পৌঁছাতে পারেন।

যে বহুভুজগুলি একটি পলিহেড্রাল পৃষ্ঠ তৈরি করে তাদের মুখগুলি বলা হয়; বহুভুজগুলির বাহুগুলিকে প্রান্ত বলা হয় এবং শীর্ষবিন্দুগুলিকে বহুভুজ পৃষ্ঠের শীর্ষবিন্দু বলা হয়।

চিত্র 1 বহুভুজগুলির মিলন দেখায় যা নির্দিষ্ট প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে এবং পলিহেড্রাল পৃষ্ঠ। চিত্র 2 এমন পরিসংখ্যান দেখায় যা পলিহেড্রাল পৃষ্ঠ নয়।

একটি পলিহেড্রাল পৃষ্ঠ স্থানকে দুটি ভাগে বিভক্ত করে - পলিহেড্রাল পৃষ্ঠের অভ্যন্তরীণ অঞ্চল এবং বাইরের অঞ্চল। দুটি অঞ্চলের মধ্যে, বাইরেরটি এমন একটি হবে যেখানে এটি সম্পূর্ণভাবে অঞ্চলের অন্তর্গত সরলরেখা আঁকা সম্ভব।

5 পলিহেড্রন পৃষ্ঠ এবং এর অভ্যন্তরীণ অঞ্চলের মিলনকে পলিহেড্রন বলা হয়। এই ক্ষেত্রে, পলিহেড্রন পৃষ্ঠ এবং এর অভ্যন্তরীণ অঞ্চলকে যথাক্রমে পলিহেড্রনের পৃষ্ঠ এবং অভ্যন্তরীণ অঞ্চল বলা হয়। পলিহেড্রনের পৃষ্ঠের মুখ, প্রান্ত এবং শীর্ষবিন্দুগুলিকে যথাক্রমে পলিহেড্রনের মুখ, প্রান্ত এবং শীর্ষবিন্দু বলা হয়।

পিরামিড

একটি পলিহেড্রন, যার একটি মুখ একটি নির্বিচারে পলিহেড্রন, এবং বাকি মুখগুলি একটি সাধারণ শীর্ষবিন্দু সহ ত্রিভুজ, তাকে পিরামিড বলা হয়।

বহুভুজকে পিরামিডের ভিত্তি বলা হয় এবং অবশিষ্ট মুখগুলিকে (ত্রিভুজ) পিরামিডের পার্শ্বীয় মুখ বলা হয়।

ত্রিভুজাকার, চতুর্ভুজাকার, পঞ্চভুজ ইত্যাদি রয়েছে। পিরামিডগুলি পিরামিডের গোড়ায় থাকা বহুভুজের ধরণের উপর নির্ভর করে।

একটি ত্রিভুজাকার পিরামিডকে টেট্রাহেড্রনও বলা হয়। চিত্র 1 একটি বেস ABCD সহ একটি চতুর্ভুজাকার পিরামিড SABCD এবং পাশের মুখগুলি SAB, SBC, SCD, SAD দেখায়।

পিরামিডের মুখের দিকগুলিকে পিরামিডের প্রান্ত বলা হয়। পিরামিডের গোড়ার পাঁজরগুলোকে বলা হয় বেস পাঁজর, এবং অন্য সব পাঁজরকে বলা হয় পার্শ্বীয় পাঁজর। সমস্ত ত্রিভুজের সাধারণ শীর্ষবিন্দুকে (পার্শ্বমুখী) পিরামিডের শীর্ষবিন্দু বলা হয় (চিত্র 1-এ, বিন্দু S হল পিরামিডের শীর্ষবিন্দু, অংশগুলি SA, SB, SC, SD হল পাশের প্রান্তগুলি, খণ্ডগুলি AB, BC, CD, AD হল বেসের প্রান্ত)।

পিরামিডের উচ্চতা হল পিরামিড এস এর শীর্ষ থেকে ভিত্তির সমতলে আঁকা একটি লম্ব অংশ (এই অংশের শেষগুলি পিরামিডের শীর্ষ এবং লম্বের ভিত্তি)। চিত্র 1 SO হল পিরামিডের উচ্চতা।

সঠিক পিরামিড। একটি পিরামিডকে নিয়মিত বলা হয় যদি পিরামিডের ভিত্তি একটি নিয়মিত বহুভুজ হয় এবং ভিত্তিটির সমতলে শীর্ষবিন্দুর অর্থোগোনাল অভিক্ষেপ পিরামিডের গোড়ায় থাকা বহুভুজের কেন্দ্রের সাথে মিলে যায়।

একটি নিয়মিত পিরামিডের সমস্ত পার্শ্বীয় প্রান্ত একে অপরের সমান; সমস্ত পাশের মুখগুলি সমান সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

একটি নিয়মিত পিরামিডের পাশের মুখের উচ্চতা, এটির শীর্ষবিন্দু থেকে আঁকা, এই পিরামিডের অ্যাপোথেম বলা হয়। চিত্র 2-এ SN একটি অপথেম। একটি নিয়মিত পিরামিডের সমস্ত অ্যাপোথেম একে অপরের সমান।

প্রিজম

একটি পলিহেড্রন যার দুটি মুখ সমান n-গন সমান্তরাল সমতলে পড়ে আছে এবং বাকিগুলো nমুখগুলিকে সমান্তরালগ্রাম বলা হয় n- কার্বন প্রিজম।

পলিহেড্রন পিরামিড প্রিজম প্যারালেলেপিড

জোড়া সমান n-গনকে প্রিজমের ভিত্তি বলা হয়। প্রিজমের অবশিষ্ট মুখগুলিকে এর পার্শ্বীয় মুখ বলা হয় এবং তাদের সংমিশ্রণকে প্রিজমের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠ বলা হয়। চিত্র 1 একটি পঞ্চভুজ প্রিজম দেখায়।

প্রিজমের মুখের দিকগুলিকে বলা হয় পাঁজর, এবং পাঁজরের প্রান্তগুলিকে প্রিজমের শীর্ষবিন্দু বলা হয়। যে পাঁজরগুলি প্রিজমের গোড়ার অন্তর্গত নয় তাকে পার্শ্বীয় পাঁজর বলে।

যে প্রিজমের পাশের প্রান্তগুলি ঘাঁটির সমতলগুলির সাথে লম্ব হয় তাকে সোজা প্রিজম বলে। অন্যথায়, প্রিজমকে তির্যক বলা হয়।

প্রিজমের ভিত্তিগুলির সমতলগুলির সাথে লম্ব একটি অংশ, যার প্রান্তগুলি এই সমতলগুলির অন্তর্গত, তাকে প্রিজমের উচ্চতা বলা হয়।

একটি ডান প্রিজম যার ভিত্তি একটি নিয়মিত বহুভুজ তাকে নিয়মিত প্রিজম বলে।

সমান্তরাল পাইপড

একটি সমান্তরাল পাইপড হল একটি ষড়ভুজ যার বিপরীত মুখগুলি জোড়ায় সমান্তরাল। সমান্তরাল পাইপড 8টি শীর্ষবিন্দু, 12টি প্রান্ত রয়েছে; এর মুখগুলি জোড়া সমান সমান্তরালগ্রাম।

সমান্তরাল পাইপডসোজা বলা হয় যদি এর পাশের প্রান্তগুলি বেসের সমতলে লম্ব হয় (এই ক্ষেত্রে, 4টি পাশের মুখ আয়তক্ষেত্র); আয়তক্ষেত্রাকার যদি এই সমান্তরাল পাইপডসোজা এবং ভিত্তিটি একটি আয়তক্ষেত্র (অতএব, 6টি মুখ আয়তক্ষেত্র);

সমান্তরাল পাইপড, যার সমস্ত মুখ বর্গাকার তাকে ঘনক বলা হয়।

আয়তন সমান্তরাল পাইপডএর বেস এবং এর উচ্চতার ক্ষেত্রফলের গুণফলের সমান।

শরীরের ভলিউম

প্রতিটি পলিহেড্রনের একটি ভলিউম থাকে যা নির্বাচিত ভলিউম ইউনিট ব্যবহার করে পরিমাপ করা যায়। আয়তন পরিমাপের একক হল একটি ঘনক, যার প্রান্তটি অংশগুলির পরিমাপের এককের সমান। 1 সেমি প্রান্ত বিশিষ্ট একটি ঘনক বলা হয় ঘন সেন্টিমিটার. একইভাবে সংজ্ঞায়িত ঘন মিটারএবং ঘন মিলিমিটার, ইত্যাদি

পরিমাপের নির্বাচিত এককের সাহায্যে আয়তন পরিমাপের প্রক্রিয়ায়, একটি শরীরের আয়তনকে একটি ধনাত্মক সংখ্যা হিসাবে প্রকাশ করা হয়, যা দেখায় যে আয়তনের পরিমাপের কতগুলি একক এবং এর অংশগুলি এই দেহের সাথে ফিট করে। একটি শরীরের আয়তন প্রকাশকারী সংখ্যা আয়তন পরিমাপের এককের পছন্দের উপর নির্ভর করে। অতএব, এই সংখ্যার পরে ভলিউম ইউনিট নির্দেশিত হয়।

আয়তনের মৌলিক বৈশিষ্ট্য:

1. সমান দেহের সমান আয়তন আছে।

2. যদি একটি দেহ বেশ কয়েকটি দেহের সমন্বয়ে গঠিত হয়, তবে এর আয়তন এই দেহগুলির আয়তনের সমষ্টির সমান।

শরীরের ভলিউম খুঁজে বের করার জন্য, কিছু ক্ষেত্রে এটি বলা উপপাদ্য ব্যবহার করা সুবিধাজনক ক্যাভালিয়ারি নীতি .

ক্যাভালিয়েরির নীতিটি নিম্নরূপ: যদি, দুটি দেহ কোনো নির্দিষ্ট সমতলের সমান্তরাল সমতলের সাথে ছেদ করে, সমান ক্ষেত্রফলের অংশগুলি পাওয়া যায়, তাহলে দেহগুলির আয়তন একে অপরের সমান হয়।

উপসংহার

সুতরাং, পলিহেড্রা জ্যামিতির একটি শাখা দ্বারা অধ্যয়ন করা হয় যাকে স্টেরিওমেট্রি বলা হয়। পলিহেড্রা বিভিন্ন প্রকারে আসে (পিরামিড, প্রিজম, ইত্যাদি) এবং বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য রয়েছে। এছাড়াও, এটি লক্ষ করা উচিত যে পলিহেড্রা, ফ্ল্যাট পরিসংখ্যানের বিপরীতে, ভলিউম আছে এবং মহাকাশে অবস্থিত।

আমাদের চারপাশের বেশিরভাগ বস্তুই মহাকাশে, এবং পলিহেড্রার অধ্যয়ন আমাদের জ্যামিতির দৃষ্টিকোণ থেকে আমাদের চারপাশের বাস্তবতা সম্পর্কে ধারণা পেতে সাহায্য করে।

গ্রন্থপঞ্জি

1. জ্যামিতি। 7-9 গ্রেডের জন্য পাঠ্যপুস্তক।

3. উইকিপিডিয়া