Formule voor het vinden van het volume van een piramide. Hoogte van de piramide. Hoe kun je haar vinden? Hoe de hoogte van een piramide te vinden als het volume bekend is
Stelling.
Het volume van de piramide is gelijk aan een derde van het product van de oppervlakte van de basis en de hoogte.
Bewijs:
Eerst bewijzen we de stelling voor een driehoekige piramide, daarna voor een willekeurige piramide.1. Beschouw een driehoekige piramideOABCmet volume V, basisoppervlakS en hoogte H. Laten we de as tekenen oh (OM2- hoogte), overweeg de sectieA1 B1 C1piramide met een vlak loodrecht op de asOhen dus evenwijdig aan het vlak van de basis. Laten we aanduiden metX abscis punt M1 snijpunt van dit vlak met de x-as, en doorS(X)- dwarsdoorsnedeoppervlak. Laten we het uitdrukken S(X) door S, H En X. Merk op dat driehoeken A1 IN1 MET1 En ABC's zijn vergelijkbaar. inderdaad A1 IN1 II AB, dus driehoek OA 1 IN 1 vergelijkbaar met driehoek OAB. MET daarom, A1 IN1 : AB= OA 1: OA .
Rechte driehoeken OA 1 IN 1 en OAV zijn ook vergelijkbaar (ze hebben een gemeenschappelijke scherpe hoek met hoekpunt O). Daarom O.A 1: OA = O 1 M1 : OM = x: H. Dus A 1 IN 1 : EEN B = x: H.Op dezelfde manier wordt dat bewezenB1 C1:Zon = X: H En A1 C1:wisselstroom = X: H.Driehoek dusA1 B1 C1 En abcvergelijkbaar met gelijkeniscoëfficiënt X: H.Daarom S(x): S = (x: H)², of S(x) = S x²/ H².
Laten we nu de basisformule toepassen voor het berekenen van de volumes van lichamenA= 0, b =H we krijgen
Het volume van de oorspronkelijke piramide is dus 1/3Sh. De stelling is bewezen.
Gevolg:
Deel V van een afgeknotte piramide waarvan de hoogte h is en waarvan de basisoppervlakken S en S zijn1 , worden berekend met de formule
h - hoogte van de piramide
Stop
- gebied van de bovenste basis
S lager - gebied van de onderste basis
Het belangrijkste kenmerk van elke geometrische figuur in de ruimte is het volume. In dit artikel zullen we kijken naar wat een piramide met een driehoek aan de basis is, en we zullen ook laten zien hoe je het volume van een driehoekige piramide kunt vinden - normaal, volledig en afgeknot.
Wat is dit: een driehoekige piramide?
Laten we een willekeurige driehoek nemen en al zijn hoekpunten verbinden met een enkel punt dat zich buiten het vlak van deze driehoek bevindt. Het resulterende figuur wordt een driehoekige piramide genoemd. Het wordt weergegeven in de onderstaande afbeelding.
Zoals je kunt zien, wordt de figuur in kwestie gevormd door vier driehoeken, die in het algemeen verschillend zijn. Elke driehoek is de zijde van de piramide of het vlak ervan. Deze piramide wordt vaak een tetraëder genoemd, dat wil zeggen een tetraëdrische driedimensionale figuur.
Naast de zijkanten heeft de piramide ook randen (er zijn er 6) en hoekpunten (van 4).
met driehoekige basis
Een figuur die wordt verkregen met behulp van een willekeurige driehoek en een punt in de ruimte zal in het algemeen een onregelmatige schuine piramide zijn. Stel je nu voor dat de oorspronkelijke driehoek identieke zijden heeft, en dat een punt in de ruimte zich precies boven het geometrische middelpunt bevindt, op een afstand h van het vlak van de driehoek. De piramide die met behulp van deze initiële gegevens is opgebouwd, zal correct zijn.
Het is duidelijk dat het aantal randen, zijden en hoekpunten van een regelmatige driehoekige piramide hetzelfde zal zijn als dat van een piramide opgebouwd uit een willekeurige driehoek.
De juiste figuur heeft echter enkele onderscheidende kenmerken:
- de hoogte, getrokken vanaf het hoekpunt, zal de basis precies snijden in het geometrische middelpunt (het snijpunt van de medianen);
- het zijoppervlak van zo'n piramide wordt gevormd door drie identieke driehoeken, die gelijkbenig of gelijkzijdig zijn.
Een regelmatige driehoekige piramide is niet alleen een puur theoretisch geometrisch object. Sommige structuren in de natuur hebben hun vorm, bijvoorbeeld het diamantkristalrooster, waarbij een koolstofatoom door covalente bindingen met vier dezelfde atomen is verbonden, of een methaanmolecuul, waarbij de hoekpunten van de piramide worden gevormd door waterstofatomen.
driehoekige piramide
Je kunt het volume van absoluut elke piramide met een willekeurige n-hoek aan de basis bepalen met behulp van de volgende uitdrukking:
Hier geeft het symbool So het gebied van de basis aan, h is de hoogte van de figuur die vanaf de top van de piramide naar de gemarkeerde basis is getekend.
Omdat de oppervlakte van een willekeurige driehoek gelijk is aan de helft van het product van de lengte van zijn zijde a en de apothema ha die op deze zijde valt, kan de formule voor het volume van een driehoekige piramide als volgt worden geschreven:
V = 1/6 × een × h een × h
Voor het algemene type is het bepalen van de hoogte geen gemakkelijke taak. Om dit op te lossen, is de eenvoudigste manier om de formule te gebruiken voor de afstand tussen een punt (hoekpunt) en een vlak (driehoekige basis), weergegeven door een algemene vergelijking.
Voor de juiste heeft het een specifiek uiterlijk. Het gebied van de basis (van een gelijkzijdige driehoek) daarvoor is gelijk aan:
Als we dit vervangen door de algemene uitdrukking voor V, krijgen we:
V = √3/12 × a 2 × h
Een speciaal geval is de situatie waarin alle zijden van een tetraëder identieke gelijkzijdige driehoeken blijken te zijn. In dit geval kan het volume ervan alleen worden bepaald op basis van kennis van de parameter van zijn rand a. De bijbehorende uitdrukking ziet er als volgt uit:
Afgeknotte piramide
Als het bovenste deel met het hoekpunt wordt afgesneden van een regelmatige driehoekige piramide, krijg je een afgeknotte figuur. In tegenstelling tot het origineel zal het bestaan uit twee gelijkzijdige driehoekige bases en drie gelijkbenige trapeziums.
De onderstaande foto laat zien hoe een regelmatige afgeknotte driehoekige piramide van papier eruit ziet.
Om het volume van een afgeknotte driehoekige piramide te bepalen, moet je de drie lineaire kenmerken ervan kennen: elk van de zijden van de basis en de hoogte van de figuur, gelijk aan de afstand tussen de bovenste en onderste basis. De overeenkomstige volumeformule is als volgt geschreven:
V = √3/12 × h × (A 2 + een 2 + A × een)
Hier is h de hoogte van de figuur, A en a zijn de lengtes van de zijden van respectievelijk de grote (onderste) en kleine (bovenste) gelijkzijdige driehoeken.
De oplossing van het probleem
Om de informatie in het artikel duidelijker te maken voor de lezer, zullen we met een duidelijk voorbeeld laten zien hoe u enkele van de geschreven formules kunt gebruiken.
Stel dat het volume van de driehoekige piramide 15 cm 3 is. Het is bekend dat het cijfer klopt. Je zou het apothema a b van de zijrand moeten vinden als je weet dat de hoogte van de piramide 4 cm is.
Omdat het volume en de hoogte van de figuur bekend zijn, kunt u de juiste formule gebruiken om de lengte van de zijkant van de basis te berekenen. We hebben:
V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm
a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25,98 2 / 12) = 8,5 cm
De berekende lengte van de apothema van de figuur bleek groter te zijn dan de hoogte, wat geldt voor elk type piramide.
Een piramide is een veelvlak met een veelhoek aan de basis. Alle vlakken vormen op hun beurt driehoeken die samenkomen in één hoekpunt. Piramides zijn driehoekig, vierhoekig, enzovoort. Om te bepalen welke piramide voor je staat, volstaat het om het aantal hoeken aan de basis te tellen. De definitie van “hoogte van een piramide” wordt heel vaak aangetroffen in meetkundeproblemen in het schoolcurriculum. In dit artikel zullen we proberen verschillende manieren te bekijken om het te vinden.
Delen van de piramide
Elke piramide bestaat uit de volgende elementen:
- zijvlakken, die drie hoeken hebben en bij de top samenkomen;
- de apothema vertegenwoordigt de hoogte die vanaf de top afdaalt;
- de bovenkant van de piramide is een punt dat de zijribben verbindt, maar niet in het vlak van de basis ligt;
- de basis is een veelhoek waarop het hoekpunt niet ligt;
- de hoogte van een piramide is een segment dat de top van de piramide snijdt en een rechte hoek vormt met de basis.
Hoe de hoogte van een piramide te vinden als het volume bekend is
Via de formule V = (S*h)/3 (in de formule V is het volume, S is de oppervlakte van de basis, h is de hoogte van de piramide) vinden we dat h = (3*V)/ S. Laten we het probleem onmiddellijk oplossen om het materiaal te consolideren. De driehoekige basis is 50 cm 2 , terwijl het volume 125 cm 3 is. De hoogte van de driehoekige piramide is onbekend, en dat is wat we moeten vinden. Alles is hier eenvoudig: we voegen de gegevens in onze formule in. We krijgen h = (3*125)/50 = 7,5 cm.
Hoe de hoogte van een piramide te vinden als de lengte van de diagonaal en de randen bekend zijn
Zoals we ons herinneren, vormt de hoogte van de piramide een rechte hoek met de basis. Dit betekent dat de hoogte, rand en helft van de diagonaal samen vormen. Velen herinneren zich natuurlijk de stelling van Pythagoras. Als je twee dimensies kent, zal het niet moeilijk zijn om de derde hoeveelheid te vinden. Laten we ons de bekende stelling a² = b² + c² herinneren, waarbij a de hypotenusa is, en in ons geval de rand van de piramide; b - het eerste been of de helft van de diagonaal en c - respectievelijk het tweede been of de hoogte van de piramide. Uit deze formule c² = a² - b².
Nu het probleem: in een gewone piramide is de diagonaal 20 cm, terwijl de lengte van de rand 30 cm is. Je moet de hoogte vinden. We lossen op: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Dus c = √ 500 = ongeveer 22,4.
Hoe de hoogte van een afgeknotte piramide te vinden
Het is een veelhoek met een doorsnede evenwijdig aan de basis. De hoogte van een afgeknotte piramide is het segment dat de twee bases met elkaar verbindt. De hoogte van een gewone piramide kan worden gevonden als de lengtes van de diagonalen van beide basissen, evenals de rand van de piramide, bekend zijn. Stel dat de diagonaal van de grotere basis d1 is, terwijl de diagonaal van de kleinere basis d2 is, en de rand lengte l heeft. Om de hoogte te vinden, kunt u de hoogte verlagen vanaf de twee bovenste tegenoverliggende punten van het diagram naar de basis. We zien dat we twee rechthoekige driehoeken hebben; het enige dat overblijft is het vinden van de lengte van hun benen. Om dit te doen, trekt u de kleinere af van de grotere diagonaal en deelt u deze door 2. We vinden dus één been: a = (d1-d2)/2. Daarna hoeven we volgens de stelling van Pythagoras alleen nog maar het tweede been te vinden, wat de hoogte van de piramide is.
Laten we dit hele ding nu eens in de praktijk bekijken. Er ligt een taak voor ons. Een afgeknotte piramide heeft een vierkant aan de basis, de diagonale lengte van de grotere basis is 10 cm, terwijl de kleinere 6 cm is, en de rand is 4 cm. Eerst vinden we één been: a = (10-6)/2 = 2 cm. Eén been is 2 cm en de hypotenusa is 4 cm. Het blijkt dat het tweede been of de hoogte gelijk zal zijn aan 16-4 = 12, dat wil zeggen h = √12 = ongeveer 3,5 cm.
Stelling. Het volume van een piramide is gelijk aan het product van de oppervlakte van de basis en een derde van de hoogte.
Eerst bewijzen we deze stelling voor een driehoekige piramide, en vervolgens voor een veelhoekige piramide.
1) Gebaseerd op de driehoekige piramide SABC (Fig. 102), zullen we een prisma SABCDE construeren, waarvan de hoogte gelijk is aan de hoogte van de piramide, en één zijrand samenvalt met de rand SB. Laten we bewijzen dat het volume van de piramide een derde is van het volume van dit prisma. Laten we deze piramide scheiden van het prisma. Wat dan overblijft is de vierhoekige piramide SADEC (die voor de duidelijkheid apart is weergegeven). Laten we er een snijvlak in tekenen door het hoekpunt S en de diagonaal van de basis DC. De resulterende twee driehoekige piramides hebben een gemeenschappelijk hoekpunt S en gelijke bases DEC en DAC, die in hetzelfde vlak liggen; Dit betekent dat deze volgens het hierboven bewezen piramidelemma even groot zijn. Laten we een ervan, namelijk SDEC, vergelijken met deze piramide. De basis van de SDEC-piramide kan worden genomen als \(\Delta\)SDE; dan zal de top zich op punt C bevinden en zal de hoogte gelijk zijn aan de hoogte van de gegeven piramide. Omdat \(\Delta\)SDE = \(\Delta\)ABC, zijn volgens hetzelfde lemma de piramides SDEC en SABC even groot.
We verdeelden het ABCDES-prisma in drie piramides van gelijke grootte: SABC, SDEC en SDAC. (Het is duidelijk dat elk driehoekig prisma aan een dergelijke verdeling kan worden onderworpen. Dit is een van de belangrijke eigenschappen van een driehoekig prisma.) De som van de volumes van drie piramides die even groot zijn als deze, vormt dus het volume van het prisma; vandaar,
$$ V_(SABC) = \frac(1)(3) V_(SDEABC) = \frac(S_(ABC)\cdot H)(3) = S_(ABC)\frac(H)(3) $$
waarbij H de hoogte van de piramide is.
2) Door een hoekpunt E (Fig. 103) van de basis van de veelhoekige piramide SABCDE tekenen we diagonalen EB en EC.
Vervolgens tekenen we snijvlakken door de rand SE en elk van deze diagonalen. Vervolgens wordt de veelhoekige piramide verdeeld in verschillende driehoekige piramides, met een hoogte die gemeenschappelijk is voor de gegeven piramide. Geeft de gebieden van de basis van driehoekige piramides aan met B 1 , B 2 , B 3 en hoogte tot en met H, krijgen we:
SABCDE-volume = 1 / 3 B 1 uur + 1/3 B 2U + 1/3 B 3 H = ( B 1 + B 2 + B 3) H/3 =
= (oppervlakte ABCDE) H / 3 .
Gevolg.
Stelling. Als V, B en H getallen betekenen die in de overeenkomstige eenheden het volume, de basisoppervlakte en de hoogte van een piramide uitdrukken, dan
Het volume van een afgeknotte piramide is gelijk aan de som van de volumes van drie piramides die dezelfde hoogte hebben als de hoogte van de afgeknotte piramide, en de basis: de ene is de onderste basis van deze piramide, de andere is de bovenste basis, en het gebied van de basis van de derde piramide is gelijk aan het geometrische gemiddelde van de gebieden van de bovenste en onderste basis. B Laat de gebieden van de basis van de afgeknotte piramide (Fig. 104) B en zijn
, hoogte H en volume V (een afgeknotte piramide kan driehoekig of veelhoekig zijn - het maakt niet uit).
Het is nodig om dat te bewijzen B V = 1/3 BH + 1/3 B H+1/3H√B B= 1/3H(B+ B ),
+√B B waar √B B.
is het geometrische gemiddelde tussen B en
Om dit te bewijzen, plaatsen we op een kleinere basis een kleine piramide die deze afgeknotte piramide aanvult tot een complete piramide. Dan kunnen we het volume van de afgeknotte piramide V beschouwen als het verschil tussen twee volumes: de volledige piramide en de bovenste extra. X Nadat u de hoogte van de extra piramide met de letter hebt aangegeven
, dat zullen we vinden X) - 1 / 3 V = 1/3 V (H+ bx = 1/3 (BH + B x-bx B)X].
) = 1 / 3 [ÂH + (Â - X Om de hoogte te vinden
Laten we de stelling van gebruiken, volgens welke we de vergelijking kunnen schrijven:
$$ \frac(B)(b) = \frac((H + x)^3)(x^2) $$
Om deze vergelijking te vereenvoudigen, nemen we de rekenkundige vierkantswortel van beide zijden:
$$ \frac(\sqrt(B))(\sqrt(b)) = \frac(H + x)(x) $$
Uit deze vergelijking (die kan worden gezien als een proportie) krijgen we:
$$ x\sqrt(B) = H\sqrt(b) + x\sqrt(b) $$
$$ (\sqrt(B) - \sqrt(b))x = H\sqrt(b) $$
$$ x = \frac(H\sqrt(b))(\sqrt(B) - \sqrt(b)) $$
Als we deze uitdrukking vervangen door de formule die we hebben afgeleid voor volume V, vinden we:
$$ V = \frac(1)(3)\links $$
Sinds B- B= (√B + √ B) (√B - √ B), en vervolgens door de breuk te verminderen met het verschil √B - √ B we krijgen:
$$ V = \frac(1)(3) BH +(\sqrt(B) + \sqrt(b))H\sqrt(b) =\\= \frac(1)(3)(BH+H\ sqrt(Bb)+Hb) =\\= \frac(1)(3)H(B+b+\sqrt(Bb)) $$
dat wil zeggen, we krijgen de formule die bewezen moest worden.
Andere materialenPiramide een veelvlak genoemd, waarvan de basis een willekeurige veelhoek is, en alle vlakken driehoeken zijn met een gemeenschappelijk hoekpunt, dat de top van de piramide is.
Een piramide is een driedimensionaal figuur. Dat is de reden waarom het vaak nodig is om niet alleen het gebied, maar ook het volume te vinden. De formule voor het volume van een piramide is heel eenvoudig:
waarbij S het gebied van de basis is, en h de hoogte van de piramide.
Hoogte een piramide wordt een rechte lijn genoemd die in een rechte hoek van de bovenkant naar de basis afdaalt. Om het volume van een piramide te vinden, is het daarom noodzakelijk om te bepalen welke polygoon aan de basis ligt, het gebied ervan te berekenen, de hoogte van de piramide te bepalen en het volume ervan te vinden. Laten we een voorbeeld bekijken van het berekenen van het volume van een piramide.
Probleem: gegeven een regelmatige vierhoekige piramide. 
De zijkanten van de basis zijn a = 3 cm, alle zijranden zijn b = 4 cm. Bereken het volume van de piramide.
Onthoud eerst dat u voor het berekenen van het volume de hoogte van de piramide nodig heeft. We kunnen het vinden met behulp van de stelling van Pythagoras. Om dit te doen, hebben we de lengte van de diagonaal nodig, of liever de helft ervan. Als we dan twee zijden van een rechthoekige driehoek kennen, kunnen we de hoogte vinden. Zoek eerst de diagonaal: 
Laten we de waarden in de formule vervangen: 
We vinden de hoogte h met behulp van d en rand b: 
Laten we nu gaan zoeken