Integralen vinden het gebied van een figuur begrensd door lijnen. Bepaalde integraal. Hoe de oppervlakte van een figuur te berekenen

In het vorige gedeelte, gewijd aan de analyse van de geometrische betekenis van een bepaalde integraal, ontvingen we een aantal formules voor het berekenen van de oppervlakte van een kromlijnig trapezium:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x voor een continue en niet-negatieve functie y = f (x) op het interval [ a ; B ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x voor een continue en niet-positieve functie y = f (x) op het interval [ a ; B ] .

Deze formules zijn van toepassing op het oplossen van relatief eenvoudige problemen. In werkelijkheid zullen we vaak met complexere cijfers moeten werken. In dit verband zullen we deze sectie wijden aan de analyse van algoritmen voor het berekenen van het gebied van cijfers die worden beperkt door functies in expliciete vorm, d.w.z. zoals y = f(x) of x = g(y).

Stelling

Laat de functies y = f 1 (x) en y = f 2 (x) gedefinieerd zijn en continu zijn op het interval [ a ; b ] , en f 1 (x) ≤ f 2 (x) voor elke waarde x vanaf [ a ; B ] . Dan ziet de formule voor het berekenen van de oppervlakte van de figuur G, begrensd door de lijnen x = a, x = b, y = f 1 (x) en y = f 2 (x) eruit als S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d X .

Een soortgelijke formule is van toepassing op de oppervlakte van een figuur begrensd door de lijnen y = c, y = d, x = g 1 (y) en x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Bewijs

Laten we eens kijken naar drie gevallen waarvoor de formule geldig zal zijn.

In het eerste geval, rekening houdend met de eigenschap van de som van de oppervlakte, is de som van de gebieden van de oorspronkelijke figuur G en de kromlijnige trapezium G 1 gelijk aan de oppervlakte van de figuur G 2. Het betekent dat

Daarom S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d X - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ een b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

We kunnen de laatste overgang uitvoeren met behulp van de derde eigenschap van de bepaalde integraal.

In het tweede geval geldt de gelijkheid: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) dx

De grafische illustratie ziet er als volgt uit:

Als beide functies niet-positief zijn, krijgen we: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx . De grafische illustratie ziet er als volgt uit:

Laten we verder gaan met het algemene geval waarin y = f 1 (x) en y = f 2 (x) de O x-as snijden.

We duiden de snijpunten aan als x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Deze punten splitsen het segment [a; b] in n delen x i-1; x ik, ik = 1, 2, . . . , n, waarbij α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Vandaar,

S (G) = ∑ ik = 1 n S (G ik) = ∑ ik = 1 n ∫ x ik x ik f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d X = ∫ een b f 2 (x) - f 1 (x) d x

We kunnen de laatste overgang maken met behulp van de vijfde eigenschap van de bepaalde integraal.

Laten we het algemene geval in de grafiek illustreren.

De formule S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x kan als bewezen worden beschouwd.

Laten we nu verder gaan met het analyseren van voorbeelden van het berekenen van het gebied van figuren die worden beperkt door de lijnen y = f (x) en x = g (y).

We beginnen onze beschouwing van elk van de voorbeelden door een grafiek te construeren. Het beeld zal ons in staat stellen complexe vormen voor te stellen als verbindingen van eenvoudigere vormen. Als het moeilijk voor je is om grafieken en figuren daarop te construeren, kun je het gedeelte over elementaire basisfuncties, geometrische transformatie van grafieken van functies, bestuderen en grafieken construeren terwijl je een functie bestudeert.

voorbeeld 1

Het is noodzakelijk om het gebied van de figuur te bepalen, dat wordt begrensd door de parabool y = - x 2 + 6 x - 5 en rechte lijnen y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Oplossing

Laten we de lijnen in de grafiek tekenen in het cartesiaanse coördinatensysteem.

Op het segment [ 1 ; 4 ] de grafiek van de parabool y = - x 2 + 6 x - 5 bevindt zich boven de rechte lijn y = - 1 3 x - 1 2. In dit opzicht gebruiken we om het antwoord te verkrijgen de eerder verkregen formule, evenals de methode voor het berekenen van de definitieve integraal met behulp van de Newton-Leibniz-formule:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Antwoord: S(G) = 13

Laten we naar een complexer voorbeeld kijken.

Voorbeeld 2

Het is noodzakelijk om het gebied van de figuur te berekenen, dat wordt begrensd door de lijnen y = x + 2, y = x, x = 7.

Oplossing

In dit geval hebben we slechts één rechte lijn evenwijdig aan de x-as. Dit is x = 7. Dit vereist dat we zelf de tweede grens van integratie vinden.

Laten we een grafiek maken en daarin de lijnen uitzetten die in de probleemstelling zijn gegeven.

Als we de grafiek voor ogen hebben, kunnen we gemakkelijk vaststellen dat de ondergrens van integratie de abscis zal zijn van het snijpunt van de grafiek van de rechte lijn y = x en de semi-parabool y = x + 2. Om de abscis te vinden gebruiken we de gelijkheden:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Het blijkt dat de abscis van het snijpunt x = 2 is.

We vestigen uw aandacht op het feit dat in het algemene voorbeeld in de tekening de lijnen y = x + 2, y = x elkaar snijden in het punt (2; 2), dus dergelijke gedetailleerde berekeningen lijken misschien niet nodig. We hebben hier alleen zo'n gedetailleerde oplossing gegeven omdat de oplossing in complexere gevallen misschien niet zo voor de hand liggend is. Dit betekent dat het altijd beter is om de coördinaten van het snijpunt van lijnen analytisch te berekenen.

Op het interval [ 2 ; 7] de grafiek van de functie y = x bevindt zich boven de grafiek van de functie y = x + 2. Laten we de formule toepassen om de oppervlakte te berekenen:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Antwoord: S (G) = 59 6

Voorbeeld 3

Het is noodzakelijk om het gebied van de figuur te berekenen, dat wordt beperkt door de grafieken van de functies y = 1 x en y = - x 2 + 4 x - 2.

Oplossing

Laten we de lijnen in de grafiek uitzetten.

Laten we de grenzen van integratie definiëren. Om dit te doen, bepalen we de coördinaten van de snijpunten van de lijnen door de uitdrukkingen 1 x en - x 2 + 4 x - 2 gelijk te stellen. Op voorwaarde dat x niet nul is, wordt de gelijkheid 1 x = - x 2 + 4 x - 2 equivalent aan de derdegraadsvergelijking - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 met gehele coëfficiënten. Om uw geheugen over het algoritme voor het oplossen van dergelijke vergelijkingen op te frissen, kunnen we de sectie ‘Kubische vergelijkingen oplossen’ raadplegen.

De wortel van deze vergelijking is x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Als we de uitdrukking - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 delen door de binominale x - 1, krijgen we: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

We kunnen de resterende wortels vinden uit de vergelijking x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

We vonden het interval x ∈ 1; 3 + 13 2, waarbij het cijfer G zich boven de blauwe en onder de rode lijn bevindt. Dit helpt ons het gebied van de figuur te bepalen:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Antwoord: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Voorbeeld 4

Het is noodzakelijk om het gebied van de figuur te berekenen, dat wordt beperkt door de curven y = x 3, y = - log 2 x + 1 en de abscis-as.

Oplossing

Laten we alle lijnen in de grafiek uitzetten. We kunnen de grafiek van de functie y = - log 2 x + 1 uit de grafiek y = log 2 x halen als we deze symmetrisch rond de x-as plaatsen en één eenheid naar boven verplaatsen. De vergelijking van de x-as is y = 0.

Laten we de snijpunten van de lijnen markeren.

Zoals uit de figuur blijkt, snijden de grafieken van de functies y = x 3 en y = 0 elkaar in het punt (0; 0). Dit gebeurt omdat x = 0 de enige echte wortel is van de vergelijking x 3 = 0.

x = 2 is de enige wortel van de vergelijking - log 2 x + 1 = 0, dus de grafieken van de functies y = - log 2 x + 1 en y = 0 snijden elkaar in het punt (2; 0).

x = 1 is de enige wortel van de vergelijking x 3 = - log 2 x + 1 . In dit opzicht snijden de grafieken van de functies y = x 3 en y = - log 2 x + 1 elkaar in het punt (1; 1). De laatste uitspraak ligt misschien niet voor de hand, maar de vergelijking x 3 = - log 2 x + 1 kan niet meer dan één wortel hebben, aangezien de functie y = x 3 strikt stijgend is, en de functie y = - log 2 x + 1 is strikt afnemend.

De verdere oplossing omvat verschillende opties.

Optie 1

We kunnen ons de figuur G voorstellen als de som van twee kromlijnige trapeziums die zich boven de x-as bevinden, waarvan de eerste zich onder de middellijn op het segment x ∈ 0 bevindt; 1, en de tweede bevindt zich onder de rode lijn op het segment x ∈ 1; 2. Dit betekent dat de oppervlakte gelijk zal zijn aan S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Optie nr. 2

Figuur G kan worden weergegeven als het verschil tussen twee cijfers, waarvan de eerste zich boven de x-as en onder de blauwe lijn op het segment x ∈ 0 bevindt; 2, en de tweede tussen de rode en blauwe lijnen op het segment x ∈ 1; 2. Hierdoor kunnen we het gebied als volgt vinden:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

In dit geval moet je, om de oppervlakte te vinden, een formule gebruiken in de vorm S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. In feite kunnen de lijnen die de figuur begrenzen, worden weergegeven als functies van het argument y.

Laten we de vergelijkingen y = x 3 en - log 2 x + 1 oplossen ten opzichte van x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

We krijgen het vereiste gebied:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Antwoord: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Voorbeeld 5

Het is noodzakelijk om het gebied van de figuur te berekenen, dat wordt beperkt door de lijnen y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Oplossing

Met een rode lijn tekenen we de lijn gedefinieerd door de functie y = x. We tekenen de lijn y = - 1 2 x + 4 in blauw, en de lijn y = 2 3 x - 3 in zwart.

Laten we de snijpunten markeren.

Laten we de snijpunten vinden van de grafieken van de functies y = x en y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Controleer: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 niet Is de oplossing van de vergelijking x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 is de oplossing van de vergelijking ⇒ (4; 2) snijpunt i y = x en y = - 1 2 x + 4

Laten we het snijpunt vinden van de grafieken van de functies y = x en y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Controle: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 is de oplossing van de vergelijking ⇒ (9 ; 3) punt a s y = x en y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Er is geen oplossing voor de vergelijking

Laten we het snijpunt van de lijnen y = - 1 2 x + 4 en y = 2 3 x - 3 vinden:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) snijpunt y = - 1 2 x + 4 en y = 2 3 x - 3

Methode nr. 1

Laten we ons het gebied van de gewenste figuur voorstellen als de som van de gebieden van individuele figuren.

Dan is de oppervlakte van de figuur:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Methode nr. 2

De oppervlakte van de oorspronkelijke figuur kan worden weergegeven als de som van twee andere figuren.

Vervolgens lossen we de vergelijking van de lijn ten opzichte van x op, en pas daarna passen we de formule toe voor het berekenen van de oppervlakte van de figuur.

y = x ⇒ x = y 2 rode lijn y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 zwarte lijn y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Het gebied is dus:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 j + 9 2 - - 2 j + 8 d j + ∫ 2 3 3 2 j + 9 2 - j 2 d j = = ∫ 1 2 7 2 j - 7 2 d j + ∫ 2 3 3 2 j + 9 2 - j 2 d j = = 7 4 j 2 - 7 4 j 1 2 + - j 3 3 + 3 j 2 4 + 9 2 j 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Zoals u kunt zien, zijn de waarden hetzelfde.

Antwoord: S (G) = 11 3

Resultaten

Om de oppervlakte van een figuur te vinden die wordt begrensd door gegeven lijnen, moeten we lijnen op een vlak construeren, hun snijpunten vinden en de formule toepassen om de oppervlakte te vinden. In deze sectie hebben we de meest voorkomende varianten van taken onderzocht.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Bepaalde integraal. Hoe de oppervlakte van een figuur te berekenen

Laten we verder gaan met het overwegen van toepassingen van integraalrekening. In deze les analyseren we de typische en meest voorkomende taak – hoe je een bepaalde integraal gebruikt om de oppervlakte van een vlakke figuur te berekenen. Tenslotte, degenen die op zoek zijn naar betekenis in de hogere wiskunde: mogen zij die vinden. Je weet maar nooit. In het echte leven zul je een datsja-plot moeten benaderen met behulp van elementaire functies en het gebied ervan moeten vinden met behulp van een bepaalde integraal.

Om de stof succesvol onder de knie te krijgen, moet je:

1) Begrijp de onbepaalde integraal op zijn minst op een gemiddeld niveau. Dummies moeten dus eerst de les lezen Niet.

2) De formule van Newton-Leibniz kunnen toepassen en de definitieve integraal kunnen berekenen. U kunt warme, vriendschappelijke relaties opbouwen met bepaalde integralen op de pagina Bepaalde integraal. Voorbeelden van oplossingen.

Om de oppervlakte van een figuur te vinden, heb je eigenlijk niet zoveel kennis nodig van de onbepaalde en bepaalde integraal. De taak “het gebied berekenen met behulp van een bepaalde integraal” omvat altijd het construeren van een tekening, dus je kennis en tekenvaardigheid zullen een veel urgenter probleem zijn. In dit opzicht is het nuttig om uw geheugen van de grafieken van elementaire basisfuncties op te frissen, en op zijn minst een rechte lijn, parabool en hyperbool te kunnen construeren. Dit kan gedaan worden (voor velen is het noodzakelijk) met behulp van methodologisch materiaal en een artikel over geometrische transformaties van grafieken.

Eigenlijk is iedereen al sinds schooltijd bekend met de taak om het gebied te vinden met behulp van een bepaalde integraal, en we zullen niet veel verder gaan dan het schoolcurriculum. Dit artikel heeft misschien helemaal niet bestaan, maar feit is dat het probleem zich in 99 van de 100 gevallen voordoet, wanneer een leerling lijdt aan een gehate school en enthousiast een cursus hogere wiskunde beheerst.

De materialen van deze workshop worden eenvoudig, gedetailleerd en met een minimum aan theorie gepresenteerd.

Laten we beginnen met een gebogen trapezium.

Kromlijnige trapezium is een platte figuur begrensd door een as, rechte lijnen en de grafiek van een functie die continu is op een interval en die op dit interval niet van teken verandert. Laat dit figuur lokaliseren niet minder x-as:

Dan het gebied van een kromlijnig trapezium is numeriek gelijk aan een bepaalde integraal. Elke bepaalde integraal (die bestaat) heeft een zeer goede geometrische betekenis. Bij de les Bepaalde integraal. Voorbeelden van oplossingen Ik zei dat een bepaalde integraal een getal is. En nu is het tijd om nog een nuttig feit te vermelden. Vanuit meetkundig oogpunt is de definitieve integraal AREA.

Dat is, de definitieve integraal (als deze bestaat) komt geometrisch overeen met de oppervlakte van een bepaalde figuur. Beschouw bijvoorbeeld de bepaalde integraal. De integrand definieert een curve op het vlak boven de as (degenen die dat willen kunnen een tekening maken), en de definitieve integraal zelf is numeriek gelijk aan het gebied van de overeenkomstige kromlijnige trapezium.

voorbeeld 1

Dit is een typische opdrachtverklaring. Het eerste en belangrijkste punt bij de beslissing is de constructie van een tekening. Bovendien moet de tekening geconstrueerd zijn RECHTS.

Bij het maken van een tekening raad ik de volgende volgorde aan: aanvankelijk het is beter om alle rechte lijnen te construeren (als ze bestaan) en alleen Dan– parabolen, hyperbolen, grafieken van andere functies. Het is winstgevender om grafieken van functies te bouwen punt voor punt, de puntsgewijze opbouwtechniek is terug te vinden in het referentiemateriaal Grafieken en eigenschappen van elementaire functies. Daar vindt u ook heel nuttig materiaal voor onze les: hoe u snel een parabool kunt bouwen.

In dit probleem zou de oplossing er als volgt uit kunnen zien.
Laten we de tekening tekenen (merk op dat de vergelijking de as definieert):

Ik zal de gebogen trapezium niet verduisteren; het is hier duidelijk over welk gebied we het hebben. De oplossing gaat als volgt verder:

Op het segment bevindt zich de grafiek van de functie boven de as, Daarom:

Antwoord:

Wie heeft er moeite met het berekenen van de bepaalde integraal en het toepassen van de Newton-Leibniz-formule? , zie de lezing Bepaalde integraal. Voorbeelden van oplossingen.

Nadat de taak is voltooid, is het altijd handig om naar de tekening te kijken en uit te zoeken of het antwoord echt is. In dit geval tellen we het aantal cellen in de tekening "met het oog" - nou ja, het zullen er ongeveer 9 zijn, het lijkt waar te zijn. Het is volkomen duidelijk dat als we bijvoorbeeld het antwoord krijgen: 20 vierkante eenheden, het duidelijk is dat er ergens een fout is gemaakt - 20 cellen passen uiteraard niet in het cijfer in kwestie, hooguit een dozijn. Als het antwoord negatief is, is de taak ook verkeerd opgelost.

Voorbeeld 2

Bereken de oppervlakte van een figuur begrensd door lijnen , en as

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les.

Wat te doen als de gebogen trapezium zich bevindt onder de as?

Voorbeeld 3

Bereken het gebied van de figuur dat wordt begrensd door lijnen en coördinaatassen.

Oplossing: Laten we een tekening maken:

Als er een gebogen trapezium is onder de as(of ten minste niet hoger gegeven as), dan kan het gebied ervan worden gevonden met behulp van de formule:
In dit geval:

Aandacht! De twee soorten taken mogen niet met elkaar worden verward:

1) Als u wordt gevraagd eenvoudigweg een bepaalde integraal op te lossen zonder enige geometrische betekenis, dan kan deze negatief zijn.

2) Als je wordt gevraagd de oppervlakte van een figuur te vinden met behulp van een bepaalde integraal, dan is de oppervlakte altijd positief! Daarom verschijnt de min in de zojuist besproken formule.

In de praktijk bevindt de figuur zich meestal in zowel het bovenste als het onderste halfvlak, en daarom gaan we van de eenvoudigste schoolproblemen over naar meer betekenisvolle voorbeelden.

Voorbeeld 4

Zoek het gebied van een vlakke figuur begrensd door lijnen , .

Oplossing: Eerst moet je de tekening voltooien. Over het algemeen zijn we bij het construeren van een tekening bij oppervlakteproblemen het meest geïnteresseerd in de snijpunten van lijnen. Laten we de snijpunten van de parabool en de rechte lijn vinden. Dit kan op twee manieren worden gedaan. De eerste methode is analytisch. We lossen de vergelijking op:

Dit betekent dat de ondergrens van integratie gelijk is aan de bovengrens van integratie.
Indien mogelijk is het beter om deze methode niet te gebruiken..

Het is veel winstgevender en sneller om lijnen punt voor punt te construeren, en de grenzen van de integratie worden ‘vanzelf’ duidelijk. De puntsgewijze constructietechniek voor verschillende grafieken wordt in de help gedetailleerd besproken Grafieken en eigenschappen van elementaire functies. Niettemin moet de analytische methode voor het vinden van limieten soms nog steeds worden gebruikt als de grafiek bijvoorbeeld groot genoeg is, of als de gedetailleerde constructie de integratiegrenzen niet aan het licht heeft gebracht (ze kunnen fractioneel of irrationeel zijn). En we zullen ook zo'n voorbeeld overwegen.

Laten we terugkeren naar onze taak: het is rationeler om eerst een rechte lijn te construeren en pas daarna een parabool. Laten we de tekening maken:

Ik herhaal dat bij puntsgewijs construeren de grenzen van integratie meestal ‘automatisch’ worden ontdekt.

En nu de werkformule: Als er een continue functie op het segment aanwezig is groter dan of gelijk aan een continue functie is, dan kan het gebied van de figuur dat wordt begrensd door de grafieken van deze functies en de lijnen , worden gevonden met behulp van de formule:

Hier hoef je niet langer na te denken over waar de figuur zich bevindt - boven de as of onder de as, en, grofweg, het maakt uit welke grafiek HOGER is(ten opzichte van een andere grafiek), en welke staat hieronder.

In het beschouwde voorbeeld is het duidelijk dat op het segment de parabool zich boven de rechte lijn bevindt, en daarom is het noodzakelijk om af te trekken van

De voltooide oplossing zou er als volgt uit kunnen zien:

Het gewenste cijfer wordt begrensd door een parabool boven en een rechte lijn onder.
Op het segment, volgens de overeenkomstige formule:

Antwoord:

In feite is de schoolformule voor het gebied van een kromlijnig trapezium in het onderste halfvlak (zie eenvoudig voorbeeld nr. 3) een speciaal geval van de formule . Omdat de as wordt gespecificeerd door de vergelijking en de grafiek van de functie zich bevindt niet hoger bijlen dus

En nu een paar voorbeelden voor uw eigen oplossing

Voorbeeld 5

Voorbeeld 6

Zoek het gebied van de figuur dat wordt begrensd door de lijnen , .

Bij het oplossen van problemen bij het berekenen van de oppervlakte met behulp van een bepaalde integraal gebeurt er soms een grappig incident. De tekening is correct uitgevoerd, de berekeningen klopten, maar door onzorgvuldigheid... het gebied van de verkeerde figuur werd gevonden, dit is precies hoe uw nederige dienaar het verschillende keren heeft verprutst. Hier is een praktijkvoorbeeld:

Voorbeeld 7

Bereken de oppervlakte van de figuur begrensd door de lijnen , , , .

Oplossing: Laten we eerst een tekening maken:

...Eh, de tekening kwam er slecht uit, maar alles lijkt leesbaar.

De figuur waarvan we het gebied moeten vinden, is blauw gearceerd(kijk goed naar de staat - hoe beperkt het cijfer is!). Maar in de praktijk komt er door onoplettendheid vaak een "glitch" voor dat je het gebied van een figuur moet vinden dat groen gearceerd is!

Dit voorbeeld is ook nuttig omdat het de oppervlakte van een figuur berekent met behulp van twee bepaalde integralen. Echt:

1) Op het segment boven de as bevindt zich een grafiek van een rechte lijn;

2) Op het segment boven de as bevindt zich een grafiek van een hyperbool.

Het is vrij duidelijk dat de gebieden kunnen (en moeten) worden toegevoegd, daarom:

Antwoord:

Laten we verder gaan met een andere zinvolle taak.

Voorbeeld 8

Bereken de oppervlakte van een figuur begrensd door lijnen,
Laten we de vergelijkingen in ‘schoolvorm’ presenteren en een puntsgewijze tekening maken:

Uit de tekening blijkt duidelijk dat onze bovengrens “goed” is: .
Maar wat is de ondergrens?! Het is duidelijk dat dit geen geheel getal is, maar wat is het wel? Misschien ? Maar waar is de garantie dat de tekening met perfecte nauwkeurigheid is gemaakt, het zou wel eens kunnen blijken dat... Of de wortel. Wat als we de grafiek verkeerd hebben opgebouwd?

In dergelijke gevallen moet u extra tijd besteden en de grenzen van de integratie analytisch verduidelijken.

Laten we de snijpunten van een rechte lijn en een parabool vinden.
Om dit te doen, lossen we de vergelijking op:

,

Echt, .

De verdere oplossing is triviaal, het belangrijkste is om niet in de war te raken bij vervangingen en de berekeningen zijn hier niet de eenvoudigste.

Op het segment , volgens de overeenkomstige formule:

Antwoord:

Laten we, om de les af te sluiten, eens kijken naar twee moeilijkere taken.

Voorbeeld 9

Bereken de oppervlakte van de figuur begrensd door de lijnen , ,

Oplossing: Laten we deze figuur in de tekening weergeven.

Verdomme, ik vergat het schema te ondertekenen, en sorry, ik wilde de foto niet opnieuw maken. Geen tekendag, kortom vandaag is het zover =)

Voor punt-voor-punt constructie is het noodzakelijk om het uiterlijk van een sinusoïde te kennen (en in het algemeen is het nuttig om te weten grafieken van alle elementaire functies), evenals enkele sinuswaarden, zijn ze te vinden in trigonometrische tafel. In sommige gevallen (zoals in dit geval) is het mogelijk een schematische tekening te maken, waarop de grafieken en integratiegrenzen fundamenteel correct moeten worden weergegeven.

Er zijn hier geen problemen met de integratiegrenzen; ze volgen rechtstreeks uit de voorwaarde: “x” verandert van nul naar “pi”. Laten we een verdere beslissing nemen:

Op het segment bevindt de grafiek van de functie zich boven de as, dus:

In dit artikel leert u hoe u met behulp van integraalberekeningen de oppervlakte van een figuur kunt vinden die wordt begrensd door lijnen. Voor het eerst komen we de formulering van een dergelijk probleem tegen op de middelbare school, wanneer we net de studie van bepaalde integralen hebben afgerond en het tijd is om te beginnen met de geometrische interpretatie van de verworven kennis in de praktijk.

Dus wat is er nodig om het probleem van het vinden van de oppervlakte van een figuur met behulp van integralen met succes op te lossen:

Vermogen om competente tekeningen te maken;
Vermogen om een bepaalde integraal op te lossen met behulp van de bekende Newton-Leibniz-formule;
Het vermogen om een meer winstgevende oplossingsoptie te ‘zien’ – d.w.z. Begrijpen hoe het in een of ander geval handiger zal zijn om integratie uit te voeren? Langs de x-as (OX) of de y-as (OY)?
Welnu, waar zouden we zijn zonder correcte berekeningen?) Dit houdt ook in dat we begrijpen hoe we dat andere type integralen kunnen oplossen en hoe we numerieke berekeningen kunnen corrigeren.

Algoritme voor het oplossen van het probleem van het berekenen van de oppervlakte van een figuur begrensd door lijnen:

1. We zijn een tekening aan het maken. Het is raadzaam om dit op grote schaal op een geruit vel papier te doen. We ondertekenen de naam van deze functie met een potlood boven elke grafiek. Het ondertekenen van de grafieken gebeurt uitsluitend voor het gemak van verdere berekeningen. Nadat u een grafiek van het gewenste cijfer heeft ontvangen, zal het in de meeste gevallen onmiddellijk duidelijk zijn welke integratiegrenzen zullen worden gebruikt. We lossen het probleem dus grafisch op. Het komt echter voor dat de waarden van de limieten fractioneel of irrationeel zijn. Daarom kunt u aanvullende berekeningen maken, ga naar stap twee.

2. Als de grenzen van de integratie niet expliciet zijn gespecificeerd, vinden we de snijpunten van de grafieken met elkaar en kijken we of onze grafische oplossing samenvalt met de analytische oplossing.

3. Vervolgens moet je de tekening analyseren. Afhankelijk van hoe de functiegrafieken zijn gerangschikt, zijn er verschillende benaderingen om de oppervlakte van een figuur te vinden. Laten we eens kijken naar verschillende voorbeelden van het vinden van de oppervlakte van een figuur met behulp van integralen.

3.1. De meest klassieke en eenvoudigste versie van het probleem is wanneer je het gebied van een gebogen trapezium moet vinden. Wat is een gebogen trapezium? Dit is een plat getal, begrensd door de x-as (j = 0), direct x = een, x = b en elke curve die continu is op het interval vanaf A voor B. Bovendien is dit cijfer niet-negatief en bevindt het zich niet onder de x-as. In dit geval is het gebied van de kromlijnige trapezium numeriek gelijk aan een bepaalde integraal, berekend met behulp van de Newton-Leibniz-formule:

voorbeeld 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Door welke lijnen wordt de figuur begrensd? We hebben een parabool y = x2 – 3x + 3, die zich boven de as bevindt OH, het is niet-negatief, omdat alle punten van deze parabool hebben positieve waarden. Vervolgens gegeven rechte lijnen x = 1 En x = 3, die evenwijdig aan de as lopen OU, zijn de grenslijnen van de figuur links en rechts. Goed j = 0, het is ook de x-as, die de figuur van onderaf begrenst. Het resulterende figuur is gearceerd, zoals te zien is in de figuur links. In dit geval kunt u onmiddellijk beginnen met het oplossen van het probleem. Voor ons ligt een eenvoudig voorbeeld van een gebogen trapezium, dat we vervolgens oplossen met behulp van de Newton-Leibniz-formule.

3.2. In de vorige paragraaf 3.1 hebben we het geval onderzocht waarin een gebogen trapezium zich boven de x-as bevindt. Beschouw nu het geval waarin de voorwaarden van het probleem hetzelfde zijn, behalve dat de functie onder de x-as ligt. Er wordt een minpunt toegevoegd aan de standaard Newton-Leibniz-formule. We zullen hieronder bekijken hoe we een dergelijk probleem kunnen oplossen.

Voorbeeld 2 . Bereken de oppervlakte van een figuur begrensd door lijnen y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

In dit voorbeeld hebben we een parabool y = x2 + 6x + 2, die afkomstig is van de as OH, direct x = -4, x = -1, y = 0. Hier j = 0 beperkt het gewenste figuur van bovenaf. Direct x = -4 En x = -1 dit zijn de grenzen waarbinnen de definitieve integraal zal worden berekend. Het principe van het oplossen van het probleem van het vinden van de oppervlakte van een figuur valt bijna volledig samen met voorbeeld nummer 1. Het enige verschil is dat de gegeven functie niet positief is, en ook continu is op het interval [-4; -1] . Hoe bedoel je niet positief? Zoals je in de figuur kunt zien, heeft de figuur die binnen de gegeven x-en ligt uitsluitend “negatieve” coördinaten, wat we moeten zien en onthouden bij het oplossen van het probleem. We zoeken naar het gebied van de figuur met behulp van de Newton-Leibniz-formule, alleen met een minteken aan het begin.

Het artikel is niet voltooid.

Probleem 1(over het berekenen van de oppervlakte van een gebogen trapezium).

In het cartesiaanse rechthoekige coördinatensysteem xOy wordt een figuur gegeven (zie figuur) begrensd door de x-as, rechte lijnen x = a, x = b (a door een kromlijnig trapezium. Het is nodig om het gebied van een kromlijnig trapezium te berekenen. trapezium.
Oplossing. Geometrie geeft ons recepten voor het berekenen van de oppervlakten van polygonen en sommige delen van een cirkel (sector, segment). Met behulp van geometrische overwegingen kunnen we alleen een geschatte waarde van het vereiste gebied vinden, door als volgt te redeneren.

Laten we het segment [a; b] (basis van een gebogen trapezium) in n gelijke delen; deze partitie wordt uitgevoerd met behulp van punten x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Laten we rechte lijnen door deze punten trekken, evenwijdig aan de y-as. Vervolgens wordt het gegeven kromlijnige trapezium verdeeld in n delen, in n smalle kolommen. Het oppervlak van het gehele trapezium is gelijk aan de som van de oppervlakken van de kolommen.

Laten we de k-de kolom afzonderlijk bekijken, d.w.z. een gebogen trapezium waarvan de basis een segment is. Laten we het vervangen door een rechthoek met dezelfde basis en hoogte gelijk aan f(x k) (zie afbeelding). De oppervlakte van de rechthoek is gelijk aan $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, waarbij $\Delta x_k $ de lengte van het segment is; Het is normaal om het resulterende product te beschouwen als een geschatte waarde van het oppervlak van de k-de kolom.

Als we nu hetzelfde doen met alle andere kolommen, komen we tot het volgende resultaat: de oppervlakte S van een gegeven kromlijnig trapezium is ongeveer gelijk aan de oppervlakte S n van een getrapte figuur bestaande uit n rechthoeken (zie figuur):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Ter wille van de uniformiteit van de notatie nemen we hier aan dat a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - lengte van het segment, $\Delta x_1 $ - lengte van het segment, enz.; in dit geval, zoals we hierboven hebben afgesproken, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Dus $S \circa S_n $, en deze geschatte gelijkheid is nauwkeuriger, hoe groter n.
Per definitie wordt aangenomen dat het vereiste oppervlak van een kromlijnig trapezium gelijk is aan de limiet van de reeks (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Probleem 2(over het verplaatsen van een punt)
Een materieel punt beweegt in een rechte lijn. De afhankelijkheid van snelheid en tijd wordt uitgedrukt door de formule v = v(t). Vind de beweging van een punt over een bepaalde tijdsperiode [a; B].
Oplossing. Als de beweging uniform zou zijn, zou het probleem heel eenvoudig worden opgelost: s = vt, d.w.z. s = v(b-a). Voor ongelijkmatige bewegingen moet je dezelfde ideeën gebruiken waarop de oplossing voor het vorige probleem was gebaseerd.
1) Verdeel het tijdsinterval [a; b] in n gelijke delen.
2) Beschouw een tijdsperiode en neem aan dat gedurende deze tijdsperiode de snelheid constant was, hetzelfde als op tijdstip t k. We nemen dus aan dat v = v(t k).
3) Laten we de geschatte waarde van de beweging van het punt over een bepaalde periode bepalen; we zullen deze geschatte waarde aanduiden als s k
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Vind de geschatte waarde van verplaatsing s:
$s \circa S_n $ waar
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) De vereiste verplaatsing is gelijk aan de limiet van de reeks (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Laten we het samenvatten. Oplossingen voor verschillende problemen werden teruggebracht tot hetzelfde wiskundige model. Veel problemen uit verschillende wetenschaps- en technologiegebieden leiden in het oplossingsproces tot hetzelfde model. Dit betekent dat dit wiskundige model speciaal moet worden bestudeerd.

Het concept van een bepaalde integraal

Laten we een wiskundige beschrijving geven van het model dat werd gebouwd in de drie beschouwde problemen voor de functie y = f(x), continu (maar niet noodzakelijkerwijs niet-negatief, zoals werd aangenomen in de beschouwde problemen) op het interval [a; B]:
1) splits het segment [a; b] in n gelijke delen;
2) maak de som $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) bereken $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

In de loop van de wiskundige analyse werd bewezen dat deze limiet bestaat in het geval van een continue (of stuksgewijs continue) functie. Hij heet een bepaalde integraal van de functie y = f(x) over het segment [a; B] en als volgt aangegeven:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
De getallen a en b worden de integratiegrenzen genoemd (respectievelijk onder en boven).

Laten we terugkeren naar de hierboven besproken taken. De definitie van gebied gegeven in Probleem 1 kan nu als volgt worden herschreven:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
hier is S het gebied van het kromlijnige trapezium zoals weergegeven in de bovenstaande figuur. Dit is geometrische betekenis van een bepaalde integraal.

De definitie van de verplaatsing s van een punt dat in een rechte lijn beweegt met een snelheid v = v(t) over de tijdsperiode van t = a tot t = b, gegeven in Probleem 2, kan als volgt worden herschreven:

Newton-Leibniz-formule

Laten we eerst de vraag beantwoorden: wat is het verband tussen de bepaalde integraal en de primitief?

Het antwoord is te vinden in Probleem 2. Enerzijds wordt de verplaatsing s van een punt dat in een rechte lijn beweegt met een snelheid v = v(t) over de tijdsperiode van t = a tot t = b berekend door de Formule
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Aan de andere kant is de coördinaat van een bewegend punt een primitieve afgeleide van snelheid - laten we dit s(t) noemen; dit betekent dat de verplaatsing s wordt uitgedrukt door de formule s = s(b) - s(a). Als resultaat krijgen we:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
waarbij s(t) de primitief van v(t) is.

De volgende stelling werd bewezen in de loop van wiskundige analyse.
Stelling. Als de functie y = f(x) continu is op het interval [a; b], dan is de formule geldig
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
waarbij F(x) de primitief van f(x) is.

De gegeven formule wordt meestal aangeroepen Newton-Leibniz-formule ter ere van de Engelse natuurkundige Isaac Newton (1643-1727) en de Duitse filosoof Gottfried Leibniz (1646-1716), die het onafhankelijk van elkaar en vrijwel gelijktijdig ontvingen.

In de praktijk gebruiken ze in plaats van F(b) - F(a) de notatie $\left. F(x)\right|_a^b $ (dit wordt ook wel dubbele vervanging) en herschrijf dienovereenkomstig de Newton-Leibniz-formule in deze vorm:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

Wanneer je een bepaalde integraal berekent, zoek dan eerst de primitief en voer dan een dubbele substitutie uit.

Op basis van de Newton-Leibniz-formule kunnen we twee eigenschappen van de bepaalde integraal verkrijgen.

Eigendom 1. De integraal van de som van functies is gelijk aan de som van de integralen:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Eigenschap 2. De constante factor kan uit het integraalteken worden gehaald:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Berekening van de oppervlakten van vlakke figuren met behulp van een bepaalde integraal

Met behulp van de integraal kunt u niet alleen de gebieden van gebogen trapeziums berekenen, maar ook van vlakke figuren van een complexer type, bijvoorbeeld degene die in de figuur wordt weergegeven. Het cijfer P wordt begrensd door rechte lijnen x = a, x = b en grafieken van continue functies y = f(x), y = g(x), en op het segment [a; b] de ongelijkheid $g(x) \leq f(x) $ geldt. Om de oppervlakte S van zo’n figuur te berekenen, gaan we als volgt te werk:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Dus de oppervlakte S van een figuur begrensd door rechte lijnen x = a, x = b en grafieken van functies y = f(x), y = g(x), continu op het segment en zo dat voor elke x uit het segment [A; b] aan de ongelijkheid $g(x) \leq f(x) $ is voldaan, berekend met de formule
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tabel met onbepaalde integralen (antiderivatieven) van sommige functies

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C\;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C$$

Dus wat is er nodig om het probleem van het vinden van de oppervlakte van een figuur met behulp van integralen met succes op te lossen:

Vermogen om competente tekeningen te maken;
Vermogen om een bepaalde integraal op te lossen met behulp van de bekende Newton-Leibniz-formule;
Het vermogen om een meer winstgevende oplossingsoptie te ‘zien’ – d.w.z. Begrijpen hoe het in een of ander geval handiger zal zijn om integratie uit te voeren? Langs de x-as (OX) of de y-as (OY)?
Welnu, waar zouden we zijn zonder correcte berekeningen?) Dit houdt ook in dat we begrijpen hoe we dat andere type integralen kunnen oplossen en hoe we numerieke berekeningen kunnen corrigeren.

Algoritme voor het oplossen van het probleem van het berekenen van de oppervlakte van een figuur begrensd door lijnen:

voorbeeld 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Voorbeeld 2 . Bereken de oppervlakte van een figuur begrensd door lijnen y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Het artikel is niet voltooid.

Vond je het artikel leuk? Deel het

Druk dit artikel af