Hoe het kleinste gemene veelvoud van twee getallen te vinden. Nok en knik regel vinden

Maar veel natuurlijke getallen zijn deelbaar door andere natuurlijke getallen.

bijvoorbeeld:

Het getal 12 is deelbaar door 1, door 2, door 3, door 4, door 6, door 12;

Het getal 36 is deelbaar door 1, door 2, door 3, door 4, door 6, door 12, door 18, door 36.

De getallen waarmee het getal deelbaar is (voor 12 is het 1, 2, 3, 4, 6 en 12) worden genoemd getaldelers. Deler van een natuurlijk getal a is het natuurlijke getal dat het gegeven getal deelt a zonder een spoor. Een natuurlijk getal dat meer dan twee factoren heeft, heet composiet .

Merk op dat de getallen 12 en 36 gemeenschappelijke delers hebben. Dit zijn de getallen: 1, 2, 3, 4, 6, 12. De grootste deler van deze getallen is 12. De gemeenschappelijke deler van deze twee getallen a en b is het getal waardoor beide gegeven getallen deelbaar zijn zonder rest a en b.

gemeenschappelijk veelvoud meerdere getallen heet het getal dat deelbaar is door elk van deze getallen. bijvoorbeeld, hebben de getallen 9, 18 en 45 een gemeenschappelijk veelvoud van 180. Maar 90 en 360 zijn ook hun gemeenschappelijke veelvouden. Van alle jgemeenschappelijke veelvouden is er altijd de kleinste, in dit geval 90. Dit getal heet minstgemeenschappelijk veelvoud (LCM).

LCM is altijd een natuurlijk getal, dat groter moet zijn dan het grootste van de getallen waarvoor het is gedefinieerd.

Kleinste gemene veelvoud (LCM). Eigenschappen.

commutativiteit:

Associativiteit:

In het bijzonder, als en zijn priemgetallen , dan:

Kleinste gemene veelvoud van twee gehele getallen m en n is een deler van alle andere gemene veelvouden m en n. Bovendien is de verzameling gemeenschappelijke veelvouden m,n valt samen met de reeks veelvouden voor LCM( m,n).

De asymptotiek voor kan worden uitgedrukt in termen van enkele getaltheoretische functies.

Dus, Chebyshev-functie. Net zoals:

Dit volgt uit de definitie en eigenschappen van de Landau-functie g(n).

Wat volgt uit de wet van verdeling van priemgetallen.

Het kleinste gemene veelvoud (LCM) vinden.

NOC( een, b) kan op verschillende manieren worden berekend:

1. Als de grootste gemene deler bekend is, kun je de relatie met de LCM gebruiken:

2. Laat de canonieke ontleding van beide getallen in priemfactoren bekend zijn:

waar p 1 ,...,p k zijn verschillende priemgetallen, en d 1 ,...,dk en e 1 ,...,ek zijn niet-negatieve gehele getallen (ze kunnen nul zijn als het corresponderende priemgetal niet in de ontleding is).

Dan LCM ( a,b) wordt berekend met de formule:

Met andere woorden, de LCM-uitbreiding bevat alle priemfactoren die zijn opgenomen in ten minste één van de getaluitbreidingen een, b, en de grootste van de twee exponenten van deze factor wordt genomen.

Voorbeeld:

De berekening van het kleinste gemene veelvoud van meerdere getallen kan worden teruggebracht tot meerdere opeenvolgende berekeningen van de LCM van twee getallen:

Regel. Om de LCM van een reeks getallen te vinden, hebt u nodig:

- ontbind getallen in priemfactoren;

- verplaats de grootste uitbreiding naar de factoren van het gewenste product (het product van de factoren van het grootste aantal van de gegeven) en voeg vervolgens factoren toe van de uitbreiding van andere getallen die niet voorkomen in het eerste nummer of erin voorkomen een kleiner aantal keren;

- het resulterende product van priemfactoren is de LCM van de gegeven getallen.

Elke twee of meer natuurlijke getallen hebben hun eigen LCM. Als de getallen geen veelvouden van elkaar zijn of niet dezelfde factoren hebben in de uitbreiding, dan is hun LCM gelijk aan het product van deze getallen.

De priemfactoren van het getal 28 (2, 2, 7) werden aangevuld met een factor 3 (het getal 21), het resulterende product (84) zal het kleinste getal zijn dat deelbaar is door 21 en 28.

De priemfactoren van het grootste getal 30 werden aangevuld met een factor 5 van het getal 25, het resulterende product 150 is groter dan het grootste getal 30 en is deelbaar door alle gegeven getallen zonder rest. Dit is het kleinst mogelijke product (150, 250, 300...) waarvan alle gegeven getallen veelvouden zijn.

De getallen 2,3,11,37 zijn priemgetallen, dus hun LCM is gelijk aan het product van de gegeven getallen.

regel. Om de LCM van priemgetallen te berekenen, moet je al deze getallen met elkaar vermenigvuldigen.

Andere optie:

Om het kleinste gemene veelvoud (LCM) van meerdere getallen te vinden, heb je nodig:

1) geef elk getal weer als een product van zijn priemfactoren, bijvoorbeeld:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) schrijf de machten van alle priemfactoren op:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) noteer alle priemdelers (vermenigvuldigers) van elk van deze getallen;

4) kies de grootste graad van elk van hen, gevonden in alle uitbreidingen van deze nummers;

5) vermenigvuldig deze bevoegdheden.

Voorbeeld. Zoek de LCM van getallen: 168, 180 en 3024.

Beslissing. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

We schrijven de grootste machten van alle priemdelers op en vermenigvuldigen ze:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.


Het onderstaande materiaal is een logisch vervolg op de theorie uit het artikel onder de kop LCM - kleinste gemene veelvoud, definitie, voorbeelden, relatie tussen LCM en GCD. Hier zullen we het over hebben het vinden van het kleinste gemene veelvoud (LCM), en besteed speciale aandacht aan het oplossen van voorbeelden. Laten we eerst laten zien hoe de LCM van twee getallen wordt berekend in termen van de GCD van deze getallen. Overweeg vervolgens om het kleinste gemene veelvoud te vinden door getallen in priemfactoren te ontbinden. Daarna zullen we ons concentreren op het vinden van de LCM van drie of meer getallen, en ook aandacht besteden aan de berekening van de LCM van negatieve getallen.

Paginanavigatie.

Berekening van het kleinste gemene veelvoud (LCM) via ggd

Een manier om het kleinste gemene veelvoud te vinden, is gebaseerd op de relatie tussen LCM en GCD. De bestaande relatie tussen LCM en GCD stelt u in staat om het kleinste gemene veelvoud van twee positieve gehele getallen te berekenen via de bekende grootste gemene deler. De bijbehorende formule heeft de vorm LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Overweeg voorbeelden van het vinden van de LCM volgens de bovenstaande formule.

Voorbeeld.

Zoek het kleinste gemene veelvoud van de twee getallen 126 en 70 .

Beslissing.

In dit voorbeeld a=126 , b=70 . Laten we de relatie tussen LCM en GCD gebruiken, uitgedrukt door de formule LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Dat wil zeggen dat we eerst de grootste gemene deler van de getallen 70 en 126 moeten vinden, waarna we de LCM van deze getallen kunnen berekenen volgens de geschreven formule.

Vind ggd(126, 70) met behulp van het algoritme van Euclides: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , vandaar ggd(126, 70)=14 .

Nu vinden we het vereiste kleinste gemene veelvoud: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Antwoord:

LCM(126, 70)=630 .

Voorbeeld.

Wat is LCM(68, 34)?

Beslissing.

Als 68 is gelijkelijk deelbaar door 34 , dan ggd(68, 34)=34 . Nu berekenen we het kleinste gemene veelvoud: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Antwoord:

LCM(68, 34)=68 .

Merk op dat het vorige voorbeeld voldoet aan de volgende regel voor het vinden van de LCM voor positieve gehele getallen a en b: als het getal a deelbaar is door b, dan is het kleinste gemene veelvoud van deze getallen a.

De LCM vinden door getallen in priemfactoren te factoriseren

Een andere manier om het kleinste gemene veelvoud te vinden, is door getallen in priemfactoren te ontbinden. Als we van alle priemfactoren van deze getallen een product maken, en daarna alle gewone priemfactoren die aanwezig zijn in de uitbreidingen van deze getallen uit dit product uitsluiten, dan is het resulterende product gelijk aan het kleinste gemene veelvoud van deze getallen.

De aangekondigde regel voor het vinden van de LCM volgt uit de gelijkheid LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Inderdaad, het product van de getallen a en b is gelijk aan het product van alle factoren die betrokken zijn bij de uitbreidingen van de getallen a en b. Op zijn beurt is ggd(a, b) gelijk aan het product van alle priemfactoren die gelijktijdig aanwezig zijn in de uitbreidingen van de getallen a en b (die wordt beschreven in de paragraaf over het vinden van de ggd met behulp van de ontleding van getallen in priemfactoren ).

Laten we een voorbeeld nemen. Laten we weten dat 75=3 5 5 en 210=2 3 5 7 . Stel het product van alle factoren van deze uitbreidingen samen: 2 3 3 5 5 5 7 . Nu we van dit product alle factoren uitsluiten die aanwezig zijn zowel in de uitbreiding van het getal 75 als in de uitbreiding van het getal 210 (dergelijke factoren zijn 3 en 5), dan zal het product de vorm aannemen 2 3 5 5 7 . De waarde van dit product is gelijk aan het kleinste gemene veelvoud van de getallen 75 en 210, dat wil zeggen, LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Voorbeeld.

Nadat je de getallen 441 en 700 in priemfactoren hebt ontbonden, zoek je het kleinste gemene veelvoud van deze getallen.

Beslissing.

Laten we de getallen 441 en 700 ontleden in priemfactoren:

We krijgen 441=3 3 7 7 en 700=2 2 5 5 7 .

Laten we nu een product maken van alle factoren die betrokken zijn bij de uitbreidingen van deze getallen: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Laten we van dit product alle factoren uitsluiten die gelijktijdig aanwezig zijn in beide uitbreidingen (er is maar één zo'n factor - dit is het getal 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Dus, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Antwoord:

LCM(441, 700)= 44 100 .

De regel voor het vinden van de LCM met behulp van de ontleding van getallen in priemfactoren kan iets anders worden geformuleerd. Als we de ontbrekende factoren uit de uitbreiding van het getal b optellen bij de factoren uit de ontleding van het getal a, dan is de waarde van het resulterende product gelijk aan het kleinste gemene veelvoud van de getallen a en b.

Laten we bijvoorbeeld allemaal dezelfde getallen 75 en 210 nemen, hun uitbreidingen naar priemfactoren zijn als volgt: 75=3 5 5 en 210=2 3 5 7 . Bij de factoren 3, 5 en 5 uit de uitbreiding van het getal 75, tellen we de ontbrekende factoren 2 en 7 op uit de uitbreiding van het getal 210, we krijgen het product 2 3 5 5 7 , waarvan de waarde LCM(75 is) , 210).

Voorbeeld.

Zoek het kleinste gemene veelvoud van 84 en 648.

Beslissing.

We verkrijgen eerst de ontleding van de getallen 84 en 648 in priemfactoren. Ze zien eruit als 84=2 2 3 7 en 648=2 2 2 3 3 3 3 . Bij de factoren 2 , 2 , 3 en 7 uit de uitbreiding van het getal 84 tellen we de ontbrekende factoren 2 , 3 , 3 en 3 uit de uitbreiding van het getal 648 op, we krijgen het product 2 2 2 3 3 3 3 7 , wat gelijk is aan 4 536 . Het gewenste kleinste gemene veelvoud van de getallen 84 en 648 is dus 4.536.

Antwoord:

LCM(84, 648)=4 536 .

De LCM van drie of meer getallen vinden

Het kleinste gemene veelvoud van drie of meer getallen kan worden gevonden door achtereenvolgens de LCM van twee getallen te vinden. Roep de bijbehorende stelling op, die een manier geeft om de LCM van drie of meer getallen te vinden.

Stelling.

Laat positieve gehele getallen a 1 , a 2 , …, a k gegeven worden, het kleinste gemene veelvoud m k van deze getallen wordt gevonden in de sequentiële berekening m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Overweeg de toepassing van deze stelling op het voorbeeld van het vinden van het kleinste gemene veelvoud van vier getallen.

Voorbeeld.

Zoek de LCM van de vier getallen 140, 9, 54 en 250.

Beslissing.

In dit voorbeeld een 1 =140 , een 2 =9 , een 3 =54 , een 4 =250 .

Eerst vinden we m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Om dit te doen, met behulp van het Euclidische algoritme, bepalen we ggd(140, 9) , we hebben 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , dus ggd( 140, 9)=1 , vanwaar LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Dat wil zeggen, m 2 =1 260 .

Nu vinden we m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Laten we het berekenen via ggd(1 260, 54) , dat ook wordt bepaald door het Euclides-algoritme: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Dan ggd(1 260, 54)=18 , vandaar LCM(1 260, 54)= 1 260 54:ggcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Dat wil zeggen, m 3 \u003d 3 780.

Links te vinden m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Om dit te doen, vinden we GCD(3 780, 250) met behulp van het Euclid-algoritme: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Daarom ggd(3 780, 250)=10 , vandaar ggd(3 780, 250)= 3 780 250:ggd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Dat wil zeggen, m 4 \u003d 94 500.

Dus het kleinste gemene veelvoud van de oorspronkelijke vier getallen is 94.500.

Antwoord:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

In veel gevallen wordt het kleinste gemene veelvoud van drie of meer getallen gemakkelijk gevonden met behulp van priemfactorisaties van gegeven getallen. In dit geval moet de volgende regel worden gevolgd. Het kleinste gemene veelvoud van meerdere getallen is gelijk aan het product, dat als volgt is samengesteld: de ontbrekende factoren van de uitbreiding van het tweede getal worden opgeteld bij alle factoren van de uitbreiding van het eerste getal, de ontbrekende factoren van de uitbreiding van het derde getal wordt opgeteld bij de verkregen factoren, enzovoort.

Overweeg een voorbeeld van het vinden van het kleinste gemene veelvoud met behulp van de ontleding van getallen in priemfactoren.

Voorbeeld.

Zoek het kleinste gemene veelvoud van vijf getallen 84, 6, 48, 7, 143.

Beslissing.

Eerst verkrijgen we de uitbreidingen van deze getallen in priemfactoren: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 priemfactoren) en 143=11 13 .

Om de LCM van deze getallen te vinden, moet je bij de factoren van het eerste getal 84 (het zijn 2 , 2 , 3 en 7 ) de ontbrekende factoren van de uitbreiding van het tweede getal 6 optellen. De uitbreiding van het getal 6 bevat geen ontbrekende factoren, aangezien zowel 2 als 3 al aanwezig zijn in de uitbreiding van het eerste getal 84 . Naast de factoren 2 , 2 , 3 en 7 tellen we de ontbrekende factoren 2 en 2 op uit de uitbreiding van het derde getal 48 , we krijgen een reeks factoren 2 , 2 , 2 , 2 , 3 en 7 . Het is niet nodig om in de volgende stap factoren aan deze set toe te voegen, aangezien 7 er al in zit. Tot slot tellen we bij de factoren 2 , 2 , 2 , 2 , 3 en 7 de ontbrekende factoren 11 en 13 uit de uitbreiding van het getal 143 . We krijgen het product 2 2 2 2 3 7 11 13 , wat gelijk is aan 48 048 .

Overweeg drie manieren om het kleinste gemene veelvoud te vinden.

Zoeken door factoring

De eerste manier is om het kleinste gemene veelvoud te vinden door de gegeven getallen in priemfactoren te ontbinden.

Stel dat we de LCM van getallen moeten vinden: 99, 30 en 28. Om dit te doen, ontleden we elk van deze getallen in priemfactoren:

Om het gewenste getal deelbaar te maken door 99, 30 en 28, is het noodzakelijk en voldoende dat het alle priemfactoren van deze delers omvat. Om dit te doen, moeten we alle priemfactoren van deze getallen naar de hoogst voorkomende macht nemen en ze met elkaar vermenigvuldigen:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Dus LCM (99, 30, 28) = 13.860. Geen enkel ander getal kleiner dan 13.860 is deelbaar door 99, 30 of 28.

Om het kleinste gemene veelvoud van gegeven getallen te vinden, moet je ze ontbinden in priemfactoren, dan elke priemfactor nemen met de grootste exponent die voorkomt, en deze factoren met elkaar vermenigvuldigen.

Omdat co-priemgetallen geen gemeenschappelijke priemfactoren hebben, is hun kleinste gemene veelvoud gelijk aan het product van deze getallen. Bijvoorbeeld drie getallen: 20, 49 en 33 zijn coprime. Dus

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Hetzelfde moet worden gedaan bij het zoeken naar het kleinste gemene veelvoud van verschillende priemgetallen. Bijvoorbeeld, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Zoeken op selectie

De tweede manier is om het kleinste gemene veelvoud te vinden door te passen.

Voorbeeld 1. Als het grootste van de gegeven getallen gelijkelijk deelbaar is door andere gegeven getallen, dan is de LCM van deze getallen gelijk aan het grootste ervan. Geef bijvoorbeeld vier getallen: 60, 30, 10 en 6. Elk van hen is deelbaar door 60, dus:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

In andere gevallen wordt de volgende procedure gebruikt om het kleinste gemene veelvoud te vinden:

  1. Bepaal het grootste getal uit de gegeven getallen.
  2. Vervolgens zoeken we getallen die veelvouden zijn van het grootste getal, vermenigvuldigen dit met natuurlijke getallen in oplopende volgorde en controleren of de resterende gegeven getallen deelbaar zijn door het resulterende product.

Voorbeeld 2. Gegeven drie getallen 24, 3 en 18. Bepaal de grootste daarvan - dit is het getal 24. Zoek vervolgens de getallen die veelvouden zijn van 24 en controleer of ze allemaal deelbaar zijn door 18 en door 3:

24 1 = 24 is deelbaar door 3 maar niet deelbaar door 18.

24 2 = 48 - deelbaar door 3 maar niet deelbaar door 18.

24 3 \u003d 72 - deelbaar door 3 en 18.

Dus LCM(24, 3, 18) = 72.

Zoeken door sequentieel zoeken LCM

De derde manier is om het kleinste gemene veelvoud te vinden door achtereenvolgens de LCM te vinden.

De LCM van twee gegeven getallen is gelijk aan het product van deze getallen gedeeld door hun grootste gemene deler.

Voorbeeld 1. Vind de LCM van twee gegeven getallen: 12 en 8. Bepaal hun grootste gemene deler: GCD (12, 8) = 4. Vermenigvuldig deze getallen:

We verdelen het product in hun GCD:

Dus LCM (12, 8) = 24.

Om de LCM van drie of meer getallen te vinden, wordt de volgende procedure gebruikt:

  1. Eerst wordt de LCM van twee van de gegeven getallen gevonden.
  2. Dan de LCM van het gevonden kleinste gemene veelvoud en het derde gegeven getal.
  3. Dan de LCM van het resulterende kleinste gemene veelvoud en het vierde getal, enzovoort.
  4. Zo gaat het LCM-zoeken door zolang er nummers zijn.

Voorbeeld 2. Laten we de LCM van drie gegeven getallen zoeken: 12, 8 en 9. In het vorige voorbeeld hebben we de LCM van de getallen 12 en 8 al gevonden (dit is het getal 24). Het blijft om het kleinste gemene veelvoud van 24 en het derde gegeven getal - 9 te vinden. Bepaal hun grootste gemene deler: ggd (24, 9) = 3. Vermenigvuldig LCM met het getal 9:

We verdelen het product in hun GCD:

Dus LCM (12, 8, 9) = 72.

De leerlingen krijgen veel rekenopdrachten. Onder hen zijn er heel vaak taken met de volgende formulering: er zijn twee waarden. Hoe vind je het kleinste gemene veelvoud van gegeven getallen? Het is noodzakelijk om dergelijke taken uit te voeren, omdat de verworven vaardigheden worden gebruikt om met breuken met verschillende noemers te werken. In het artikel zullen we analyseren hoe we de LCM en de basisconcepten kunnen vinden.

Voordat u het antwoord vindt op de vraag hoe u de LCM kunt vinden, moet u de term multiple definiëren. Meestal is de formulering van dit concept als volgt: een veelvoud van een waarde A is een natuurlijk getal dat zonder rest deelbaar is door A. Dus voor 4, 8, 12, 16, 20 enzovoort, tot de nodige limiet.

In dit geval kan het aantal delers voor een bepaalde waarde worden beperkt en zijn er oneindig veel veelvouden. Ook voor natuurwaarden geldt dezelfde waarde. Dit is een indicator die door hen wordt gedeeld zonder rest. Nadat we het concept van de kleinste waarde voor bepaalde indicatoren hebben behandeld, gaan we verder met het vinden ervan.

Het NOC vinden

Het kleinste veelvoud van twee of meer exponenten is het kleinste natuurlijke getal dat volledig deelbaar is door alle gegeven getallen.

Er zijn verschillende manieren om een ​​dergelijke waarde te vinden. Laten we eens kijken naar de volgende methoden:

  1. Als de getallen klein zijn, schrijf dan in de regel die er allemaal door deelbaar is. Blijf dit doen totdat je iets gemeenschappelijks tussen hen vindt. In het record worden ze aangegeven met de letter K. Voor 4 en 3 is het kleinste veelvoud bijvoorbeeld 12.
  2. Als deze groot zijn of je moet een veelvoud vinden voor 3 of meer waarden, dan moet je hier een andere techniek gebruiken, waarbij getallen worden ontbonden in priemfactoren. Leg eerst de grootste van de aangegeven kaarten neer en daarna de rest. Elk van hen heeft zijn eigen aantal vermenigvuldigers. Laten we als voorbeeld 20 (2*2*5) en 50 (5*5*2) ontleden. Onderstreep voor de kleinste de factoren en tel op bij de grootste. Het resultaat is 100, wat het kleinste gemene veelvoud is van de bovenstaande getallen.
  3. Bij het vinden van 3 getallen (16, 24 en 36) zijn de principes hetzelfde als voor de andere twee. Laten we ze allemaal uitbreiden: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Slechts twee deuces van de uitbreiding van het getal 16 werden niet opgenomen in de ontleding van de grootste. We tellen ze op en krijgen 144, wat het kleinste resultaat is voor de eerder aangegeven numerieke waarden.

Nu weten we wat de algemene techniek is om de kleinste waarde voor twee, drie of meer waarden te vinden. Er zijn echter ook privémethoden, helpen bij het zoeken naar NOC's, als de vorige niet helpen.

Hoe GCD en NOC te vinden.

Privé manieren van zoeken

Zoals bij elke wiskundige sectie, zijn er speciale gevallen van het vinden van LCM's die in specifieke situaties helpen:

  • als een van de getallen deelbaar is door de andere zonder rest, dan is het laagste veelvoud van deze getallen daaraan gelijk (NOC 60 en 15 is gelijk aan 15);
  • Co-priemgetallen hebben geen gemeenschappelijke priemdelers. hun meest niet groot belang is gelijk aan het product van deze getallen. Dus voor de nummers 7 en 8 is dit 56;
  • dezelfde regel werkt voor andere gevallen, inclusief speciale gevallen, waarover in gespecialiseerde literatuur kan worden gelezen. Dit zou ook gevallen van ontleding van samengestelde getallen moeten omvatten, die het onderwerp zijn van afzonderlijke artikelen en zelfs proefschriften.

Speciale gevallen komen minder vaak voor dan standaardvoorbeelden. Maar dankzij hen kun je leren werken met breuken van verschillende gradaties van complexiteit. Dit geldt vooral voor breuken., waar er verschillende noemers zijn.

Een paar voorbeelden

Laten we een paar voorbeelden bekijken, waardoor u het principe van het vinden van het kleinste veelvoud kunt begrijpen:

  1. We vinden LCM (35; 40). We leggen eerst 35 = 5*7 uit, dan 40 = 5*8. We tellen 8 op bij het kleinste getal en krijgen de NOC 280.
  2. NOC (45; 54). We leggen ze elk uit: 45 = 3*3*5 en 54 = 3*3*6. We tellen het getal 6 op bij 45. We krijgen de NOC gelijk aan 270.
  3. Nou ja, het laatste voorbeeld. Er zijn 5 en 4. Er zijn geen eenvoudige veelvouden voor hen, dus het kleinste gemene veelvoud is in dit geval hun product, gelijk aan 20.

Dankzij voorbeelden kunt u begrijpen hoe het NOC zich bevindt, wat de nuances zijn en wat de betekenis is van dergelijke manipulaties.

Het vinden van het NOC is veel gemakkelijker dan het op het eerste gezicht lijkt. Hiervoor worden zowel een eenvoudige uitbreiding als de vermenigvuldiging van eenvoudige waarden met elkaar gebruikt.. Het vermogen om met dit deel van de wiskunde te werken, helpt bij de verdere studie van wiskundige onderwerpen, met name fracties van verschillende gradaties van complexiteit.

Vergeet niet om periodiek voorbeelden op te lossen met verschillende methoden, dit ontwikkelt het logische apparaat en stelt u in staat om tal van termen te onthouden. Leer methoden om zo'n indicator te vinden en je zult goed kunnen werken met de rest van de wiskundige secties. Veel plezier met het leren van wiskunde!

Video

Deze video helpt je te begrijpen en te onthouden hoe je het kleinste gemene veelvoud kunt vinden.

Lancinova Aisa

downloaden:

Voorbeeld:

Om de preview van presentaties te gebruiken, maakt u een Google-account (account) aan en logt u in: https://accounts.google.com


Bijschriften van dia's:

Taken voor GCD en LCM van getallen Het werk van een 6e klas student van de MKOU "Kamyshovskaya OOSh" Lantsinova Aisa Supervisor Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna, leraar wiskunde p. Kamysjovo, 2013

Een voorbeeld van het vinden van de GCD van de getallen 50, 75 en 325. 1) Laten we de getallen 50, 75 en 325 ontleden in priemfactoren. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 deel zonder rest de getallen a en b worden de grootste gemene deler van deze getallen genoemd.

Een voorbeeld van het vinden van de LCM van de getallen 72, 99 en 117. 1) Laten we de getallen 72, 99 en 117 ontbinden. Noteer de factoren die zijn opgenomen in de uitbreiding van een van de getallen 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 en tel daarbij de ontbrekende factoren van de overige getallen op. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Vind het product van de resulterende factoren. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Antwoord: LCM (72, 99 en 117) = 10296 Het kleinste gemene veelvoud van natuurlijke getallen a en b wordt het kleinste natuurlijke getal genoemd dat een veelvoud is van a en b.

Een vel karton heeft de vorm van een rechthoek met een lengte van 48 cm en een breedte van 40 cm Dit vel moet zonder afval in gelijke vierkanten worden gesneden. Wat zijn de grootste vierkanten die uit dit blad kunnen worden gehaald en hoeveel? Oplossing: 1) S = a ∙ b is de oppervlakte van de rechthoek. S \u003d 48 ∙ 40 \u003d 1960 cm². is het gebied van het karton. 2) a - de zijde van het vierkant 48: a - het aantal vierkanten dat langs de lengte van het karton kan worden gelegd. 40: a - het aantal vierkanten dat over de breedte van het karton kan worden gelegd. 3) GCD (40 en 48) \u003d 8 (cm) - de zijkant van het vierkant. 4) S \u003d a² - het gebied van een vierkant. S \u003d 8² \u003d 64 (cm².) - de oppervlakte van een botvierkant. 5) 1960: 64 = 30 (aantal vierkanten). Antwoord: 30 vierkanten met elk een zijde van 8 cm. Taken voor GCD

De open haard in de kamer moet worden aangelegd met afwerkingstegels in de vorm van een vierkant. Hoeveel tegels zijn er nodig voor een schouw van 195 ͯ 156 cm en wat zijn de grootste tegelformaten? Oplossing: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm ²) - S van het oppervlak van de haard. 2) GCD (195 en 156) = 39 (cm) - zijkant van de tegel. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) - oppervlakte van 1 tegel. 4) 30420: = 20 (stuks). Antwoord: 20 tegels van 39 ͯ 39 (cm). Taken voor GCD

Een tuinperceel van 54 ͯ 48 m rond de omtrek moet worden omheind, hiervoor moeten op regelmatige afstanden betonnen pilaren worden geplaatst. Hoeveel palen moeten er voor het terrein worden meegebracht en op welke maximale afstand van elkaar komen de palen te staan? Oplossing: 1) P = 2(a + b) – terreinomtrek. P \u003d 2 (54 + 48) \u003d 204 m. 2) GCD (54 en 48) \u003d 6 (m) - de afstand tussen de pilaren. 3) 204: 6 = 34 (zuilen). Antwoord: 34 pilaren, op een afstand van 6 m. Taken voor GCD

Van de 210 bordeauxrode, 126 witte, 294 rode rozen werden boeketten verzameld en in elk boeket is het aantal rozen van dezelfde kleur gelijk. Wat is het grootste aantal boeketten dat van deze rozen wordt gemaakt en hoeveel rozen van elke kleur zitten er in één boeket? Oplossing: 1) GCD (210, 126 en 294) = 42 (boeketten). 2) 210: 42 = 5 (bordeauxrode rozen). 3) 126: 42 = 3 (witte rozen). 4) 294: 42 = 7 (rode rozen). Antwoord: 42 boeketten: 5 bordeaux, 3 witte, 7 rode rozen in elk boeket. Taken voor GCD

Tanya en Masha kochten hetzelfde aantal brievenbussen. Tanya betaalde 90 roebel en Masha betaalde 5 roebel. meer. Hoeveel kost een setje? Hoeveel sets heeft elk gekocht? Oplossing: 1) Masha betaalde 90 + 5 = 95 (roebel). 2) GCD (90 en 95) = 5 (roebel) - de prijs van 1 set. 3) 980: 5 = 18 (sets) - gekocht door Tanya. 4) 95: 5 = 19 (sets) - Masha gekocht. Antwoord: 5 roebel, 18 sets, 19 sets. Taken voor GCD

In de havenstad starten drie toeristische boottochten, de eerste duurt 15 dagen, de tweede 20 en de derde 12 dagen. Terugkerend in de haven gaan de schepen dezelfde dag weer op reis. Op alle drie de routes hebben vandaag motorschepen de haven verlaten. Over hoeveel dagen varen ze voor het eerst samen? Hoeveel reizen zal elk schip maken? Oplossing: 1) NOC (15.20 en 12) = 60 (dagen) - vergadertijd. 2) 60: 15 = 4 (reizen) - 1 schip. 3) 60: 20 = 3 (reizen) - 2 motorschip. 4) 60: 12 = 5 (reizen) - 3 motorschip. Antwoord: 60 dagen, 4 vluchten, 3 vluchten, 5 vluchten. Taken voor het NOC

Masha kocht eieren voor de beer in de winkel. Op weg naar het bos realiseerde ze zich dat het aantal eieren deelbaar is door 2,3,5,10 en 15. Hoeveel eieren heeft Masha gekocht? Oplossing: LCM (2;3;5;10;15) = 30 (eieren) Antwoord: Masha heeft 30 eieren gekocht. Taken voor het NOC

Voor het stapelen van dozen van 16 ͯ 20 cm is het nodig om een ​​doos met vierkante bodem te maken Wat moet de kortste zijde van de vierkante bodem zijn om de dozen strak in de doos te laten passen? Oplossing: 1) NOC (16 en 20) = 80 (boxen). 2) S = a b is de oppervlakte van 1 doos. S \u003d 16 ∙ 20 \u003d 320 (cm ²) - het gebied van de bodem van 1 doos. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm ²) - vierkante bodem. 4) S \u003d a² \u003d a ∙ a 25600 \u003d 160 ∙ 160 - de afmetingen van de doos. Antwoord: 160 cm is de zijde van de vierkante bodem. Taken voor het NOC

Langs de weg vanaf punt K staan ​​om de 45 m hoogspanningsmasten. Besloten is deze masten door andere te vervangen en op een afstand van 60 m van elkaar te plaatsen. Hoeveel palen waren er en hoeveel zullen ze staan? Oplossing: 1) NOK (45 en 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 - er waren pilaren. 3) 180: 60 = 3 - er waren pilaren. Antwoord: 4 pilaren, 3 pilaren. Taken voor het NOC

Hoeveel soldaten marcheren op het paradeterrein als ze marcheren in formatie van 12 personen in een rij en veranderen in een colonne van 18 personen in een rij? Oplossing: 1) NOC (12 en 18) = 36 (mensen) - marcheren. Antwoord: 36 personen. Taken voor het NOC



Vond je het artikel leuk? Deel het
Artikel afdrukken
Bovenkant