Expressies, expressieconversie

Machtsuitdrukkingen (uitdrukkingen met krachten) en hun transformatie

In dit artikel zullen we het hebben over het omzetten van uitdrukkingen met machten. Ten eerste zullen we ons concentreren op transformaties die worden uitgevoerd met uitdrukkingen van welke aard dan ook, inclusief machtsuitdrukkingen, zoals het openen van haakjes en het plaatsen van soortgelijke termen. En dan zullen we de transformaties analyseren die specifiek inherent zijn aan uitdrukkingen met graden: werken met het grondtal en de exponent, gebruikmakend van de eigenschappen van graden, enz.

Paginanavigatie.

Wat zijn machtsuitdrukkingen?

De term ‘machtsuitdrukkingen’ komt praktisch niet voor in de wiskundeboeken op school, maar komt vrij vaak voor in verzamelingen problemen, vooral die bedoeld ter voorbereiding op bijvoorbeeld het Unified State Exam en het Unified State Exam. Na analyse van de taken waarbij het nodig is om acties met machtsuitdrukkingen uit te voeren, wordt het duidelijk dat machtsuitdrukkingen worden opgevat als uitdrukkingen die machten in hun invoer bevatten. Daarom kunt u voor uzelf de volgende definitie accepteren:

Definitie.

Krachtuitdrukkingen zijn uitdrukkingen die bevoegdheden bevatten.

Laten we het geven voorbeelden van machtsuitdrukkingen. Bovendien zullen we ze presenteren aan de hand van de manier waarop de visieontwikkeling van een graad met een natuurlijke exponent naar een graad met een reële exponent plaatsvindt.

Zoals bekend maakt men in dit stadium eerst kennis met de macht van een getal met een natuurlijke exponent; de eerste eenvoudigste machtsuitdrukkingen van het type 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 verschijnen −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 enz.

Even later wordt de macht van een getal met een gehele exponent bestudeerd, wat leidt tot het verschijnen van machtsuitdrukkingen met negatieve gehele machten, zoals de volgende: 3 −2, , een −2 +2 b −3 +c 2 .

Op de middelbare school keren ze terug naar graden. Daar wordt een graad met een rationele exponent geïntroduceerd, die de verschijning van de overeenkomstige machtsuitdrukkingen met zich meebrengt: , , enzovoort. Ten slotte worden graden met irrationele exponenten en uitdrukkingen die deze bevatten in aanmerking genomen: , .

De kwestie beperkt zich niet tot de genoemde machtsuitdrukkingen: verder dringt de variabele door in de exponent, en ontstaan ​​​​bijvoorbeeld de volgende uitdrukkingen: 2 x 2 +1 of . En nadat je kennis hebt gemaakt met , verschijnen er uitdrukkingen met machten en logaritmen, bijvoorbeeld x 2·lgx −5·x lgx.

We hebben dus de vraag behandeld wat machtsuitdrukkingen vertegenwoordigen. Vervolgens zullen we leren ze te transformeren.

Belangrijkste soorten transformaties van machtsuitdrukkingen

Met machtsuitdrukkingen kunt u alle basisidentiteitstransformaties van uitdrukkingen uitvoeren. U kunt bijvoorbeeld haakjes openen, numerieke uitdrukkingen vervangen door hun waarden, soortgelijke termen toevoegen, enz. Uiteraard is het in dit geval noodzakelijk om de geaccepteerde procedure voor het uitvoeren van acties te volgen. Laten we voorbeelden geven.

Voorbeeld.

Bereken de waarde van de machtsuitdrukking 2 3 ·(4 2 −12) .

Oplossing.

Voer, afhankelijk van de volgorde van uitvoering van acties, eerst de acties tussen haakjes uit. Daar vervangen we eerst de macht 4 2 door de waarde 16 (zie indien nodig), en ten tweede berekenen we het verschil 16−12=4. We hebben 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

In de resulterende uitdrukking vervangen we de macht 2 3 door de waarde 8, waarna we het product 8·4=32 berekenen. Dit is de gewenste waarde.

Dus, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Antwoord:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Voorbeeld.

Vereenvoudig uitdrukkingen met machten 3 een 4 b −7 −1+2 een 4 b −7.

Oplossing.

Het is duidelijk dat deze uitdrukking vergelijkbare termen 3·a 4 ·b −7 en 2·a 4 ·b −7 bevat, en we kunnen ze presenteren: .

Antwoord:

3 een 4 b −7 −1+2 een 4 b −7 =5 een 4 b −7 −1.

Voorbeeld.

Druk een uitdrukking uit met machten als product.

Oplossing.

Je kunt de taak aan door het getal 9 voor te stellen als een macht van 3 2 en vervolgens de formule te gebruiken voor verkorte vermenigvuldiging - verschil in vierkanten:

Antwoord:

Er zijn ook een aantal identieke transformaties die specifiek inherent zijn aan machtsuitdrukkingen. We zullen ze verder analyseren.

Werken met grondtal en exponent

Er zijn graden waarvan het grondtal en/of de exponent niet alleen maar getallen of variabelen zijn, maar ook enkele uitdrukkingen. Als voorbeeld geven we de waarden (2+0.3·7) 5−3.7 en (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Wanneer u met dergelijke uitdrukkingen werkt, kunt u zowel de uitdrukking in de basis van de graad als de uitdrukking in de exponent vervangen door een identiek gelijke uitdrukking in de ODZ van de variabelen ervan. Met andere woorden, volgens de ons bekende regels kunnen we afzonderlijk de basis van de graad en afzonderlijk de exponent transformeren. Het is duidelijk dat als resultaat van deze transformatie een uitdrukking zal worden verkregen die identiek gelijk is aan de oorspronkelijke.

Dergelijke transformaties stellen ons in staat uitdrukkingen met bevoegdheden te vereenvoudigen of andere doelen te bereiken die we nodig hebben. In de hierboven genoemde machtsuitdrukking (2+0.3 7) 5−3.7 kunt u bijvoorbeeld bewerkingen uitvoeren met de getallen in het grondtal en de exponent, waardoor u naar de macht 4.1 1.3 kunt gaan. En nadat we de haakjes hebben geopend en soortgelijke termen naar de basis van de graad (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) hebben gebracht, verkrijgen we een machtsuitdrukking van een eenvoudiger vorm a 2·(x+ 1) .

Graadeigenschappen gebruiken

Een van de belangrijkste instrumenten voor het transformeren van uitdrukkingen met bevoegdheden zijn gelijkheden die reflecteren. Laten we de belangrijkste herinneren. Voor alle positieve getallen a en b en willekeurige reële getallen r en s zijn de volgende eigenschappen van machten waar:

• een r ·a s =een r+s ;
• een r:een s =een r−s ;
• (a·b) r =a ·b r;
• (a:b) r =a r:br;
• (een r) s = een r·s .

Merk op dat voor natuurlijke, gehele en positieve exponenten de beperkingen op de getallen a en b mogelijk niet zo streng zijn. Voor natuurlijke getallen m en n geldt de gelijkheid a m ·a n =a m+n bijvoorbeeld niet alleen voor positieve a, maar ook voor negatieve a, en voor a=0.

Op school ligt de nadruk bij het transformeren van machtsuitdrukkingen vooral op het vermogen om de juiste eigenschap te kiezen en deze correct toe te passen. In dit geval zijn de bases van graden meestal positief, waardoor de eigenschappen van graden zonder beperkingen kunnen worden gebruikt. Hetzelfde geldt voor de transformatie van uitdrukkingen die variabelen bevatten in de bases van machten - het bereik van toegestane waarden van variabelen is meestal zodanig dat de bases er alleen positieve waarden op aannemen, waardoor u vrijelijk de eigenschappen van machten kunt gebruiken . Over het algemeen moet je jezelf voortdurend afvragen of het in dit geval mogelijk is om enige eigenschap van graden te gebruiken, omdat onnauwkeurig gebruik van eigenschappen kan leiden tot een verkleining van de educatieve waarde en andere problemen. Deze punten worden in detail en met voorbeelden besproken in het artikel transformatie van uitdrukkingen met behulp van eigenschappen van machten. Hier beperken we ons tot het beschouwen van enkele eenvoudige voorbeelden.

Voorbeeld.

Druk de uitdrukking a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 uit als een macht met grondtal a.

Oplossing.

Eerst transformeren we de tweede factor (a 2) −3 met behulp van de eigenschap om een ​​macht tot een macht te verheffen: (een 2) −3 =een 2·(−3) =een −6. De oorspronkelijke machtsuitdrukking zal de vorm aannemen a 2,5 ·a −6:a −5,5. Het is duidelijk dat we nog steeds de eigenschappen van vermenigvuldiging en deling van machten moeten gebruiken met dezelfde basis als die we hebben
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Antwoord:

een 2,5 ·(een 2) −3:een −5,5 =een 2.

Eigenschappen van machten bij het transformeren van machtsuitdrukkingen worden zowel van links naar rechts als van rechts naar links gebruikt.

Voorbeeld.

Zoek de waarde van de machtsuitdrukking.

Oplossing.

De gelijkheid (a·b) r =a r ·b r, toegepast van rechts naar links, stelt ons in staat om van de oorspronkelijke uitdrukking naar een product van de vorm en verder te gaan. En bij het vermenigvuldigen van machten met dezelfde grondtallen tellen de exponenten op: .

Het was mogelijk om de oorspronkelijke uitdrukking op een andere manier te transformeren:

Antwoord:

.

Voorbeeld.

Gegeven de machtsuitdrukking a 1,5 −a 0,5 −6, introduceer een nieuwe variabele t=a 0,5.

Oplossing.

De graad a 1,5 kan worden weergegeven als een 0,5 3 en vervolgens, gebaseerd op de eigenschap van de graad tot de graad (ar) s = a r s, toegepast van rechts naar links, deze transformeren naar de vorm (a 0,5) 3. Dus, een 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Nu is het gemakkelijk om een ​​nieuwe variabele t=a 0,5 te introduceren, we krijgen t 3 −t−6.

Antwoord:

t3 −t−6 .

Breuken met machten omrekenen

Machtsuitdrukkingen kunnen breuken met machten bevatten of vertegenwoordigen. Alle basistransformaties van breuken die inherent zijn aan breuken van welke aard dan ook, zijn volledig van toepassing op dergelijke breuken. Dat wil zeggen dat breuken die machten bevatten, kunnen worden gereduceerd, teruggebracht tot een nieuwe noemer, afzonderlijk kunnen worden bewerkt met hun teller en afzonderlijk met de noemer, enz. Om deze woorden te illustreren, overweeg oplossingen voor verschillende voorbeelden.

Voorbeeld.

Vereenvoudig de expressie van macht .

Oplossing.

Deze machtsuitdrukking is een breuk. Laten we werken met de teller en de noemer. In de teller openen we de haakjes en vereenvoudigen we de resulterende uitdrukking met behulp van de eigenschappen van machten, en in de noemer presenteren we vergelijkbare termen:

En laten we ook het teken van de noemer veranderen door een minteken voor de breuk te plaatsen: .

Antwoord:

.

Het reduceren van breuken met machten naar een nieuwe noemer gebeurt op dezelfde manier als het reduceren van rationele breuken naar een nieuwe noemer. In dit geval wordt ook een extra factor gevonden en worden de teller en de noemer van de breuk ermee vermenigvuldigd. Bij het uitvoeren van deze actie is het de moeite waard eraan te denken dat reductie naar een nieuwe noemer kan leiden tot een vernauwing van de VA. Om dit te voorkomen is het noodzakelijk dat de aanvullende factor voor geen enkele waarde van de variabelen uit de ODZ-variabelen voor de oorspronkelijke uitdrukking naar nul gaat.

Voorbeeld.

Reduceer de breuken naar een nieuwe noemer: a) naar noemer a, b) naar de noemer.

Oplossing.

a) In dit geval is het vrij eenvoudig om erachter te komen welke extra vermenigvuldiger helpt om het gewenste resultaat te bereiken. Dit is een vermenigvuldiger van a 0,3, aangezien a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Merk op dat in het bereik van toegestane waarden van de variabele a (dit is de verzameling van alle positieve reële getallen), de macht van a 0,3 niet verdwijnt, daarom hebben we het recht om de teller en de noemer van een gegeven te vermenigvuldigen breuk door deze extra factor:

b) Als je de noemer nader bekijkt, zul je merken dat

en als je deze uitdrukking vermenigvuldigt met, krijg je de som van de kubussen en , dat wil zeggen . En dit is de nieuwe noemer waarnaar we de oorspronkelijke breuk moeten herleiden.

Zo hebben we een extra factor gevonden. In het bereik van toegestane waarden van de variabelen x en y verdwijnt de uitdrukking niet, daarom kunnen we de teller en de noemer van de breuk ermee vermenigvuldigen:

Antwoord:

A) , B) .

Er is ook niets nieuws aan het reduceren van breuken die machten bevatten: de teller en de noemer worden weergegeven als een aantal factoren, en dezelfde factoren van de teller en de noemer worden gereduceerd.

Voorbeeld.

Reduceer de breuk: a) , B) .

Oplossing.

a) Ten eerste kunnen de teller en de noemer worden verminderd met de getallen 30 en 45, wat gelijk is aan 15. Het is uiteraard ook mogelijk om een ​​reductie uit te voeren met x 0,5 +1 en door . Dit is wat we hebben:

b) In dit geval zijn identieke factoren in de teller en de noemer niet onmiddellijk zichtbaar. Om ze te verkrijgen, moet je voorbereidende transformaties uitvoeren. In dit geval bestaan ​​ze uit het ontbinden van de noemer met behulp van de formule voor het verschil in kwadraten:

Antwoord:

A)

B) .

Het omzetten van breuken naar een nieuwe noemer en het verkleinen van breuken worden vooral gebruikt om dingen met breuken te doen. Acties worden uitgevoerd volgens bekende regels. Bij het optellen (aftrekken) van breuken worden deze herleid tot een gemeenschappelijke noemer, waarna de tellers worden opgeteld (afgetrokken), maar de noemer blijft hetzelfde. Het resultaat is een breuk waarvan de teller het product van de tellers is, en de noemer het product van de noemers. Delen door een breuk is vermenigvuldigen met de inverse ervan.

Voorbeeld.

Volg de stappen .

Oplossing.

Eerst trekken we de breuken tussen haakjes af. Om dit te doen, brengen we ze naar een gemeenschappelijke noemer, namelijk , waarna we de tellers aftrekken:

Nu vermenigvuldigen we breuken:

Uiteraard is het mogelijk om te reduceren met een macht van x 1/2, waarna we dat hebben gedaan .

Je kunt de machtsuitdrukking in de noemer ook vereenvoudigen door de formule voor het verschil in kwadraten te gebruiken: .

Antwoord:

Voorbeeld.

Vereenvoudig de machtsuitdrukking .

Oplossing.

Uiteraard kan deze fractie worden verminderd met (x 2,7 +1) 2, dit geeft de fractie . Het is duidelijk dat er iets anders moet gebeuren met de machten van X. Om dit te doen, transformeren we de resulterende fractie in een product. Dit geeft ons de mogelijkheid om te profiteren van de eigenschap van het verdelen van machten met dezelfde grondslagen: . En aan het einde van het proces gaan we van het laatste product naar de fractie.

Antwoord:

.

En laten we er ook aan toevoegen dat het mogelijk en in veel gevallen wenselijk is om factoren met negatieve exponenten van de teller naar de noemer of van de noemer naar de teller over te brengen, waardoor het teken van de exponent verandert. Dergelijke transformaties vereenvoudigen vaak verdere acties. Een machtsuitdrukking kan bijvoorbeeld worden vervangen door .

Uitdrukkingen met wortels en machten omzetten

Vaak zijn in uitdrukkingen waarin bepaalde transformaties nodig zijn, naast machten ook wortels met fractionele exponenten aanwezig. Om zo'n uitdrukking naar de gewenste vorm te transformeren, is het in de meeste gevallen voldoende om alleen naar de wortels of alleen naar de machten te gaan. Maar omdat het handiger is om met krachten te werken, gaan ze meestal van wortels naar krachten. Het is echter aan te raden een dergelijke transitie uit te voeren wanneer de ODZ van variabelen voor de oorspronkelijke uitdrukking het mogelijk maakt de wortels te vervangen door machten zonder dat u naar de module hoeft te verwijzen of de ODZ in verschillende intervallen hoeft te splitsen (we hebben dit in detail besproken in het artikel overgang van wortels naar machten en terug Na kennis te hebben gemaakt met de graad met een rationele exponent, wordt een graad met een irrationele exponent geïntroduceerd, waardoor we kunnen praten over een graad met een willekeurige reële exponent. In dit stadium begint de school daarmee studie. exponentiële functie, die analytisch wordt gegeven door een macht, waarvan de basis een getal is, en de exponent een variabele is. We worden dus geconfronteerd met machtsuitdrukkingen die getallen bevatten in de basis van de macht, en in de exponent - uitdrukkingen met variabelen, en natuurlijk ontstaat de behoefte om transformaties van dergelijke uitdrukkingen uit te voeren.

Het moet gezegd worden dat de transformatie van uitdrukkingen van het aangegeven type meestal moet worden uitgevoerd bij het oplossen exponentiële vergelijkingen En exponentiële ongelijkheden, en deze conversies zijn vrij eenvoudig. In de overgrote meerderheid van de gevallen zijn ze gebaseerd op de eigenschappen van de graad en zijn ze voor het grootste deel gericht op het introduceren van een nieuwe variabele in de toekomst. Met de vergelijking kunnen we ze aantonen 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Ten eerste worden machten, waarvan de exponenten de som zijn van een bepaalde variabele (of uitdrukking met variabelen) en een getal, vervangen door producten. Dit geldt voor de eerste en laatste term van de uitdrukking aan de linkerkant:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Vervolgens worden beide zijden van de gelijkheid gedeeld door de uitdrukking 7 2 x, die op de ODZ van de variabele x voor de oorspronkelijke vergelijking alleen positieve waarden aanneemt (dit is een standaardtechniek voor het oplossen van dit soort vergelijkingen, dat zijn we niet praat er nu over, dus concentreer je op daaropvolgende transformaties van uitdrukkingen met bevoegdheden ):

Nu kunnen we breuken met machten annuleren, wat geeft .

Ten slotte wordt de verhouding van machten met dezelfde exponenten vervangen door machten van relaties, wat resulteert in de vergelijking , wat gelijkwaardig is . De uitgevoerde transformaties stellen ons in staat een nieuwe variabele te introduceren, die de oplossing van de oorspronkelijke exponentiële vergelijking reduceert tot de oplossing van een kwadratische vergelijking

I.V. Boykov, L.D. Romanova Verzameling van taken ter voorbereiding op het Unified State Exam. Deel 1. Penza 2003.

Keuzevakprogramma “Numerieke en alfabetische uitdrukkingen omzetten”

Toelichting

De kwaliteitscontrole van het wiskundeonderwijs op school wordt de afgelopen jaren uitgevoerd met behulp van CMM's, waarvan het grootste deel van de taken in toetsvorm wordt aangeboden. Deze toetsvorm wijkt af van het klassieke examenpapier en vergt een specifieke voorbereiding. Een kenmerk van testen in de vorm die zich tot nu toe heeft ontwikkeld, is de noodzaak om in een beperkte tijd een groot aantal vragen te beantwoorden, d.w.z. Het is niet alleen nodig om de gestelde vragen correct te beantwoorden, maar ook om dit snel genoeg te doen. Daarom is het belangrijk dat studenten verschillende technieken en methoden beheersen waarmee ze het gewenste resultaat kunnen bereiken.

Bij het oplossen van vrijwel elk wiskundig schoolprobleem moet je een aantal transformaties doorvoeren. Vaak wordt de complexiteit ervan volledig bepaald door de mate van complexiteit en de hoeveelheid transformatie die moet worden uitgevoerd. Het is niet ongebruikelijk dat een student een probleem niet kan oplossen, niet omdat hij niet weet hoe het moet worden opgelost, maar omdat hij niet alle noodzakelijke transformaties en berekeningen in de toegewezen tijd foutloos kan uitvoeren.

Voorbeelden van het converteren van numerieke uitdrukkingen zijn niet op zichzelf belangrijk, maar als middel om conversietechnieken te ontwikkelen. Met elk jaar scholing breidt het concept van het getal zich uit van natuurlijk naar reëel, en op de middelbare school worden transformaties van macht, logaritmische en trigonometrische uitdrukkingen bestudeerd. Dit materiaal is vrij moeilijk te bestuderen, omdat het veel formules en transformatieregels bevat.

Om een ​​uitdrukking te vereenvoudigen, de vereiste acties uit te voeren of de waarde van een uitdrukking te berekenen, moet u weten in welke richting u zich moet “bewegen” langs het pad van transformaties die naar het juiste antwoord langs de kortste “route” leiden. De keuze voor een rationeel pad hangt grotendeels af van het bezit van de volledige hoeveelheid informatie over de methoden voor het transformeren van uitdrukkingen.

Op de middelbare school is er behoefte aan het systematiseren en verdiepen van kennis en praktische vaardigheden bij het werken met numerieke uitdrukkingen. Statistieken tonen aan dat ongeveer 30% van de fouten die worden gemaakt bij aanmeldingen bij universiteiten van computationele aard zijn. Daarom is het bij het overwegen van relevante onderwerpen op de middelbare school en bij het herhalen ervan op de middelbare school noodzakelijk om meer aandacht te besteden aan de ontwikkeling van computervaardigheden bij schoolkinderen.

Om leraren te helpen lesgeven in de 11e klas van een gespecialiseerde school, kunnen we daarom een ​​keuzevak aanbieden: 'Numerieke en alfabetische uitdrukkingen omzetten in een wiskundecursus op school.'

Cijfers:== 11

Type keuzevak:

cursus systematiseren, generaliseren en verdiepen.

Aantal uren:

34 (per week – 1 uur)

Educatief gebied:

wiskunde

Doelen en doelstellingen van de cursus:

Systematisering, generalisatie en uitbreiding van de kennis van studenten over getallen en bewerkingen ermee; - vorming van interesse in het computerproces; - ontwikkeling van de onafhankelijkheid, creatief denken en cognitieve interesse van studenten; - aanpassing van studenten aan nieuwe regels voor toelating tot universiteiten.

Organisatie van de cursusstudie

Het keuzevak 'Numerieke en letteruitdrukkingen omzetten' breidt en verdiept het basiswiskundecurriculum op de middelbare school uit en is bedoeld voor studie in de 11e klas. De voorgestelde cursus heeft tot doel computationele vaardigheden en denkvermogen te ontwikkelen. De cursus is opgebouwd volgens een klassiek lesplan, met de nadruk op praktische oefeningen. Het is bedoeld voor studenten met een hoog of gemiddeld niveau van wiskundige voorbereiding en is bedoeld om hen te helpen zich voor te bereiden op toelating tot universiteiten en de voortzetting van serieus wiskundig onderwijs te vergemakkelijken.

Geplande resultaten:

Kennis van nummerclassificatie;

Verbetering van snelle telvaardigheden;

Vermogen om wiskundige hulpmiddelen te gebruiken om verschillende problemen op te lossen;

Ontwikkeling van logisch denken, waardoor de voortzetting van serieus wiskundig onderwijs wordt vergemakkelijkt.

Inhoud van het keuzevak “Transformatie van numerieke en alfabetische uitdrukkingen”

Gehele getallen (4 uur): Nummerreeks. Fundamentele stelling van de rekenkunde. GCD en NOC. Tekenen van deelbaarheid. Methode van wiskundige inductie.

Rationele getallen (2u): Definitie van een rationaal getal. De belangrijkste eigenschap van een breuk. Verkorte vermenigvuldigingsformules. Definitie van periodieke breuk. De regel voor het converteren van een decimale periodieke breuk naar een gewone breuk.

Irrationele nummers. Radicalen. Graden. Logaritmen (6u): Definitie van een irrationeel getal. Bewijs van de irrationaliteit van een getal. Het wegwerken van irrationaliteit in de noemer. Echte getallen. Eigenschappen van graad. Eigenschappen van de rekenkundige wortel van de n-de graad. Definitie van logaritme. Eigenschappen van logaritmen.

Trigonometrische functies (4h): Cijfercirkel. Numerieke waarden van trigonometrische functies van basishoeken. De grootte van een hoek omzetten van een graadmaat naar een radiale maat en omgekeerd. Basis trigonometrische formules. Reductieformules. Inverse trigonometrische functies. Trigonometrische bewerkingen op boogfuncties. Basisrelaties tussen boogfuncties.

Complexe getallen (2u): Het concept van een complex getal. Acties met complexe getallen. Trigonometrische en exponentiële vormen van complexe getallen.

Tussentijdse toetsing (2u)

Vergelijking van numerieke uitdrukkingen (4h): Numerieke ongelijkheden op de verzameling reële getallen. Eigenschappen van numerieke ongelijkheden. Ondersteun ongelijkheden. Methoden voor het bewijzen van numerieke ongelijkheden.

Letterlijke uitdrukkingen (8u): Regels voor het converteren van uitdrukkingen met variabelen: polynomen; algebraïsche breuken; irrationele uitdrukkingen; trigonometrische en andere uitdrukkingen. Bewijzen van identiteiten en ongelijkheden. Vereenvoudiging van uitdrukkingen.

Educatief en thematisch plan

Het plan duurt 34 uur. Het is ontworpen rekening houdend met het onderwerp van het proefschrift, dus er worden twee afzonderlijke delen beschouwd: numerieke en alfabetische uitdrukkingen. Naar goeddunken van de leraar kunnen alfabetische uitdrukkingen samen met numerieke uitdrukkingen in geschikte onderwerpen worden overwogen.

№	Les onderwerp	Aantal uren
1.1	Hele getallen	2
1.2	Methode van wiskundige inductie	2
2.1	Rationele nummers	1
2.2	Decimale periodieke breuken	1
3.1	Irrationele nummers	2
3.2	Wortels en graden	2
3.3	Logaritmen	2
4.1	Trigonometrische functies	2
4.2	Inverse trigonometrische functies	2
5	Complexe getallen	2
	Test over het onderwerp "Numerieke expressies"	2
6	Numerieke expressies vergelijken	4
7.1	Uitdrukkingen converteren met radicalen	2
7.2	Machts- en logaritmische uitdrukkingen omzetten	2
7.3	Trigonometrische uitdrukkingen converteren	2
	Laatste test	2
	Totaal	34

Een letterlijke uitdrukking (of variabele uitdrukking) is een wiskundige uitdrukking die bestaat uit cijfers, letters en wiskundige symbolen. De volgende uitdrukking is bijvoorbeeld letterlijk:

a+b+4

Met behulp van alfabetische uitdrukkingen kunt u wetten, formules, vergelijkingen en functies schrijven. Het vermogen om letteruitdrukkingen te manipuleren is de sleutel tot goede kennis van algebra en hogere wiskunde.

Elk serieus probleem in de wiskunde komt neer op het oplossen van vergelijkingen. En om vergelijkingen te kunnen oplossen, moet je met letterlijke uitdrukkingen kunnen werken.

Om met letterlijke uitdrukkingen te werken, moet je goed thuis zijn in de basisrekenkunde: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, basiswetten van de wiskunde, breuken, bewerkingen met breuken, verhoudingen. En niet alleen studeren, maar grondig begrijpen.

Inhoud van de les

Variabelen

Letters die in letterlijke uitdrukkingen voorkomen, worden genoemd variabelen. Bijvoorbeeld in de uitdrukking a+b+ 4 variabelen zijn letters A En B. Als we getallen vervangen in plaats van deze variabelen, dan is de letterlijke uitdrukking a+b+ 4 verandert in een numerieke uitdrukking waarvan de waarde kan worden gevonden.

Getallen die in de plaats komen van variabelen worden aangeroepen waarden van variabelen. Laten we bijvoorbeeld de waarden van de variabelen wijzigen A En B. Het gelijkteken wordt gebruikt om waarden te wijzigen

een = 2, b = 3

We hebben de waarden van de variabelen gewijzigd A En B. Variabel A een waarde toegekend 2 , variabel B een waarde toegekend 3 . De resulterende letterlijke uitdrukking a+b+4 verandert in een reguliere numerieke uitdrukking 2+3+4 waarvan de waarde te vinden is:

Wanneer variabelen worden vermenigvuldigd, worden ze samen geschreven. Opnemen bijvoorbeeld ab betekent hetzelfde als de invoer a×b. Als we de variabelen vervangen A En B cijfers 2 En 3 , dan krijgen we er 6

U kunt ook de vermenigvuldiging van een getal samenschrijven met een uitdrukking tussen haakjes. In plaats van bijvoorbeeld a×(b + c) kan worden opgeschreven een(b + c). Door de verdelingswet van vermenigvuldiging toe te passen, verkrijgen we a(b + c)=ab+ac.

Kansen

In letterlijke uitdrukkingen vind je vaak een notatie waarin bijvoorbeeld een getal en een variabele samen worden geschreven 3a. Dit is eigenlijk een afkorting voor het vermenigvuldigen van het getal 3 met een variabele. A en dit bericht ziet eruit als 3×a .

Met andere woorden: de uitdrukking 3a is het product van het getal 3 en de variabele A. Nummer 3 in dit werk noemen ze dat coëfficiënt. Deze coëfficiënt geeft aan hoe vaak de variabele wordt verhoogd A. Deze uitdrukking kan worden gelezen als " A drie keer" of "drie keer A", of" verhoog de waarde van een variabele A drie keer", maar meestal gelezen als "drie A«

Als de variabele bijvoorbeeld A gelijk aan 5 en vervolgens de waarde van de expressie 3a zal gelijk zijn aan 15.

3×5=15

Simpel gezegd is de coëfficiënt het getal dat vóór de letter (vóór de variabele) verschijnt.

Er kunnen bijvoorbeeld meerdere letters zijn 5abc. Hier is de coëfficiënt het getal 5 . Deze coëfficiënt laat zien dat het product van variabelen is abc vervijfvoudigt. Deze uitdrukking kan worden gelezen als " abc vijf keer" of "verhoog de waarde van de uitdrukking abc vijf keer" of "vijf abc «.

Als in plaats van variabelen abc Vervang de getallen 2, 3 en 4 en vervolgens de waarde van de uitdrukking 5abc zal gelijk zijn 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Je kunt je mentaal voorstellen hoe de getallen 2, 3 en 4 voor het eerst werden vermenigvuldigd, en de resulterende waarde vervijfvoudigde:

Het teken van de coëfficiënt heeft alleen betrekking op de coëfficiënt en is niet van toepassing op de variabelen.

Denk eens aan de uitdrukking −6b. Min vóór de coëfficiënt 6 , is alleen van toepassing op de coëfficiënt 6 , en behoort niet tot de variabele B. Als u dit feit begrijpt, kunt u in de toekomst geen fouten maken met tekens.

Laten we de waarde van de uitdrukking vinden −6b bij b = 3.

−6b −6×b. Laten we voor de duidelijkheid de uitdrukking opschrijven −6b in uitgebreide vorm en vervang de waarde van de variabele B

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Voorbeeld 2. Zoek de waarde van een expressie −6b bij b = −5

Laten we de uitdrukking opschrijven −6b in uitgebreide vorm

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Voorbeeld 3. Zoek de waarde van een expressie −5a+b bij een = 3 En b = 2

−5a+b dit is een verkort formulier voor −5 × a + b, dus voor de duidelijkheid schrijven we de uitdrukking −5×a+b in uitgebreide vorm en vervang de waarden van de variabelen A En B

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Soms worden letters bijvoorbeeld zonder coëfficiënt geschreven A of ab. In dit geval is de coëfficiënt eenheid:

maar traditioneel wordt de eenheid niet opgeschreven, dus schrijven ze gewoon A of ab

Als er een minteken vóór de letter staat, is de coëfficiënt een getal −1 . De uitdrukking bijvoorbeeld −een lijkt er eigenlijk op −1a. Dit is het product van min één en de variabele A. Het bleek zo:

−1 × een = −1a

Er zit hier een kleine vangst. In expressie −een minteken vóór de variabele A verwijst eigenlijk naar een "onzichtbare eenheid" in plaats van naar een variabele A. Daarom moet u voorzichtig zijn bij het oplossen van problemen.

Bijvoorbeeld als de uitdrukking wordt gegeven −een en ons wordt gevraagd de waarde ervan te vinden een = 2, vervolgens hebben we op school een twee vervangen in plaats van een variabele A en kreeg antwoord −2 , zonder zich al te veel te concentreren op hoe het afliep. In feite werd min één vermenigvuldigd met het positieve getal 2

−a = −1 × een

−1 × een = −1 × 2 = −2

Als de uitdrukking wordt gegeven −een en je moet de waarde ervan vinden a = −2, dan vervangen we −2 in plaats van een variabele A

−a = −1 × een

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Om fouten te voorkomen kunnen in eerste instantie onzichtbare eenheden expliciet worden opgeschreven.

Voorbeeld 4. Zoek de waarde van een expressie abc bij een=2 , b=3 En c=4

Uitdrukking abc 1×a×b×c. Laten we voor de duidelijkheid de uitdrukking opschrijven abc een, b En C

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Voorbeeld 5. Zoek de waarde van een expressie abc bij a=−2, b=−3 En c=−4

Laten we de uitdrukking opschrijven abc in uitgebreide vorm en vervang de waarden van de variabelen een, b En C

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Voorbeeld 6. Zoek de waarde van een expressie − abc bij a=3, b=5 en c=7

Uitdrukking − abc dit is een verkort formulier voor −1×a×b×c. Laten we voor de duidelijkheid de uitdrukking opschrijven − abc in uitgebreide vorm en vervang de waarden van de variabelen een, b En C

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Voorbeeld 7. Zoek de waarde van een expressie − abc bij a=−2, b=−4 en c=−3

Laten we de uitdrukking opschrijven − abc in uitgebreide vorm:

−abc = −1 × a × b × c

Laten we de waarden van de variabelen vervangen A , B En C

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Hoe de coëfficiënt te bepalen

Soms moet u een probleem oplossen waarbij u de coëfficiënt van een uitdrukking moet bepalen. In principe is deze taak heel eenvoudig. Het is voldoende om getallen correct te kunnen vermenigvuldigen.

Om de coëfficiënt in een uitdrukking te bepalen, moet u de getallen in deze uitdrukking afzonderlijk vermenigvuldigen en de letters afzonderlijk vermenigvuldigen. De resulterende numerieke factor is de coëfficiënt.

Voorbeeld 1. 7m×5a×(−3)×n

De uitdrukking bestaat uit verschillende factoren. Dit is duidelijk te zien als u de uitdrukking in uitgebreide vorm schrijft. Dat wil zeggen, werkt 7m En 5a schrijf het in het formulier 7×m En 5×a

7 × m × 5 × een × (−3) × n

Laten we de associatieve wet van vermenigvuldiging toepassen, waarmee u factoren in willekeurige volgorde kunt vermenigvuldigen. We zullen namelijk de cijfers afzonderlijk vermenigvuldigen en de letters (variabelen) afzonderlijk vermenigvuldigen:

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

De coëfficiënt is −105 . Na voltooiing is het raadzaam om het lettergedeelte in alfabetische volgorde te rangschikken:

−105 uur

Voorbeeld 2. Bepaal de coëfficiënt in de uitdrukking: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

De coëfficiënt is 6.

Voorbeeld 3. Bepaal de coëfficiënt in de uitdrukking:

Laten we cijfers en letters afzonderlijk vermenigvuldigen:

De coëfficiënt is −1. Houd er rekening mee dat de eenheid niet wordt opgeschreven, omdat het gebruikelijk is om de coëfficiënt 1 niet te schrijven.

Deze ogenschijnlijk eenvoudigste taken kunnen een zeer wrede grap met ons uithalen. Vaak blijkt dat het teken van de coëfficiënt verkeerd is ingesteld: de min ontbreekt of is integendeel tevergeefs ingesteld. Om deze vervelende fouten te voorkomen, moet het op een goed niveau worden bestudeerd.

Addends in letterlijke uitdrukkingen

Wanneer u meerdere getallen optelt, wordt de som van deze getallen verkregen. Getallen die optellen worden addends genoemd. Er kunnen verschillende termen zijn, bijvoorbeeld:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Wanneer een uitdrukking uit termen bestaat, is deze veel gemakkelijker te evalueren, omdat optellen eenvoudiger is dan aftrekken. Maar de uitdrukking kan niet alleen optellen, maar ook aftrekken bevatten, bijvoorbeeld:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

In deze uitdrukking zijn de getallen 3 en 5 aftrekkers, geen toevoegingen. Maar niets belet ons om aftrekken te vervangen door optellen. Dan krijgen we opnieuw een uitdrukking bestaande uit termen:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Het maakt niet uit dat de getallen −3 en −5 nu een minteken hebben. Het belangrijkste is dat alle getallen in deze uitdrukking met elkaar zijn verbonden door een optelteken, dat wil zeggen dat de uitdrukking een som is.

Beide uitdrukkingen 1 + 2 − 3 + 4 − 5 En 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) gelijk aan dezelfde waarde - min één

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

De betekenis van de uitdrukking zal er dus niet onder lijden als we aftrekking ergens vervangen door optelling.

Je kunt aftrekken ook vervangen door optellen in letterlijke uitdrukkingen. Beschouw bijvoorbeeld de volgende uitdrukking:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Voor alle waarden van variabelen a, b, c, d En S uitdrukkingen 7a + 6b − 3c + 2d − 4s En 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) zal gelijk zijn aan dezelfde waarde.

Je moet erop voorbereid zijn dat een leraar op school of een leraar op een instituut even getallen (of variabelen) kan noemen die geen optellingen zijn.

Als het verschil bijvoorbeeld op het bord staat een - b, dan zegt de leraar dat niet A is een minuend, en B- aftrekbaar. Hij zal beide variabelen met één gemeenschappelijk woord aanroepen: voorwaarden. En dat allemaal vanwege de uitdrukking van de vorm een - b de wiskundige ziet hoe de som a+(−b). In dit geval wordt de uitdrukking een som, en de variabelen A En (-b) termen worden.

Soortgelijke termen

Soortgelijke termen- dit zijn termen die hetzelfde lettergedeelte hebben. Denk bijvoorbeeld eens aan de uitdrukking 7a + 6b + 2a. Componenten 7a En 2a hebben hetzelfde lettergedeelte - variabele A. Dus de voorwaarden 7a En 2a Zijn hetzelfde.

Meestal worden vergelijkbare termen toegevoegd om een ​​uitdrukking te vereenvoudigen of een vergelijking op te lossen. Deze operatie wordt genoemd soortgelijke termen te brengen.

Om soortgelijke termen te verkrijgen, moet u de coëfficiënten van deze termen optellen en het resulterende resultaat vermenigvuldigen met het gemeenschappelijke lettergedeelte.

Laten we bijvoorbeeld soortgelijke termen in de uitdrukking presenteren 3a + 4a + 5a. In dit geval zijn alle termen vergelijkbaar. Laten we hun coëfficiënten bij elkaar optellen en het resultaat vermenigvuldigen met het gemeenschappelijke lettergedeelte - met de variabele A

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Meestal komen soortgelijke termen in gedachten en wordt het resultaat onmiddellijk opgeschreven:

3a + 4a + 5a = 12a

Je kunt ook als volgt redeneren:

Er waren 3 a-variabelen, nog eens 4 a-variabelen en er werden nog eens 5 a-variabelen aan toegevoegd. Als resultaat kregen we 12 variabelen a

Laten we eens kijken naar verschillende voorbeelden van het brengen van soortgelijke termen. Aangezien dit onderwerp erg belangrijk is, zullen we eerst elk klein detail in detail opschrijven. Ondanks het feit dat alles hier heel eenvoudig is, maken de meeste mensen veel fouten. Meestal door onoplettendheid en niet door onwetendheid.

Voorbeeld 1. 3een+ 2een+ 6een+ 8A

Laten we de coëfficiënten in deze uitdrukking bij elkaar optellen en het resulterende resultaat vermenigvuldigen met het gemeenschappelijke lettergedeelte:

3een+ 2een+ 6een+ 8een=(3 + 2 + 6 + 8)× een = 19A

Constructie (3 + 2 + 6 + 8) × een Je hoeft het niet op te schrijven, dus wij schrijven het antwoord meteen op

3 een+ 2 een+ 6 een+ 8 een = 19 A

Voorbeeld 2. Geef vergelijkbare termen in de uitdrukking 2a+a

Tweede semester A geschreven zonder coëfficiënt, maar in feite staat er een coëfficiënt voor 1 , die we niet zien omdat het niet is opgenomen. De uitdrukking ziet er dus als volgt uit:

2a + 1a

Laten we nu vergelijkbare termen presenteren. Dat wil zeggen, we tellen de coëfficiënten op en vermenigvuldigen het resultaat met het gemeenschappelijke lettergedeelte:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Laten we de oplossing kort opschrijven:

2a + een = 3a

2a+a, je kunt er anders over denken:

Voorbeeld 3. Geef vergelijkbare termen in de uitdrukking 2a − een

Laten we aftrekken vervangen door optellen:

2a + (-a)

Tweede semester (-een) geschreven zonder coëfficiënt, maar het lijkt er in feite op (−1a). Coëfficiënt −1 wederom onzichtbaar doordat het niet is opgenomen. De uitdrukking ziet er dus als volgt uit:

2a + (−1a)

Laten we nu vergelijkbare termen presenteren. Laten we de coëfficiënten optellen en het resultaat vermenigvuldigen met het gemeenschappelijke lettergedeelte:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = een

Meestal korter geschreven:

2a − een = een

Gelijksoortige termen in de uitdrukking geven 2a − een Je kunt anders denken:

Er waren 2 variabelen a, trek daar één variabele a van af, en het resultaat was dat er nog maar één variabele a overbleef

Voorbeeld 4. Geef vergelijkbare termen in de uitdrukking 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Laten we nu vergelijkbare termen presenteren. Laten we de coëfficiënten optellen en het resultaat vermenigvuldigen met het totale lettergedeelte

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Laten we de oplossing kort opschrijven:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Er zijn uitdrukkingen die verschillende groepen vergelijkbare termen bevatten. Bijvoorbeeld, 3a + 3b + 7a + 2b. Voor dergelijke uitdrukkingen gelden dezelfde regels als voor de andere, namelijk het optellen van de coëfficiënten en het vermenigvuldigen van het resultaat met het gemeenschappelijke lettergedeelte. Maar om fouten te voorkomen, is het handig om verschillende groepen termen met verschillende regels te markeren.

Bijvoorbeeld in de uitdrukking 3a + 3b + 7a + 2b die termen die een variabele bevatten A, kunnen met één regel worden onderstreept, en de termen die een variabele bevatten B, kan worden benadrukt met twee regels:

Nu kunnen we soortgelijke termen presenteren. Dat wil zeggen, voeg de coëfficiënten toe en vermenigvuldig het resulterende resultaat met het totale lettergedeelte. Dit moet voor beide groepen termen gebeuren: voor termen die een variabele bevatten A en voor termen die een variabele bevatten B.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Nogmaals, we herhalen dat de uitdrukking eenvoudig is, en soortgelijke termen kunnen in gedachten worden gehouden:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Voorbeeld 5. Geef vergelijkbare termen in de uitdrukking 5a − 6a −7b + b

Laten we aftrekken waar mogelijk vervangen door optellen:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Laten we soortgelijke termen met verschillende lijnen onderstrepen. Termen die variabelen bevatten A we onderstrepen met één regel, en de termen die variabelen bevatten B, onderstreep met twee regels:

Nu kunnen we soortgelijke termen presenteren. Dat wil zeggen, voeg de coëfficiënten toe en vermenigvuldig het resulterende resultaat met het gemeenschappelijke lettergedeelte:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Als de uitdrukking gewone getallen zonder letterfactoren bevat, worden deze afzonderlijk toegevoegd.

Voorbeeld 6. Geef vergelijkbare termen in de uitdrukking 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Laten we aftrekken waar mogelijk vervangen door optellen:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Laten we soortgelijke termen presenteren. Nummers −5 En 7 hebben geen letterfactoren, maar het zijn vergelijkbare termen - ze hoeven alleen maar te worden toegevoegd. En de termijn 2b blijft ongewijzigd, aangezien het de enige in deze uitdrukking is die een letterfactor heeft B, en er is niets aan toe te voegen:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Laten we de oplossing kort opschrijven:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

De termen kunnen zo worden geordend dat de termen met hetzelfde lettergedeelte zich in hetzelfde deel van de uitdrukking bevinden.

Voorbeeld 7. Geef vergelijkbare termen in de uitdrukking 5t+2x+3x+5t+x

Omdat de uitdrukking een som is van verschillende termen, kunnen we deze in willekeurige volgorde evalueren. Daarom de termen die de variabele bevatten T, kan aan het begin van de uitdrukking worden geschreven, en van de termen die de variabele bevatten X aan het einde van de uitdrukking:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Nu kunnen we vergelijkbare termen presenteren:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Laten we de oplossing kort opschrijven:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

De som van tegengestelde getallen is nul. Deze regel werkt ook voor letterlijke uitdrukkingen. Als de uitdrukking identieke termen bevat, maar met tegengestelde tekens, kunt u deze verwijderen in de fase van het verminderen van vergelijkbare termen. Met andere woorden, verwijder ze eenvoudigweg uit de uitdrukking, aangezien hun som nul is.

Voorbeeld 8. Geef vergelijkbare termen in de uitdrukking 3t − 4t − 3t + 2t

Laten we aftrekken waar mogelijk vervangen door optellen:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Componenten 3t En (−3t) zijn tegengesteld. De som van tegengestelde termen is nul. Als we deze nul uit de uitdrukking verwijderen, verandert de waarde van de uitdrukking niet, dus verwijderen we deze. En we zullen het verwijderen door simpelweg de voorwaarden door te strepen 3t En (−3t)

Als gevolg hiervan blijven we achter met de uitdrukking (−4t) + 2t. In deze uitdrukking kunt u vergelijkbare termen toevoegen en het uiteindelijke antwoord krijgen:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Laten we de oplossing kort opschrijven:

Vereenvoudiging van uitdrukkingen

"Vereenvoudig de uitdrukking" en hieronder staat de uitdrukking die vereenvoudigd moet worden. Vereenvoudig een uitdrukking betekent dat het eenvoudiger en korter moet worden gemaakt.

In feite hebben we uitdrukkingen al vereenvoudigd toen we breuken verkleinden. Na reductie werd de breuk korter en gemakkelijker te begrijpen.

Beschouw het volgende voorbeeld. Vereenvoudig de uitdrukking.

Deze taak kan letterlijk als volgt worden opgevat: "Pas alle geldige acties toe op deze uitdrukking, maar maak het eenvoudiger." .

In dit geval kunt u de breuk verkleinen, namelijk door de teller en de noemer van de breuk door 2 te delen:

Wat kan je nog meer doen? U kunt de resulterende breuk berekenen. Dan krijgen we de decimale breuk 0,5

Als gevolg hiervan werd de breuk vereenvoudigd tot 0,5.

De eerste vraag die u uzelf moet stellen bij het oplossen van dergelijke problemen zou moeten zijn "Wat gedaan kan worden?" . Omdat er acties zijn die je kunt doen, en er zijn acties die je niet kunt doen.

Een ander belangrijk punt om te onthouden is dat de betekenis van de uitdrukking niet mag veranderen na het vereenvoudigen van de uitdrukking. Laten we terugkeren naar de uitdrukking. Deze uitdrukking vertegenwoordigt een deling die kan worden uitgevoerd. Nadat we deze deling hebben uitgevoerd, krijgen we de waarde van deze uitdrukking, die gelijk is aan 0,5

Maar we hebben de uitdrukking vereenvoudigd en een nieuwe vereenvoudigde uitdrukking gekregen. De waarde van de nieuwe vereenvoudigde uitdrukking is nog steeds 0,5

Maar we hebben ook geprobeerd de uitdrukking te vereenvoudigen door deze te berekenen. Als resultaat hiervan kregen wij een eindantwoord van 0,5.

Hoe we de uitdrukking ook vereenvoudigen, de waarde van de resulterende uitdrukkingen is dus nog steeds gelijk aan 0,5. Dit betekent dat de vereenvoudiging in elke fase correct is uitgevoerd. Dit is precies waar we naar moeten streven bij het vereenvoudigen van uitdrukkingen: de betekenis van de uitdrukking mag niet lijden onder onze daden.

Het is vaak nodig om letterlijke uitdrukkingen te vereenvoudigen. Hiervoor gelden dezelfde vereenvoudigingsregels als voor numerieke uitdrukkingen. U kunt alle geldige acties uitvoeren, zolang de waarde van de expressie niet verandert.

Laten we een paar voorbeelden bekijken.

Voorbeeld 1. Vereenvoudig een uitdrukking 5,21s×t×2,5

Om deze uitdrukking te vereenvoudigen, kunt u de cijfers afzonderlijk vermenigvuldigen en de letters afzonderlijk vermenigvuldigen. Deze taak lijkt sterk op de taak waar we naar keken toen we leerden de coëfficiënt te bepalen:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

De uitdrukking dus 5,21s×t×2,5 vereenvoudigd tot 13.025ste.

Voorbeeld 2. Vereenvoudig een uitdrukking −0,4 × (−6,3b) × 2

Tweede stuk (-6,3b) kan worden vertaald in een voor ons begrijpelijke vorm, namelijk geschreven in de vorm ( −6,3)×b , vermenigvuldig vervolgens de cijfers afzonderlijk en vermenigvuldig de letters afzonderlijk:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

De uitdrukking dus −0,4 × (−6,3b) × 2 vereenvoudigd tot 5.04b

Voorbeeld 3. Vereenvoudig een uitdrukking

Laten we deze uitdrukking gedetailleerder schrijven om duidelijk te zien waar de cijfers staan ​​en waar de letters staan:

Laten we nu de cijfers afzonderlijk vermenigvuldigen en de letters afzonderlijk vermenigvuldigen:

De uitdrukking dus vereenvoudigd tot −abc. Deze oplossing kan kort worden geschreven:

Bij het vereenvoudigen van uitdrukkingen kunnen breuken worden verkleind tijdens het oplossingsproces, en niet helemaal aan het einde, zoals we deden met gewone breuken. Als we bijvoorbeeld tijdens het oplossen een uitdrukking van de vorm tegenkomen, dan is het helemaal niet nodig om de teller en de noemer te berekenen en zoiets als dit te doen:

Een breuk kan worden verkleind door een factor in zowel de teller als de noemer te selecteren en deze factoren te verminderen met hun grootste gemene deler. Met andere woorden, gebruik waarbij we niet in detail beschrijven waarin de teller en de noemer zijn verdeeld.

In de teller is de factor bijvoorbeeld 12 en in de noemer kan de factor 4 met 4 worden verminderd. We houden de vier in gedachten, en delen 12 en 4 door deze vier, noteren we de antwoorden naast deze getallen, nadat u ze eerst had doorgestreept

Nu kunt u de resulterende kleine factoren vermenigvuldigen. In dit geval zijn er maar een paar en kun je ze in je hoofd vermenigvuldigen:

Na verloop van tijd zul je merken dat bij het oplossen van een bepaald probleem uitdrukkingen ‘dik’ beginnen te worden, dus het is raadzaam om te wennen aan snelle berekeningen. Wat in de geest kan worden berekend, moet in de geest worden berekend. Wat snel kan worden verminderd, moet snel worden verminderd.

Voorbeeld 4. Vereenvoudig een uitdrukking

De uitdrukking dus vereenvoudigd tot

Voorbeeld 5. Vereenvoudig een uitdrukking

Laten we de cijfers afzonderlijk en de letters afzonderlijk vermenigvuldigen:

De uitdrukking dus vereenvoudigd tot mn.

Voorbeeld 6. Vereenvoudig een uitdrukking

Laten we deze uitdrukking gedetailleerder schrijven om duidelijk te zien waar de cijfers staan ​​en waar de letters staan:

Laten we nu de cijfers afzonderlijk en de letters afzonderlijk vermenigvuldigen. Voor het gemak van de berekening kunnen de decimale breuk −6,4 en een gemengd getal worden omgezet in gewone breuken:

De uitdrukking dus vereenvoudigd tot

De oplossing voor dit voorbeeld kan veel korter worden geschreven. Het zal er als volgt uitzien:

Voorbeeld 7. Vereenvoudig een uitdrukking

Laten we cijfers afzonderlijk en letters afzonderlijk vermenigvuldigen. Voor het gemak van de berekening kunnen gemengde getallen en decimale breuken 0,1 en 0,6 worden omgezet in gewone breuken:

De uitdrukking dus vereenvoudigd tot abcd. Als u de details overslaat, kan deze oplossing veel korter worden geschreven:

Merk op hoe de breuk is verkleind. Nieuwe factoren die worden verkregen als gevolg van de reductie van eerdere factoren mogen ook worden verlaagd.

Laten we het nu hebben over wat we niet moeten doen. Bij het vereenvoudigen van uitdrukkingen is het ten strengste verboden cijfers en letters te vermenigvuldigen als de uitdrukking een som is en geen product.

Als u bijvoorbeeld de uitdrukking wilt vereenvoudigen 5a+4b, dan kun je het niet zo schrijven:

Dit is hetzelfde als wanneer ons wordt gevraagd twee getallen op te tellen en we deze vermenigvuldigen in plaats van ze op te tellen.

Bij het vervangen van variabelewaarden A En B uitdrukking 5a +4b verandert in een gewone numerieke uitdrukking. Laten we aannemen dat de variabelen A En B hebben de volgende betekenissen:

a = 2, b = 3

Dan is de waarde van de uitdrukking gelijk aan 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Eerst wordt de vermenigvuldiging uitgevoerd en vervolgens worden de resultaten opgeteld. En als we deze uitdrukking zouden proberen te vereenvoudigen door cijfers en letters te vermenigvuldigen, zouden we het volgende krijgen:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Het blijkt een heel andere betekenis van de uitdrukking. In het eerste geval werkte het 22 , in het tweede geval 120 . Dit betekent dat de uitdrukking wordt vereenvoudigd 5a+4b verkeerd werd uitgevoerd.

Na het vereenvoudigen van de uitdrukking mag de waarde ervan niet veranderen met dezelfde waarden van de variabelen. Als bij het vervangen van variabele waarden in de oorspronkelijke uitdrukking één waarde wordt verkregen, moet na het vereenvoudigen van de uitdrukking dezelfde waarde worden verkregen als vóór de vereenvoudiging.

Met expressie 5a+4b je kunt echt niets doen. Het vereenvoudigt het niet.

Als een uitdrukking soortgelijke termen bevat, kunnen deze worden toegevoegd als het ons doel is de uitdrukking te vereenvoudigen.

Voorbeeld 8. Vereenvoudig een uitdrukking 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

of korter: 0,3a − 0,4a + een = 0,9a

De uitdrukking dus 0,3a−0,4a+a vereenvoudigd tot 0,9a

Voorbeeld 9. Vereenvoudig een uitdrukking −7,5a − 2,5b + 4a

Om deze uitdrukking te vereenvoudigen, kunnen we soortgelijke termen toevoegen:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

of korter −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Termijn (−2,5b) bleef ongewijzigd omdat er niets was om het mee te verbinden.

Voorbeeld 10. Vereenvoudig een uitdrukking

Om deze uitdrukking te vereenvoudigen, kunnen we soortgelijke termen toevoegen:

De coëfficiënt was bedoeld om de berekening te vergemakkelijken.

De uitdrukking dus vereenvoudigd tot

Voorbeeld 11. Vereenvoudig een uitdrukking

Om deze uitdrukking te vereenvoudigen, kunnen we soortgelijke termen toevoegen:

De uitdrukking dus vereenvoudigd tot .

In dit voorbeeld zou het passender zijn om eerst de eerste en de laatste coëfficiënten toe te voegen. In dit geval zouden we een korte oplossing hebben. Het zou er als volgt uitzien:

Voorbeeld 12. Vereenvoudig een uitdrukking

Om deze uitdrukking te vereenvoudigen, kunnen we soortgelijke termen toevoegen:

De uitdrukking dus vereenvoudigd tot .

De term bleef ongewijzigd, omdat er niets aan toe te voegen was.

Deze oplossing kan veel korter worden geschreven. Het zal er als volgt uitzien:

De korte oplossing sloeg de stappen over van het vervangen van aftrekken door optellen en het gedetailleerd beschrijven hoe breuken tot een gemeenschappelijke noemer werden teruggebracht.

Een ander verschil is dat in de gedetailleerde oplossing het antwoord er zo uitziet , maar kortom als . In feite zijn het dezelfde uitdrukkingen. Het verschil is dat in het eerste geval het aftrekken wordt vervangen door optellen, omdat we in het begin, toen we de oplossing in gedetailleerde vorm opschreven, waar mogelijk het aftrekken door optellen vervingen, en deze vervanging werd bewaard voor het antwoord.

Identiteiten. Identiek gelijke uitdrukkingen

Zodra we een uitdrukking hebben vereenvoudigd, wordt deze eenvoudiger en korter. Om te controleren of de vereenvoudigde uitdrukking correct is, volstaat het om eventuele variabelewaarden eerst te vervangen door de vorige uitdrukking die vereenvoudigd moest worden, en vervolgens door de nieuwe die vereenvoudigd moest worden. Als de waarde in beide expressies hetzelfde is, is de vereenvoudigde expressie waar.

Laten we naar een eenvoudig voorbeeld kijken. Laat het nodig zijn om de uitdrukking te vereenvoudigen 2a×7b. Om deze uitdrukking te vereenvoudigen, kunt u cijfers en letters afzonderlijk vermenigvuldigen:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Laten we controleren of we de uitdrukking correct hebben vereenvoudigd. Laten we hiervoor alle waarden van de variabelen vervangen A En B eerst naar de eerste uitdrukking die vereenvoudigd moest worden, en vervolgens naar de tweede, die vereenvoudigd moest worden.

Laat de waarden van de variabelen A , B zal als volgt zijn:

a = 4, b = 5

Laten we ze vervangen door de eerste uitdrukking 2a×7b

Laten we nu dezelfde variabelewaarden vervangen door de uitdrukking die het resultaat is van vereenvoudiging 2a×7b, namelijk in de uitdrukking 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Dat zien we wanneer een=4 En b=5 waarde van de eerste uitdrukking 2a×7b en de betekenis van de tweede uitdrukking 14ab gelijkwaardig

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Hetzelfde zal gebeuren voor alle andere waarden. Laat bijvoorbeeld een=1 En b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

Dus voor alle waarden van de expressievariabelen 2a×7b En 14ab zijn gelijk aan dezelfde waarde. Dergelijke uitdrukkingen worden genoemd identiek gelijk.

Dat concluderen we tussen de uitdrukkingen 2a×7b En 14ab je kunt een gelijkteken plaatsen omdat ze gelijk zijn aan dezelfde waarde.

2a × 7b = 14ab

Een gelijkheid is elke uitdrukking die verbonden is door een gelijkteken (=).

En gelijkheid van de vorm 2a×7b = 14ab genaamd identiteit.

Een identiteit is een gelijkheid die geldt voor alle waarden van de variabelen.

Andere voorbeelden van identiteiten:

een + b = b + een

a(b+c) = ab+ac

a(bc) = (ab)c

Ja, de wetten van de wiskunde die we hebben bestudeerd zijn identiteiten.

Echte numerieke gelijkheden zijn ook identiteiten. Bijvoorbeeld:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Bij het oplossen van een complex probleem wordt, om de berekening eenvoudiger te maken, de complexe uitdrukking vervangen door een eenvoudiger uitdrukking die identiek gelijk is aan de vorige. Deze vervanging heet identieke transformatie van de uitdrukking of gewoon het transformeren van de uitdrukking.

We hebben de uitdrukking bijvoorbeeld vereenvoudigd 2a×7b, en kreeg een eenvoudiger uitdrukking 14ab. Deze vereenvoudiging kan de identiteitstransformatie worden genoemd.

Je kunt vaak een taak vinden die zegt "Bewijzen dat gelijkheid een identiteit is" en dan wordt de gelijkheid gegeven die bewezen moet worden. Meestal bestaat deze gelijkheid uit twee delen: het linker- en rechterdeel van de gelijkheid. Onze taak is om identiteitstransformaties uit te voeren met een van de delen van de gelijkheid en het andere deel te verkrijgen. Of voer identieke transformaties uit aan beide kanten van de gelijkheid en zorg ervoor dat beide kanten van de gelijkheid dezelfde uitdrukkingen bevatten.

Laten we bijvoorbeeld bewijzen dat de gelijkheid 0,5a × 5b = 2,5ab is een identiteit.

Laten we de linkerkant van deze gelijkheid vereenvoudigen. Om dit te doen, vermenigvuldigt u de cijfers en letters afzonderlijk:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Als resultaat van een kleine identiteitstransformatie werd de linkerkant van de gelijkheid gelijk aan de rechterkant van de gelijkheid. Dus we hebben bewezen dat de gelijkheid 0,5a × 5b = 2,5ab is een identiteit.

Van identieke transformaties leerden we getallen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, breuken verkleinen, soortgelijke termen optellen en ook enkele uitdrukkingen vereenvoudigen.

Maar dit zijn niet allemaal identieke transformaties die in de wiskunde bestaan. Er zijn nog veel meer identieke transformaties. Dit zullen we in de toekomst vaker gaan zien.

Taken voor onafhankelijke oplossing:

Vond je de les leuk?
Word lid van onze nieuwe VKontakte-groep en ontvang meldingen over nieuwe lessen

KEUZEONDERWERP ONDERWERP

CONVERTEREN VAN NUMERIEKE EN LETTERSUITDRUKKINGEN

Hoeveelheid 34 uur

hogere wiskundeleraar

Gemeentelijke onderwijsinstelling "Middelbare school nr. 51"

Saratov, 2008

KEUZEONDERWERPPROGRAMMA

"NUMERIEKE EN LETERALE UITDRUKKINGEN OMZETTEN"

Toelichting

De laatste jaren worden eindexamens op scholen, maar ook toelatingsexamens op universiteiten, afgenomen met behulp van tests. Deze toetsvorm wijkt af van het klassieke examen en vergt een specifieke voorbereiding. Een kenmerk van testen in de vorm die zich tot nu toe heeft ontwikkeld, is de noodzaak om in een beperkte tijd een groot aantal vragen te beantwoorden, dat wil zeggen dat het niet alleen nodig is om de gestelde vragen te beantwoorden, maar ook om dit snel te doen. Daarom is het belangrijk om verschillende technieken en methoden onder de knie te krijgen waarmee u het gewenste resultaat kunt bereiken.

Bij het oplossen van vrijwel elk schoolprobleem moet je een aantal transformaties doorvoeren. Vaak wordt de complexiteit ervan volledig bepaald door de mate van complexiteit en de hoeveelheid transformatie die moet worden uitgevoerd. Het is niet ongewoon dat een leerling een probleem niet kan oplossen, niet omdat hij niet weet hoe het opgelost moet worden, maar omdat hij niet binnen een redelijke tijd alle noodzakelijke transformaties en berekeningen foutloos kan uitvoeren.

Het keuzevak 'Numerieke en letteruitdrukkingen omzetten' breidt en verdiept het basiswiskundecurriculum op de middelbare school uit en is bedoeld voor studie in de 11e klas. De voorgestelde cursus heeft tot doel computationele vaardigheden en denkvermogen te ontwikkelen. De cursus is bedoeld voor studenten met een hoog of gemiddeld niveau van wiskundige voorbereiding en is bedoeld om hen te helpen zich voor te bereiden op toelating tot universiteiten en de voortzetting van serieus wiskundig onderwijs te vergemakkelijken.

Doelen en doelstellingen:

Systematisering, generalisatie en uitbreiding van de kennis van studenten over getallen en bewerkingen ermee;

Ontwikkeling van de onafhankelijkheid, creatief denken en cognitieve interesse van studenten;

Vorming van interesse in het computerproces;

Aanpassing van studenten aan nieuwe regels voor toelating tot universiteiten.

Verwachte resultaten:

Kennis van nummerclassificatie;

Verbetering van snelle telvaardigheden;

Vermogen om wiskundige hulpmiddelen te gebruiken om verschillende problemen op te lossen;

Educatief en thematisch plan

Het plan duurt 34 uur. Het is ontworpen rekening houdend met het onderwerp van het proefschrift, dus er worden twee afzonderlijke delen beschouwd: numerieke en alfabetische uitdrukkingen. Naar goeddunken van de leraar kunnen alfabetische uitdrukkingen samen met numerieke uitdrukkingen in geschikte onderwerpen worden overwogen.

		Aantal uren
	Numerieke expressies Hele getallen Methode van wiskundige inductie Rationele nummers Decimale periodieke breuken Irrationele nummers Wortels en graden Logaritmen Trigonometrische functies Inverse trigonometrische functies Complexe getallen Test over het onderwerp "Numerieke expressies" Numerieke expressies vergelijken Letterlijke uitdrukkingen Uitdrukkingen converteren met radicalen Machtsuitdrukkingen converteren Logaritmische uitdrukkingen converteren Trigonometrische uitdrukkingen converteren Laatste test

gehele getallen (4 uur)

Nummerreeks. Fundamentele stelling van de rekenkunde. GCD en NOC. Tekenen van deelbaarheid. Methode van wiskundige inductie.

Rationele getallen (2u)

Definitie van een rationaal getal. De belangrijkste eigenschap van een breuk. Verkorte vermenigvuldigingsformules. Definitie van periodieke breuk. De regel voor het converteren van een decimale periodieke breuk naar een gewone breuk.

Irrationele nummers. Radicalen. Graden. Logaritmen (6u)

Definitie van een irrationeel getal. Bewijs van de irrationaliteit van een getal. Het wegwerken van irrationaliteit in de noemer. Echte getallen. Eigenschappen van graad. Eigenschappen van de rekenkundige wortel van de n-de graad. Definitie van logaritme. Eigenschappen van logaritmen.

Trigonometrische functies (4 uur)

Cijfercirkel. Numerieke waarden van trigonometrische functies van basishoeken. De grootte van een hoek omzetten van een graadmaat naar een radiale maat en omgekeerd. Basis trigonometrische formules. Reductieformules. Inverse trigonometrische functies. Trigonometrische bewerkingen op boogfuncties. Basisrelaties tussen boogfuncties.

Complexe getallen (2u)

Het concept van een complex getal. Acties met complexe getallen. Trigonometrische en exponentiële vormen van complexe getallen.

Tussentijdse toetsing (2u)

Vergelijking van numerieke uitdrukkingen (4u)

Numerieke ongelijkheden op de verzameling reële getallen. Eigenschappen van numerieke ongelijkheden. Ondersteun ongelijkheden. Methoden voor het bewijzen van numerieke ongelijkheden.

Letteruitdrukkingen (8u)

Regels voor het converteren van uitdrukkingen met variabelen: polynomen; algebraïsche breuken; irrationele uitdrukkingen; trigonometrische en andere uitdrukkingen. Bewijzen van identiteiten en ongelijkheden. Vereenvoudiging van uitdrukkingen.

Deel 1 van het keuzevak: “Numerieke uitdrukkingen”

LES 1(twee uur)

Les onderwerp: Hele getallen

Lesdoelstellingen: De kennis van leerlingen over cijfers samenvatten en systematiseren; onthoud de concepten van GCD en LCM; kennis uitbreiden over de tekenen van deelbaarheid; beschouw problemen opgelost in gehele getallen.

Tijdens de lessen

I. Inleidende lezing.

Classificatie van cijfers:

gehele getallen;

Hele getallen;

Rationele nummers;

Echte getallen;

Complexe getallen.

De introductie van de getallenreeksen op school begint met het concept van een natuurlijk getal. Getallen die worden gebruikt bij het tellen van objecten worden opgeroepen natuurlijk. De reeks natuurlijke getallen wordt aangegeven met N. Natuurlijke getallen zijn onderverdeeld in priemgetallen en samengestelde getallen. Priemgetallen hebben slechts twee delers: één en het getal zelf; Fundamentele stelling van de rekenkunde stelt: “Elk natuurlijk getal groter dan 1 kan worden weergegeven als een product van priemgetallen (niet noodzakelijkerwijs verschillend), en op een unieke manier (tot aan de volgorde van de factoren).”

Er zijn nog twee andere belangrijke rekenkundige concepten die verband houden met natuurlijke getallen: de grootste gemene deler (GCD) en het kleinste gemene veelvoud (LCM). Elk van deze concepten definieert zichzelf feitelijk. Het oplossen van veel problemen wordt vergemakkelijkt door tekenen van deelbaarheid die niet vergeten moeten worden.

Test op deelbaarheid door 2 . Een getal is deelbaar door 2 als het laatste cijfer even of o is.

Test op deelbaarheid door 4 . Een getal is deelbaar door 4 als de laatste twee cijfers nul zijn of een getal vormen dat deelbaar is door 4.

Test op deelbaarheid door 8. Een getal is deelbaar door 8 als de laatste drie cijfers nul zijn of een getal vormen dat deelbaar is door 8.

Tests voor deelbaarheid door 3 en 9. Alleen de getallen waarvan de som van de cijfers deelbaar is door 3, zijn deelbaar door 3; door 9 – alleen degenen waarvan de som van de cijfers deelbaar is door 9.

Test op deelbaarheid door 6. Een getal is deelbaar door 6 als het zowel door 2 als door 3 deelbaar is.

Deelbaarheidstest door 5 . Getallen waarvan het laatste cijfer 0 of 5 is, zijn deelbaar door 5.

Test op deelbaarheid door 25. Getallen waarvan de laatste twee cijfers nullen zijn of een getal vormen dat deelbaar is door 25, zijn deelbaar door 25.

Tekenen van deelbaarheid door 10.100.1000. Alleen de getallen waarvan het laatste cijfer 0 is, zijn deelbaar door 10, alleen de getallen waarvan de laatste twee cijfers 0 zijn, zijn deelbaar door 100, en alleen de getallen waarvan de laatste drie cijfers 0 zijn, zijn deelbaar door 1000.

Deelbaarheidstest door 11 . Alleen die getallen zijn deelbaar door 11 als de som van de cijfers op de oneven plaatsen gelijk is aan de som van de cijfers op de even plaatsen, of daarvan verschilt door een getal dat deelbaar is door 11.

In de eerste les gaan we kijken naar natuurlijke getallen en gehele getallen. Geheel getallen zijn natuurlijke getallen, hun tegenpolen en nul. De verzameling gehele getallen wordt aangegeven met Z.

II. Probleemoplossing.

VOORBEELD 1. Factor in priemfactoren: a) 899; b) 1000027.

Oplossing: a) ;

b) VOORBEELD 2. Zoek de GCD van de getallen 2585 en 7975.

Oplossing: laten we het Euclidische algoritme gebruiken:

Als https://pandia.ru/text/78/342/images/image004_155.gif" width="167" height="29 src=">;

https://pandia.ru/text/78/342/images/image006_127.gif" breedte = "88" hoogte = "29 src = ">.gif" breedte = "16" hoogte = "29">

220 |165 -

165|55 -

Antwoord: ggd(2585.7975) = 55.

VOORBEELD 3. Bereken:

Oplossing: = 1987100011989. Het tweede product is gelijk aan dezelfde waarde. Het verschil is dus 0.

VOORBEELD 4. Zoek de GCD en LCM van de getallen a) 5544 en 1404; b) 198, 504 en 780.

Antwoorden: a) 36; 49896; b) 6; 360360.

VOORBEELD 5. Vind het quotiënt en de rest van de deling

a) 5 bij 7; https://pandia.ru/text/78/342/images/image013_75.gif" width="109" height="20 src=">;

c) -529 tot (-23); https://pandia.ru/text/78/342/images/image015_72.gif" width="157" height="28 src=">;

e) 256 tot (-15); https://pandia.ru/text/78/342/images/image017_68.gif" breedte = "101" hoogte = "23">

Oplossing: https://pandia.ru/text/78/342/images/image020_64.gif" width="123 height=28" height="28">.

B)

Oplossing: https://pandia.ru/text/78/342/images/image024_52.gif" width="95" height="23">.

VOORBEELD 7..gif" width="67" height="27 src="> per 17.

Oplossing: Laten we een record invoeren , wat betekent dat wanneer gedeeld door m de getallen a, b,c,...d dezelfde rest opleveren.

Daarom zal er voor elke natuurlijke k een bestaan

Maar 1989=16124+5. Middelen,

Antwoord: De rest is 12.

VOORBEELD 8. Vind het kleinste natuurlijke getal groter dan 10 dat, gedeeld door 24, 45 en 56, een rest van 1 zou opleveren.

Antwoord: NOC(24;45;56)+1=2521.

VOORBEELD 9. Vind het kleinste natuurlijke getal dat deelbaar is door 7 en dat bij deling door 3, 4 en 5 een rest van 1 overblijft.

Antwoord: 301. Richting. Onder de getallen van de vorm 60k + 1 moet je het kleinste deelbare door 7 vinden; k = 5.

VOORBEELD 10. Voeg rechts en links één cijfer toe aan 23, zodat het resulterende getal van vier cijfers deelbaar is door 9 en 11.

Antwoord: 6237.

VOORBEELD 11. Voeg drie cijfers toe aan de achterkant van het getal, zodat het resulterende getal deelbaar is door 7, 8 en 9.

Antwoord: 304 of 808. Let op. Het getal gedeeld door = 789) laat een rest van 200 over. Als je er dus 304 of 808 aan toevoegt, is het deelbaar door 504.

VOORBEELD 12. Is het mogelijk om de cijfers van een driecijferig getal dat deelbaar is door 37 te herschikken, zodat het resulterende getal ook deelbaar is door 37?

Antwoord: Ja. Let op..gif" width="61" height="24"> is ook deelbaar door 37. We hebben A = 100a + 10b + c = 37k, vandaar c =37k -100a – 10b. Dan B = 100b +10c + a = 100b +k – 100a – 10b) + a = 370k – 999a, dat wil zeggen, B wordt gedeeld door 37.

VOORBEELD 13. Zoek het getal dat, gedeeld door welke, de getallen 1108, 1453,1844 en 2281 dezelfde rest opleveren.

Antwoord: 23. Instructie. Het verschil tussen twee gegeven getallen wordt gedeeld door het gewenste getal. Dit betekent dat elke gemene deler van alle mogelijke dataverschillen, anders dan 1, geschikt is voor ons

VOORBEELD 14. Stel je 19 voor als het verschil tussen derdemachten van natuurlijke getallen.

VOORBEELD 15. Het kwadraat van een natuurlijk getal is gelijk aan het product van vier opeenvolgende oneven getallen. Zoek dit nummer.

Antwoord: .

VOORBEELD 16..gif" width="115" height="27"> is niet deelbaar door 10.

Antwoord: a) Instructie. Nadat u de eerste en laatste term, de tweede en de voorlaatste, enz. hebt gegroepeerd, gebruikt u de formule voor de som van kubussen.

b) Indicatie..gif" width="120" height="20">.

4) Vind alle paren natuurlijke getallen waarvan de GCD 5 is en de LCM 105.

Antwoord: 5, 105 of 15, 35.

LES 2(twee uur)

Lesonderwerp: Methode van wiskundige inductie.

Het doel van de les: Wiskundige uitspraken beoordelen die bewijs vereisen; studenten kennis laten maken met de methode van wiskundige inductie; logisch denken ontwikkelen.

Tijdens de lessen

I. Huiswerk controleren.

II. Uitleg van nieuw materiaal.

In een wiskundecursus op school zijn er, naast de taken 'Vind de waarde van een uitdrukking', taken in de vorm: 'Bewijs gelijkheid.' Een van de meest universele methoden om wiskundige uitspraken te bewijzen waarin de woorden ‘voor een willekeurig natuurlijk getal n’ voorkomen, is de methode van volledige wiskundige inductie.

Een bewijs volgens deze methode bestaat altijd uit drie stappen:

1) Basis van inductie. De geldigheid van de bewering wordt gecontroleerd voor n = 1.

In sommige gevallen is het nodig om er meerdere te controleren

initiële waarden.

2) Aanname van inductie. Er wordt aangenomen dat de verklaring voor iedereen waar is

3) Inductieve stap. De geldigheid van de verklaring is bewezen

Dus, beginnend met n = 1, verkrijgen we, gebaseerd op de bewezen inductieve transitie, de geldigheid van de bewezen verklaring voor

n =2, 3,…t. dat wil zeggen voor elke n.

Laten we een paar voorbeelden bekijken.

VOORBEELD 1: Bewijs dat voor elk natuurlijk getal n het getal is deelbaar door 7.

Bewijs: Laten we aanduiden .

Stap 1..gif" width="143" height="37 src="> wordt gedeeld door 7.

Stap 3..gif" width="600" height="88">

Het laatste getal is deelbaar door 7, omdat het het verschil is tussen twee gehele getallen die deelbaar zijn door 7.

VOORBEELD 2: Bewijs gelijkheid https://pandia.ru/text/78/342/images/image047_31.gif" width="240" height="36 src=">

https://pandia.ru/text/78/342/images/image049_34.gif" width="157" height="47"> wordt verkregen van n vervangen door k = 1.

III. Probleemoplossing

In de eerste les worden er uit de onderstaande taken (nr. 1-3) verschillende geselecteerd om naar goeddunken van de leraar op te lossen voor analyse op het bord. De tweede les behandelt nr. 4.5; onafhankelijk werk wordt uitgevoerd van nr. 1-3; Nr. 6 wordt als extra aangeboden, met een verplichte oplossing op het bord.

1) Bewijs dat a) deelbaar is door 83;

b) deelbaar door 13;

c) deelbaar door 20801.

2) Bewijs dat voor elke natuurlijke n:

A) deelbaar door 120;

B) deelbaar door 27;

V) deelbaar door 84;

G) deelbaar door 169;

D) deelbaar door 8;

e) deelbaar door 8;

g) deelbaar door 16;

H) deelbaar door 49;

En) deelbaar door 41;

Naar) deelbaar door 23;

ik) deelbaar door 13;

M) gedeeld door .

3) Bewijs dat:

G) ;

4) Leid de formule af voor de som https://pandia.ru/text/78/342/images/image073_23.gif" width="187" height="20">.

6) Bewijs dat de som van de termen van elke rij van de tabel

…………….

is gelijk aan het kwadraat van een oneven getal waarvan het rijnummer gelijk is aan het rijnummer vanaf het begin van de tabel.

Antwoorden en aanwijzingen.

1) Laten we het item gebruiken dat is geïntroduceerd in voorbeeld 4 van de vorige les.

A) . Daarom is het deelbaar door 83 .

b) Sinds , Dat ;

. Vandaar, .

c) Aangezien , is het noodzakelijk om te bewijzen dat dit getal deelbaar is door 11, 31 en 61..gif" width="120" height="32 src=">. Deelbaarheid door 11 en 31 wordt op dezelfde manier bewezen.

2) a) Laten we bewijzen dat deze uitdrukking deelbaar is door 3, 8, 5. Deelbaarheid door 3 volgt uit het feit dat , en van drie opeenvolgende natuurlijke getallen is er één deelbaar door 3..gif" width="72" height="20 src=">.gif" width="75" height="20 src=">. Om de deelbaarheid door 5 te controleren, volstaat het om de waarden n=0,1,2,3,4 te beschouwen.

Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een ​​specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.

U kunt op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken wanneer u contact met ons opneemt.

Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:

• Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen we verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer, e-mailadres, enz.

Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:

• Met de persoonlijke informatie die we verzamelen, kunnen we contact met u opnemen over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
• Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
• We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
• Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking van informatie aan derden

Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.

Uitzonderingen:

• Indien nodig - in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, in gerechtelijke procedures en/of op basis van publieke verzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - om uw persoonlijke gegevens openbaar te maken. We kunnen ook informatie over u openbaar maken als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
• In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen – inclusief administratieve, technische en fysieke – om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.