Die al behoorlijk saai zijn. En ik heb het gevoel dat het moment is aangebroken waarop het tijd is om nieuwe ingeblikte goederen uit de strategische reserves van de theorie te halen. Is het mogelijk om de functie op een andere manier uit te breiden naar een reeks? Wilt u bijvoorbeeld een recht lijnsegment uitdrukken in termen van sinussen en cosinussen? Het lijkt ongelooflijk, maar zulke schijnbaar verre functies kunnen dat ook zijn
"hereniging". Naast de bekende graden in theorie en praktijk zijn er andere benaderingen om een ​​functie uit te breiden tot een reeks.

In deze les zullen we kennis maken met de trigonometrische Fourierreeks, ingaan op de kwestie van de convergentie en de som ervan, en natuurlijk zullen we talloze voorbeelden analyseren van de uitbreiding van functies in de Fourierreeks. Ik wilde het artikel oprecht ‘Fourier Series for Dummies’ noemen, maar dat zou onoprecht zijn, aangezien het oplossen van de problemen kennis van andere takken van de wiskundige analyse en enige praktische ervaring zou vereisen. Daarom zal de preambule lijken op astronautentraining =)

Ten eerste moet u de studie van paginamateriaal in uitstekende vorm benaderen. Slaperig, uitgerust en nuchter. Zonder sterke emoties over een gebroken hamsterpoot en obsessieve gedachten over de ontberingen van het leven voor aquariumvissen. De Fourier-serie is niet moeilijk te begrijpen, maar praktische taken vereisen eenvoudigweg een verhoogde concentratie van aandacht - idealiter zou je je volledig moeten losmaken van externe prikkels. De situatie wordt verergerd door het feit dat er geen gemakkelijke manier is om de oplossing en het antwoord te controleren. Dus als uw gezondheid onder het gemiddelde ligt, is het beter om iets eenvoudigers te doen. Is het waar.

Ten tweede is het, voordat je de ruimte in vliegt, noodzakelijk om het instrumentenpaneel van het ruimtevaartuig te bestuderen. Laten we beginnen met de waarden van de functies waarop op de machine moet worden geklikt:

Voor elke natuurwaarde:

1) . De sinusoïde “steekt” inderdaad de x-as door elke “pi”:
. In het geval van negatieve waarden van het argument zal het resultaat uiteraard hetzelfde zijn: .

2) . Maar niet iedereen wist dit. De cosinus "pi" is het equivalent van een "knipperlicht":

Een negatief argument verandert niets aan de zaak: .

Misschien is dat genoeg.

En ten derde, beste kosmonautenkorps, je moet in staat zijn om... integreren.
Vooral vol vertrouwen plaats de functie onder het differentiaalteken, stukje bij beetje integreren en vrede mee hebben Newton-Leibniz-formule. Laten we beginnen met de belangrijke oefeningen vóór de vlucht. Ik raad categorisch niet aan om het over te slaan, om later niet in gewichtloosheid te verpletteren:

voorbeeld 1

Bereken bepaalde integralen

waar zijn natuurlijke waarden nodig.

Oplossing: integratie wordt uitgevoerd over de variabele “x” en in dit stadium wordt de discrete variabele “en” als een constante beschouwd. In alle integralen plaats de functie onder het differentieelteken:

Een korte versie van de oplossing waarop u zich kunt richten, ziet er als volgt uit:

Laten we eraan wennen:

De vier overige punten zijn voor eigen rekening. Probeer de taak gewetensvol te benaderen en schrijf de integralen in een korte vorm. Voorbeeldoplossingen aan het einde van de les.

Na het uitvoeren van de oefeningen KWALITEIT trekken we ruimtepakken aan
en klaar om te beginnen!

Uitbreiding van een functie naar een Fourierreeks op het interval

Overweeg een functie die bepaald in ieder geval voor een bepaalde periode (en eventueel voor een langere periode). Als deze functie integreerbaar is op het interval, kan deze worden uitgebreid tot trigonometrisch Fourier-serie:
, waar zijn de zogenaamde Fourier-coëfficiënten.

In dit geval wordt het nummer gebeld periode van ontbinding, en het nummer is halfwaardetijd van de ontbinding.

Het is duidelijk dat de Fourierreeks in het algemene geval uit sinussen en cosinussen bestaat:

Laten we het inderdaad in detail opschrijven:

De nulterm van de reeks wordt meestal geschreven in de vorm .

Fouriercoëfficiënten worden berekend met behulp van de volgende formules:

Ik begrijp heel goed dat degenen die het onderwerp beginnen te bestuderen nog steeds onduidelijk zijn over de nieuwe termen: ontbindingsperiode, halve cyclus, Fourier-coëfficiënten etc. Geen paniek, dit is niet te vergelijken met de opwinding voordat je de ruimte in gaat. Laten we alles in het volgende voorbeeld begrijpen, voordat we het uitvoeren. Het is logisch om dringende praktische vragen te stellen:

Wat moet je doen bij de volgende taken?

Breid de functie uit naar een Fourierreeks. Bovendien is het vaak nodig om een ​​grafiek van een functie weer te geven, een grafiek van de som van een reeks, een gedeeltelijke som, en in het geval van verfijnde professorale fantasieën iets anders te doen.

Hoe breid je een functie uit naar een Fourierreeks?

In wezen moet je vinden Fourier-coëfficiënten, dat wil zeggen: stel en bereken er drie bepaalde integraal.

Herschrijf de algemene vorm van de Fourierreeks en de drie werkformules in je notitieboekje. Ik ben erg blij dat sommige bezoekers van de site hun kinderdroom om astronaut te worden voor mijn ogen verwezenlijken =)

Voorbeeld 2

Breid de functie uit naar een Fourierreeks op het interval. Construeer een grafiek, een grafiek van de som van de reeks en de deelsom.

Oplossing: Het eerste deel van de taak is het uitbreiden van de functie naar een Fourierreeks.

Het begin is standaard, zorg ervoor dat u het volgende opschrijft:

In dit probleem is de expansieperiode een halve periode.

Laten we de functie uitbreiden naar een Fourierreeks op het interval:

Met behulp van de juiste formules vinden we Fourier-coëfficiënten. Nu moeten we er drie samenstellen en berekenen bepaalde integraal. Voor het gemak zal ik de punten nummeren:

1) De eerste integraal is de eenvoudigste, maar er zijn ook oogbollen voor nodig:

2) Gebruik de tweede formule:

Deze integraal is bekend en hij neemt het stukje voor stukje:

Gebruikt bij vondst methode om een ​​functie onder het differentiaalteken te plaatsen.

In de betreffende taak is het handiger om onmiddellijk te gebruiken formule voor integratie door delen in een bepaalde integraal :

Een paar technische opmerkingen. Ten eerste na het toepassen van de formule de gehele uitdrukking moet tussen grote haakjes staan, omdat er een constante vóór de oorspronkelijke integraal staat. Laten we haar niet verliezen! De haakjes kunnen bij elke volgende stap worden uitgebreid; ik deed dit als laatste redmiddel. In het eerste "stuk" We betrachten uiterste zorg bij de vervanging; u kunt zien dat de constante niet wordt gebruikt en dat de grenzen van de integratie in het product worden vervangen. Deze actie wordt tussen vierkante haakjes gemarkeerd. Welnu, je bent bekend met de integraal van het tweede “stuk” van de formule uit de trainingstaak;-)

En het allerbelangrijkste: maximale concentratie!

3) We zijn op zoek naar de derde Fourier-coëfficiënt:

Er wordt een relatief van de vorige integraal verkregen, die ook is integreert stukje bij beetje:

Deze instantie is iets ingewikkelder, ik zal stap voor stap commentaar geven op de verdere stappen:

(1) De uitdrukking staat volledig tussen grote haakjes. Ik wilde niet saai lijken, ze verliezen de constante te vaak.

(2) In dit geval heb ik onmiddellijk deze grote haakjes geopend. Speciale aandacht We wijden ons aan het eerste “stuk”: de constante rook aan de zijlijn en neemt niet deel aan de vervanging van de grenzen van integratie ( en ) in het product . Vanwege de rommelige opname is het wederom raadzaam om deze actie met vierkante haken te markeren. Met het tweede "stuk" alles is eenvoudiger: hier verscheen de breuk na het openen van de grote haakjes, en de constante - als resultaat van de integratie van de bekende integraal;-)

(3) We voeren transformaties uit tussen vierkante haken, en in de juiste integraal vervangen we de grenzen van integratie.

(4) We verwijderen het “knipperlicht” van de vierkante haakjes: , en openen vervolgens de binnenste haakjes: .

(5) We schrappen 1 en –1 tussen haakjes en maken een laatste vereenvoudiging.

Ten slotte worden alle drie de Fourier-coëfficiënten gevonden:

Laten we ze vervangen door de formule :

Vergeet tegelijkertijd niet in tweeën te delen. Bij de laatste stap wordt de constante (“min twee”), die niet afhankelijk is van “en”, buiten de som genomen.

We hebben dus de uitbreiding van de functie naar een Fourierreeks op het interval verkregen:

Laten we de kwestie van de convergentie van de Fourierreeks bestuderen. Ik zal vooral de theorie uitleggen De stelling van Dirichlet, letterlijk "op de vingers", dus als u strikte formuleringen nodig heeft, raadpleeg dan het leerboek over wiskundige analyse (bijvoorbeeld het 2e deel van Bohan; of het 3e deel van Fichtenholtz, maar het is moeilijker).

Het tweede deel van het probleem vereist het tekenen van een grafiek, een grafiek van de som van een reeks en een grafiek van een gedeeltelijke som.

De grafiek van de functie is de gebruikelijke rechte lijn in een vlak, die is getekend met een zwarte stippellijn:

Laten we de som van de reeks berekenen. Zoals je weet convergeren functiereeksen naar functies. In ons geval de geconstrueerde Fourierreeks voor elke waarde van "x" zal convergeren naar de functie, die in rood wordt weergegeven. Deze functie tolereert breuken van de 1e soort op punten, maar wordt daar ook gedefinieerd (rode stippen in de tekening)

Dus: . Het is gemakkelijk te zien dat het merkbaar verschilt van de oorspronkelijke functie, daarom staat het in de inzending Er wordt een tilde gebruikt in plaats van een gelijkteken.

Laten we een algoritme bestuderen dat handig is voor het construeren van de som van een reeks.

Op het centrale interval convergeert de Fourierreeks naar de functie zelf (het centrale rode segment valt samen met de zwarte stippellijn van de lineaire functie).

Laten we het nu eens hebben over de aard van de trigonometrische expansie die we beschouwen. Fourier-serie alleen periodieke functies (constante, sinussen en cosinussen) zijn meegenomen, dus de som van de reeksen is ook een periodieke functie.

Wat betekent dit in ons specifieke voorbeeld? En dit betekent dat de som van de reeks –noodzakelijkerwijs periodiek en het rode segment van het interval moet links en rechts eindeloos worden herhaald.

Ik denk dat de betekenis van de uitdrukking ‘periode van ontbinding’ nu eindelijk duidelijk is geworden. Simpel gezegd: elke keer herhaalt de situatie zich keer op keer.

In de praktijk is het meestal voldoende om drie perioden van ontbinding weer te geven, zoals op de tekening gebeurt. Nou ja, en ook "stronken" van aangrenzende perioden - zodat het duidelijk is dat de grafiek doorgaat.

Van bijzonder belang zijn discontinuïteitpunten van de 1e soort. Op zulke punten convergeert de Fourierreeks naar geïsoleerde waarden, die zich precies in het midden van de “sprong” van de discontinuïteit bevinden (rode stippen in de tekening). Hoe kan ik de ordinaat van deze punten achterhalen? Laten we eerst de ordinaat van de “bovenverdieping” vinden: om dit te doen, berekenen we de waarde van de functie op het meest rechtse punt van de centrale periode van de uitbreiding: . Om de ordinaat van de ‘benedenverdieping’ te berekenen, is de eenvoudigste manier om de meest linkse waarde van dezelfde periode te nemen: . De ordinaat van de gemiddelde waarde is het rekenkundig gemiddelde van de som van “boven en onder”: . Een prettig feit is dat je bij het maken van een tekening meteen ziet of het midden goed of fout is berekend.

Laten we een gedeeltelijke som van de reeks construeren en tegelijkertijd de betekenis van de term ‘convergentie’ herhalen. Het motief is ook bekend uit de les over som van een getallenreeks. Laten we onze rijkdom in detail beschrijven:

Om een ​​gedeeltelijke som samen te stellen, moet je nul + nog twee termen van de reeks schrijven. Dat is,

In de tekening wordt de grafiek van de functie in het groen weergegeven en, zoals u kunt zien, "omhult" deze de volledige som behoorlijk strak. Als we een gedeeltelijke som van vijf termen van de reeks beschouwen, zal de grafiek van deze functie de rode lijnen nog nauwkeuriger benaderen, als er honderd termen zijn, dan zal de "groene slang" feitelijk volledig samenvloeien met de rode segmenten; enz. De Fourierreeks convergeert dus naar zijn som.

Het is interessant om op te merken dat elk gedeeltelijk bedrag dat wel is continue functie De totale som van de reeks is echter nog steeds discontinu.

In de praktijk is het niet zo zeldzaam om een ​​gedeeltelijke somgrafiek te construeren. Hoe je dat doet? In ons geval is het noodzakelijk om de functie op het segment te beschouwen, de waarden ervan aan de uiteinden van het segment en op tussenliggende punten te berekenen (hoe meer punten u in overweging neemt, hoe nauwkeuriger de grafiek zal zijn). Vervolgens moet u deze punten op de tekening markeren en zorgvuldig een grafiek over de periode tekenen, en deze vervolgens "repliceren" in aangrenzende intervallen. Hoe anders? Benadering is tenslotte ook een periodieke functie... ...in sommige opzichten doet de grafiek me denken aan een soepel hartritme op het display van een medisch apparaat.

Het uitvoeren van de constructie is uiteraard niet erg handig, aangezien je uiterst voorzichtig moet zijn en een nauwkeurigheid van maar liefst een halve millimeter moet behouden. Ik zal echter lezers behagen die zich niet op hun gemak voelen met tekenen - bij een "echt" probleem is het niet altijd nodig om een ​​tekening uit te voeren; in ongeveer 50% van de gevallen is het nodig om de functie uit te breiden naar een Fourier-reeks en dat is alles .

Na het voltooien van de tekening voltooien we de taak:

Antwoord:

Bij veel taken lijdt de functie eronder breuk van de 1e soort recht tijdens de ontbindingsperiode:

Voorbeeld 3

Breid de functie die op het interval wordt gegeven uit naar een Fourierreeks. Teken een grafiek van de functie en de totale som van de reeks.

De voorgestelde functie wordt stuksgewijs gespecificeerd (en let op, alleen op het segment) en verdraagt breuk van de 1e soort op punt. Is het mogelijk om Fourier-coëfficiënten te berekenen? Geen probleem. Zowel de linker- als de rechterkant van de functie zijn integreerbaar op hun intervallen, daarom moeten de integralen in elk van de drie formules worden weergegeven als de som van twee integralen. Laten we bijvoorbeeld eens kijken hoe dit wordt gedaan voor een nulcoëfficiënt:

De tweede integraal bleek gelijk aan nul, wat het werk verminderde, maar dit is niet altijd het geval.

De andere twee Fourier-coëfficiënten worden op soortgelijke wijze beschreven.

Hoe kan ik de som van een reeks weergeven? Op het linkerinterval tekenen we een recht lijnsegment en op het interval een recht lijnsegment (we markeren het gedeelte van de as vet en vet). Dat wil zeggen dat op het expansie-interval de som van de reeks overal samenvalt met de functie, behalve op drie 'slechte' punten. Op het discontinuïteitpunt van de functie zal de Fourierreeks convergeren naar een geïsoleerde waarde, die precies in het midden van de "sprong" van de discontinuïteit ligt. Het is niet moeilijk om het mondeling te zien: linkerzijdige limiet: , rechterzijdige limiet: en uiteraard is de ordinaat van het middelpunt 0,5.

Vanwege de periodiciteit van de som moet het beeld worden “vermenigvuldigd” in aangrenzende perioden, in het bijzonder moet hetzelfde worden afgebeeld op de intervallen en . Tegelijkertijd zal de Fourierreeks op punten convergeren naar de mediaanwaarden.

Eigenlijk is hier niets nieuws.

Probeer deze taak zelf aan te pakken. Een voorbeeld van het uiteindelijke ontwerp en een tekening aan het einde van de les.

Uitbreiding van een functie naar een Fourierreeks over een willekeurige periode

Voor een willekeurige expansieperiode, waarbij “el” een willekeurig positief getal is, onderscheiden de formules voor de Fourierreeks en Fourier-coëfficiënten zich door een iets ingewikkelder argument voor sinus en cosinus:

Als , dan krijgen we de intervalformules waarmee we zijn begonnen.

Het algoritme en de principes voor het oplossen van het probleem blijven volledig behouden, maar de technische complexiteit van de berekeningen neemt toe:

Voorbeeld 4

Vouw de functie uit naar een Fourierreeks en teken de som.

Oplossing: eigenlijk een analoog van voorbeeld nr. 3 met breuk van de 1e soort op punt. In dit probleem is de expansieperiode een halve periode. De functie wordt alleen op het halve interval gedefinieerd, maar dit verandert niets aan de zaak - het is belangrijk dat beide delen van de functie integreerbaar zijn.

Laten we de functie uitbreiden naar een Fourierreeks:

Omdat de functie bij de oorsprong discontinu is, moet elke Fourier-coëfficiënt uiteraard worden geschreven als de som van twee integralen:

1) Ik zal de eerste integraal zo gedetailleerd mogelijk uitschrijven:

2) We kijken zorgvuldig naar het oppervlak van de maan:

Tweede integraal neem het stuk voor stuk:

Waar moeten we goed op letten nadat we de voortzetting van de oplossing met een asterisk hebben geopend?

Ten eerste verliezen we de eerste integraal niet , waar we onmiddellijk uitvoeren abonneren op het differentieel teken. Ten tweede: vergeet de noodlottige constante vóór de grote haakjes en niet laat u niet in de war brengen door de tekens bij gebruik van formule . Grote beugels zijn nog handiger om meteen in de volgende stap te openen.

De rest is een kwestie van techniek; problemen kunnen alleen worden veroorzaakt door onvoldoende ervaring met het oplossen van integralen.

Ja, het was niet voor niets dat de eminente collega's van de Franse wiskundige Fourier verontwaardigd waren: hoe durfde hij functies in trigonometrische reeksen te rangschikken?! =) Trouwens, iedereen is waarschijnlijk geïnteresseerd in de praktische betekenis van de taak in kwestie. Fourier werkte zelf aan een wiskundig model van thermische geleidbaarheid, en vervolgens werd de naar hem genoemde serie gebruikt om vele periodieke processen te bestuderen, die zichtbaar en onzichtbaar zijn in de omringende wereld. Nu betrapte ik mezelf er trouwens op dat ik dacht dat het geen toeval was dat ik de grafiek van het tweede voorbeeld vergeleek met het periodieke ritme van het hart. Geïnteresseerden kunnen zich vertrouwd maken met de praktische toepassing Fourier-transformatie in bronnen van derden. ...Hoewel het beter is om het niet te doen - het zal herinnerd worden als Eerste Liefde =)

3) Laten we, rekening houdend met de herhaaldelijk genoemde zwakke schakels, eens kijken naar de derde coëfficiënt:

Laten we gedeeltelijk integreren:

Laten we de gevonden Fourier-coëfficiënten in de formule vervangen , en niet te vergeten de nulcoëfficiënt doormidden te delen:

Laten we de som van de reeks plotten. Laten we de procedure kort herhalen: we construeren een rechte lijn op een interval, en een rechte lijn op een interval. Als de “x”-waarde nul is, plaatsen we een punt in het midden van de “sprong” van de opening en “repliceren” we de grafiek voor aangrenzende perioden:


Op de ‘kruispunten’ van perioden zal de som ook gelijk zijn aan de middelpunten van de ‘sprong’ van de kloof.

Klaar. Laat me u eraan herinneren dat de functie zelf door een voorwaarde slechts op een half interval is gedefinieerd en uiteraard samenvalt met de som van de reeksen op de intervallen

Antwoord:

Soms is een stuksgewijs gegeven functie continu gedurende de expansieperiode. Het eenvoudigste voorbeeld: . Oplossing (zie Bohan deel 2) hetzelfde als in de twee voorgaande voorbeelden: ondanks continuïteit van de functie op punt wordt elke Fourier-coëfficiënt uitgedrukt als de som van twee integralen.

Over het ontbindingsinterval discontinuïteitpunten van de 1e soort en/of er kunnen meer “verbindingspunten” in de grafiek zijn (twee, drie en in het algemeen alle). laatste hoeveelheid). Als een functie op elk onderdeel integreerbaar is, dan is deze ook uitbreidbaar in een Fourierreeks. Maar uit praktijkervaring kan ik me zoiets wreeds niet herinneren. Er zijn echter moeilijkere taken dan de taken die zojuist zijn overwogen, en aan het einde van het artikel staan ​​links naar Fourier-reeksen met een grotere complexiteit voor iedereen.

Laten we ondertussen ontspannen, achterover leunen in onze stoelen en de eindeloze uitgestrektheid van de sterren aanschouwen:

Voorbeeld 5

Breid de functie uit naar een Fourierreeks op het interval en teken de som van de reeksen.

In dit probleem is de functie continu op het expansie-halfinterval, wat de oplossing vereenvoudigt. Alles lijkt erg op voorbeeld nr. 2. Er is geen ontsnapping mogelijk uit het ruimteschip - je zult moeten beslissen =) Een ontwerpvoorbeeld bij benadering aan het einde van de les, een schema is bijgevoegd.

Fourierreeksuitbreiding van even en oneven functies

Met even en oneven functies wordt het proces van het oplossen van het probleem merkbaar vereenvoudigd. En dat is waarom. Laten we terugkeren naar de uitbreiding van een functie in een Fourierreeks met een periode van “twee pi” en willekeurige periode “twee el” .

Laten we aannemen dat onze functie even is. De algemene term van de reeks bevat, zoals u kunt zien, even cosinussen en oneven sinussen. En als we een EVEN-functie uitbreiden, waarom hebben we dan oneven sinussen nodig?! Laten we de onnodige coëfficiënt opnieuw instellen: .

Dus, een even functie kan in een Fourierreeks alleen in cosinussen worden uitgebreid:

Omdat de integralen van even functies langs een integratiesegment dat symmetrisch is ten opzichte van nul kan worden verdubbeld, waarna de resterende Fourier-coëfficiënten worden vereenvoudigd.

Voor de kloof:

Voor een willekeurig interval:

Voorbeelden uit leerboeken die in vrijwel elk leerboek over wiskundige analyse te vinden zijn, zijn onder meer uitbreidingen van even functies . Bovendien zijn ze in mijn persoonlijke praktijk meerdere keren tegengekomen:

Voorbeeld 6

De functie is gegeven. Vereist:

1) breid de functie uit naar een Fourierreeks met punt , waarbij een willekeurig positief getal is;

2) noteer de uitbreiding op het interval, construeer een functie en grafiek de totale som van de reeks.

Oplossing: in de eerste paragraaf wordt voorgesteld om het probleem in algemene vorm op te lossen, en dit is erg handig! Als de noodzaak zich voordoet, vervangt u gewoon uw waarde.

1) In dit probleem is de expansieperiode een halve periode. Tijdens verdere acties, vooral tijdens de integratie, wordt “el” als een constante beschouwd

De functie is even, wat betekent dat deze alleen in cosinus kan worden uitgebreid tot een Fourierreeks: .

We zoeken naar Fourier-coëfficiënten met behulp van de formules . Besteed aandacht aan hun onvoorwaardelijke voordelen. Ten eerste wordt de integratie uitgevoerd over het positieve segment van de uitbreiding, waardoor we veilig van de module afkomen , waarbij alleen de “X” van de twee stukken wordt bekeken. En ten tweede wordt de integratie merkbaar vereenvoudigd.

Twee:

Laten we gedeeltelijk integreren:

Dus:
, terwijl de constante , die niet afhankelijk is van “en”, buiten de som wordt genomen.

Antwoord:

2) Laten we de uitbreiding op het interval noteren; we vervangen de vereiste halve-periodewaarde in de algemene formule:

Invoering

Een speciaal geval van functionele reeksen zijn trigonometrische reeksen. De studie van trigonometrische reeksen leidde tot het bekende probleem van een klinkende snaar, waaraan wiskundigen als Euler, d'Alembert, Fourier en anderen werkten.

Momenteel spelen trigonometrische reeksen, samen met machtreeksen, een belangrijke rol in wetenschap en technologie.

1. Trigonometrisch systeem van functies. Fourier-serie.

Definitie. Volgorde van functies

1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, … , cosnx, sinnx, …

heet het trigonometrische systeem van functies.

Voor het trigonometrische systeem van functies gelden de volgende gelijkheden:

π ∫ cos nxdx=	π ∫ sinnxdx=	π ∫ cosnx sinmxdx = 0, (n ≥ 1),
−π	−π	−π
π ∫ cosnx cosmxdx = π ∫ sinnx sinmxdx = 0, (n ≠ m),
−π	−π
π ∫ cos2 nxdx = π ∫ sin2 nxdx = π , (n ≥ 1).
−π	−π

Deze gelijkheden kunnen eenvoudig worden bewezen met behulp van bekende trigonometrieformules:

	cos nx sinmx =						(zonde(n + m)x − zonde(n − m)x),
	cos nx cosmx =						(cos(n + m)x + cos(n − m)x),
	sinnx sinmx =					(cos(n − m)x − cos(n + m)x).

	Totaliteit					gelijkheden				genaamd	orthogonaliteit
	trigonometrisch systeem.
	Laat f(x) een functie zijn die integreerbaar is op het interval [-π ,π ] en
	een n=			∫ f (x) cosnxdx ,b n =				∫ f (x) sinnxdx, (n = 0,1,2,...).
			−π					−π
	Definitie.					Functioneel bereik
					+ ∑ (een n cosnx + b n sinx),
					n= 1

waarin de coëfficiënten a n , b n worden gedefinieerd door formules (2), wordt genoemd

trigonometrische Fourierreeks van de functie f(x) , en de coëfficiënten zelf –

Fourier-coëfficiënten.

Het feit dat reeks (3) een trigonometrische Fourierreeks is van de functie f(x) wordt als volgt geschreven:

	f(x)		+ ∑ (een n cosnx + b n sinx)
			n= 1

Elke term in reeks (4) wordt aangeroepen harmonische trilling. Bij een aantal toegepaste problemen is het nodig om een ​​periodieke functie weer te geven in de vorm van een reeks (4), dat wil zeggen in de vorm van een som van harmonische oscillaties.

2. Fourierreeksuitbreiding van periodieke functies met periode 2π.

Definitie. Ze zeggen dat de functie f(x) stuksgewijs continu op het segment

Als f(x) continu is op een interval, behalve misschien voor een eindig aantal punten, waarbij de functie f(x) op elk punt limieten heeft aan de rechter en linkerkant.

Laten we een stelling formuleren die voldoende voorwaarden biedt voor de convergentie van een trigonometrische reeks.

De stelling van Dirichlet. Laat een periodieke functie f(x) van periode 2π aan de voorwaarden voldoen:

1) f (x) en f ′ (x) zijn stuksgewijs continu op het interval [-π ,π ];

2) als x=c het discontinuïteitpunt is van de functie f(x), dan

f (c)= 1 2 (f (c − 0)+ f (c + 0)).

Dan convergeert de trigonometrische Fourierreeks van de functie f(x) naar f(x), dat wil zeggen dat de gelijkheid geldt

	f(x)=		+ ∑ (een n cosnx + b n sinnx),
			n= 1

waarbij de coëfficiënten a n, b n worden bepaald door formules (2).

Bewijs. Laat gelijkheid (4) gelden en laat reeksen (4) integratie per term toelaten. Laten we de coëfficiënten in gelijkheid (4) vinden. Om dit te doen, vermenigvuldigt u beide zijden van gelijkheid (4) met cosnx en integreert u dit in het bereik van -π tot π ; vanwege de orthogonaliteit van het trigonometrische systeem verkrijgen we een n. Op dezelfde manier verkrijgen we door vermenigvuldigen met sinnx en integreren b n.

3.Fourierreeks van even en oneven functies.

Gevolg 1 (Fourierreeks voor een gelijkmatige functie). Laat de even functie f(x)

voldoet aan de voorwaarden van de stelling van Dirichlet.

		f(x)=					+ ∑ een n cosnx ,
							n= 1
					π ∫ cosnxdx , (n = 0,1,2,3,...).

Gevolg 2 (Fourierreeks voor een oneven functie). Laat de oneven functie f(x) voldoen aan de voorwaarden van de stelling van Dirichlet.

Vervolgens vindt de volgende uitbreiding van de Fourierreeks plaats:

	f (X)= ∑ b n sinnx ,
					n= 1
					π ∫ f(x) zonde nxdx.

Om Gevolgen 1 en 2 te bewijzen, gebruiken we het volgende lemma, dat geometrisch voor de hand ligt (de integraal is een gebied).

Lemma. Laten we op het interval [-a,a] twee integreerbare functies geven: een even functie g(x) en een oneven functie h(x).

Dan zijn de gelijkheden waar

∫ een g(x) dx= 2 ∫ een g(x) dx,		∫ een h(x) dx= 0.
−een		−een

Voorbeeld 1. Vouw de functie f(x)=x, (x [-π ,π ] uit naar een Fourierreeks.

Omdat de functie oneven is, zullen we volgens de formules (8) en (7) het volgende hebben:

2π

n+12

b n=

∫0

x zonde nxdx= −

∫0

xd cosnx=−

cosπ n = (− 1)

(− 1)

n+ 1

x = 2∑

zonde nx ,x ]− π ,π [.

n= 1

Op punten x=±π is de som van deze reeks nul.

Door x = π 2 in serie (9) in te stellen, verkrijgen we een voorwaardelijk convergente reeks

(− 1)

n+ 1

= ∑

1 −

+ ...

2n+1

n= 0

Opdrachten

1. Vouw de periodieke functie f (x) met periode 2π uit tot een Fourierreeks

0 ≤ x ≤ π,

f(x)=

−π ≤x<0.

2. Vouw de functie f (x) met periode 2π uit tot een Fourierreeks

−π ≤x ≤0,

0 < x < π ,

f(x) = x

x = π.

f(x)=

−π ≤x<π ,

f(x)=

x = π.

f(x)=x.

			−π ≤x<0,
f(x)=			0 ≤ x ≤ π .
−1

7. Vouw de functie op het interval [0,π] uit naar een trigonometrische Fourierreeks in cosinus

	0 ≤x ≤
f(x)=

< x ≤ π .

8. Verspreid over een segment

			0 ≤x ≤
f(x)=
				< x ≤π .
π−x

f(x)=2x.

f(x) = bijv.

Testvragen over het onderwerp van de les:

1. Denk aan de definitie van een Fourierreeks.

2. Definieer de convergentie van een functionele Fourier-reeks.

Conclusie.

Invoering.

De Fourierreeks vormt een belangrijk onderdeel van de theorie van trigonometrische reeksen. De Fourier-serie verscheen voor het eerst in de werken van J. Fourier (1807), gewijd aan de studie van warmtegeleidingsproblemen. Vervolgens raakten de Fourierreeksen wijdverspreid in zowel de theoretische als de toegepaste wiskunde. Bij het bestuderen van het onderwerp "Vergelijkingen van de wiskundige natuurkunde" worden dus Fourier-reeksen gebruikt om oplossingen te vinden voor de warmtevergelijking, golfvergelijking met verschillende begin- en randvoorwaarden. De integrale Fourier-transformatie, die op een brede klasse van functies wordt toegepast, is ook wijdverbreid geworden.

Bij het scheiden van variabelen in veel problemen van de wiskundige natuurkunde, in het bijzonder in grenswaardeproblemen van de potentiële theorie voor een cilindrisch gebied, komen ze tot de oplossing van de zogenaamde Bessel-vergelijkingen.

F. Bessel was de eerste die de oplossing van dit soort vergelijkingen systematisch bestudeerde, maar zelfs eerder werden ze aangetroffen in de werken van D. Bernoulli, L. Euler, J. Lagrange.

1. Fourierreeksen van functies met elke periode 2L.

Functies van elke periode 2L kunnen worden uitgebreid tot een Fourierreeks. De volgende stelling geldt.

Stelling. Laat een periodieke functie f(x) van periode 2L voldoen aan de voorwaarden van de stelling van Dirichlet op het interval [-L,L].

Dan is er op het interval [-L,L] een uitbreiding van de Fourierreeks

πnx

πnx),

f(x)=

∑ (een n cos

n= 1

een n=

f(x)cos

π nx dx,

b n=

f(x)zonde

πnx dx

L − ∫ L

L − ∫ L

(n = 0,1,2,...)

Bewijs. Denk aan de functie

g(y)=f(

−π ≤y ≤π ,

waarop de stelling van Dirichlet van toepassing is. Daarom

g(j)=

+ ∑ (a n gezellig + b n zondig),

n= 1

π ∫f (

)omdat,

π∫

) zonde nydy.

−π

−π

gelijkheden (12)

vervanging x =

Laten we het vereiste halen

gelijkheden (10) en (11).

Opmerking. Als de functie f(x) even op het interval [-L,L] ligt, dan is dat zo

De Fourierreeks bevat alleen de vrije term a 2 0 en cosinussen, if

f(x) een oneven functie is, dan zal de Fourierreeks alleen sinussen bevatten. Voorbeeld 2. Breid de functie f(x) met periode 2 uit tot een Fourierreeks, welke

segment [-1,1] wordt gegeven door de formule f(x)=| x| .

Omdat de functie f(x)=| x|

Zelfs, dan b n = 0,

2 ∫ 1

xdx = 1,

0, n=2m,

an = 2 ∫ xcos π nxdx=

((− 1)

− 1)=

N = 2 m + 1.

Vandaar,

cosπ (2m + 1)x

X R.

(2m + 1)

m= 1

Bij x=0 geeft formule (14):

π 2

+…

2. Fourierreeksen van niet-periodieke functies.

Laat de niet-periodieke functie f(x) gedefinieerd worden op het interval [-L,L]. Om het uit te breiden tot een trigonometrische reeks, construeren we op dit segment

g(x)=f(x) bij -L
	niet-periodieke functie		f(x) vereist	voorstellen

Fourier op het interval ]0,L[. Om dit te doen construeren we een periodieke functie g(x) van periode 2L

f(x),0< x < L ,g (x ) = f 1((x ),− L < x < 0.

Omdat de functie f 1 (x) in talloze aantallen kan worden gekozen

manieren (zolang g(x) voldoet aan de voorwaarden van de stelling van Dirichlet), dan verkrijgen we een oneindige reeks Fourierreeksen

voor de functie g(x).

In het bijzonder kan de functie g(x) even of oneven worden gekozen.

Laat nu de niet-periodieke functie f(x) gedefinieerd worden op een bepaald interval ]a,b[. Om deze functie te presenteren

Fourierreeks, construeren we een willekeurige periodieke functie f 1 (x).

periode 2L≥ b-a, die samenvalt met het interval ]a,b[ met de functie f(x), en we breiden deze uit tot een Fourierreeks.

3. Complexe vorm van de Fourierreeks.

Laten we reeks (10) en zijn coëfficiënten (11) transformeren met behulp van de formules van Euler

(ω n = π Ln )

cosω n x =	e iω n x+ e − iω n x		sinω n x =	e iω n x − e − iω n x

Als resultaat krijgen we de serie

			f (x) = ∑ cn ei ω n x
				n = −∞
	met kansen
	c n=		∫L	f (x )e − ik ω n x dx ,n = 0,± 1,± 2,...,
			−L

Wat genoemd wordt als trigonometrische Fourierreeks in complexe vorm

functies f(x) van periode 2L.

De volgende terminologie wordt geaccepteerd, vooral in de elektrotechniek en radiotechniek. Uitdrukkingen e i ω n x worden harmonischen genoemd,

getallen ω n worden genoemd golf nummers functies f(x). Set van golf

nummers worden gebeld discreet spectrum. Coëfficiënten (16) worden genoemd complexe amplitude.

Spectraalanalyse houdt zich bezig met de studie van de eigenschappen van coëfficiënten (16). Voorbeeld 3. Vind de trigonometrische Fourierreeks in complexe vorm

functies f(x)=e ax , (a≠ 0), met L=π.

Formules (15) en (16) geven:

shaπ

n∑ =−∞

(− 1) e

een-in

Als we overgaan naar de gebruikelijke Fourierreeks, krijgen we:

shaπ

2 shaπ

(− 1)n (een cosnx − n sinnx )

n= 1

In het bijzonder zullen we voor x=0 het volgende hebben:

(− 1)

2 asja

n= 1

een+n

Opdrachten

	Breid de periodieke functie f (x) met periode 2π uit tot een Fourierreeks
			0 ≤ x ≤ π,
							x = π.
3. Breid de functie uit die in het interval [ − 1,1] door de vergelijking is gespecificeerd naar een Fourierreeks
4. Breid de functie uit naar een Fourierreeks			f(x)=
					−π ≤x<π ,
f(x)=
							x = π.

5. Breid de functie uit naar sinussen in het interval [0,1]

f(x)=x.

6. Zoek de Fourier-coëfficiënten van een functie f(x) trigonometrische reeks

			−π ≤x<0,
f(x)=			0 ≤ x ≤ π .
−1
7. Breid het interval [0,π] uit tot een trigonometrische Fourierreeks in cosinus
			0 ≤x ≤
f(x)=

< x ≤ π .

8. Verspreid over een segment[ 0,π ] in de trigonometrische Fourierreeks in cosinus0 bij 2

			0 ≤x ≤
f(x)=
				< x ≤π .
π−x

9. Breid de functie in het interval [0,1] uit naar een trigonometrische Fourierreeks

f(x)=2x.

10. Breid de functie uit in het interval [ − 1,1] naar een trigonometrische Fourierreeks

f(x) = bijv.

Conclusie.

De lezing onderzocht Fourierreeksen van periodieke functies op verschillende intervallen. De Fourier-transformatie wordt overwogen en er wordt een oplossing verkregen voor de Bessel-vergelijking, die ontstaat bij het scheiden van variabelen in veel problemen van de wiskundige natuurkunde.

Invoering.

De lezing bespreekt het grensgeval van de Fourierreeks, leidend tot de Fourierintegraal. Formules voor de Fourier-integraal zijn geschreven voor even en oneven functies. Er wordt opgemerkt welke rol de Fourier-integraal speelt in verschillende toepassingen. De Fourier-integraal wordt weergegeven in een complexe vorm, die vergelijkbaar is met de complexe weergave van de Fourier-reeks.

Formules voor de transformatie en inverse Fourier-transformatie, cosinus- en sinus-Fourier-transformaties zullen worden verkregen. Er wordt informatie gegeven over de toepassing van de Fourier-transformatie op problemen in de wiskundige natuurkunde en elektrotechniek.

1. Fourier-integraal als grensgeval van de Fourier-reeks

Laat de functie f(x) gedefinieerd worden op een oneindig interval

]-∞ ,∞ [ en is er absoluut integreerbaar op, dat wil zeggen dat er een convergente integraal is

∞ ∫ f(x)dx.

f(x)=

+ ∑ (een n cosω n X + b n sinω n X),

n= 1

een n=

∫ f (x) cosω n xdx ,b n =

∫ f(x)sin ω n xdx,

−L

−L

Door coëfficiënten (2) in reeksen (1) te vervangen, verkrijgen we:

f(x)=

∫f(t)dt+

∑ ((∫ f (t) cosω n tdt ) cosω n X + (∫ f (t) sinω n tdt ) sinω n X ))

−L

Ln=1

−L

−L

Laten we er zonder bewijs op wijzen dat L → formule (3) de vorm aanneemt

f(x)=

∫(∫

f (t) cosω tdt) cosω xd ω +

∫ (∫ f (t) sinω tdt ) sinω Xd ω .

0 −∞

De uitdrukking rechts in formule (4) wordt aangeroepen Fourier-integraal voor de functie f(x). Gelijkheid (4) geldt voor alle punten waar de functie continu is. Op discontinuïteitspunten moet f(x) aan de linkerkant van formule (4) worden vervangen door

TOEPASSING VAN DE FOURIER-SERIE VOOR HET VOORSPELLEN EN OPTIMALISEREN VAN HET AANBOD AAN EEN GROOTHANDELSONDERNEMING IN HET ASPECT VAN HET BEHEER VAN EIGEN EN GEHUURD TRANSPORT

Gorlach Boris Alekseevich 1, Shigaeva Natalya Valerievna 2
1 Samara State Aerospace University vernoemd naar Academicus S.P. Koroleva (Nationale Onderzoeksuniversiteit), doctor in de technische wetenschappen, professor
2 Samara State Aerospace University vernoemd naar Academicus S.P. Koningin (NIU)

annotatie
Het artikel onderzoekt het mechanisme voor het modelleren van een willekeurig proces (voor statistische gegevens over een onderneming) met behulp van het apparaat van harmonische analyse. Het probleem van de rationele verdeling van de grondstoffenaanvoervolumes tussen eigen en gehuurde transportmiddelen is opgelost om de kosten voor de opslag van producten te verlagen.

DE FOURIER-SERIE AANVRAAG VOOR VOORSPELLING EN OPTIMALISATIE VAN BEZORGKOSTEN

Gorlach Boris Alekseevich 1, Shigaeva Nathalie Valerievna 2
1 Samara State Aerospace University, doctor in de technische wetenschappen, professor
2 Samara Staatsluchtvaartuniversiteit

Abstract
Het mechanisme van simulatie van een willekeurig proces wordt in beschouwing genomen (voor de ondernemingsgegevens). Harmonische analyse wordt algemeen toegepast bij het modelleren van bedrijfskosten. Het probleem van de rationele verdeling van de grondstoffenleveringen tussen eigen vervoer en gehuurd vervoer is opgelost.

Bibliografische link naar het artikel:
Gorlach BA, Shigaeva N.V. Toepassing van de Fourier-reeks voor het voorspellen en optimaliseren van de leveringen van een groothandelsonderneming op het gebied van het beheer van het eigen en gehuurde transport // Economie en beheer van innovatieve technologieën. 2014. Nr. 7 [Elektronische hulpbron]..02.2019).

Invoering. De kosten die de onderneming maakt voor het opzetten van een goederenopslagsysteem creëren de behoefte aan een rationele distributie van voorraden. Het oplossen van het aanbodbeheerprobleem houdt verband met veranderingen in de behoeften van de onderneming aan grondstoffen. Om een ​​rationeel distributiemodel te ontwikkelen, werd verwerking van statistische bedrijfsgegevens over de vraag naar grondstoffen uitgevoerd.

Het artikel bestaat uit de volgende onderdelen: het bouwen van een model van een willekeurig proces, het optimaliseren van de leveringen aan de hand van het voorbeeld van een vereenvoudigd model en het gebruiken van echte gegevens als voorbeeld.

Deel een. Constructie van een wiskundig model van een willekeurig proces.

In de retrospectieve periode zijn de statistische gegevens over de opslag van hulpbronnen in een magazijn als volgt (tabel 1). Er wordt aangenomen dat een reeks statistische gegevens Yi =Y(ti) wordt gegeven in de vorm van een tijdreeks.

Tabel 1 – Statistische gegevens over de vraag naar hulpbronnen

In de regel worden wiskundige modellen van tijdreeksen van economische processen gepresenteerd als een set van 4 componenten: seizoens-S, cyclisch C, willekeurig ξ en trend U. Deze componenten vormen een additief model van statistische gegevens.

De component U - trend - wordt zo gekozen dat deze niet in tegenspraak is met de hoofdtrend van verandering in de onderzochte functie en de analyse ervan niet bemoeilijkt. In dit werk wordt trendselectie uitgevoerd met behulp van Excel-functies, maar ook handmatig met behulp van de “normale vergelijkingen” -methode.

Na het uitvoeren van de procedure voor het selecteren van de meest adequate trend, wordt de functie genormaliseerd, waardoor modellering van de oscillerende component mogelijk wordt. In deze studie wordt de oscillerende component geselecteerd met behulp van een model dat een trigonometrische Fourier-reeks vertegenwoordigt:

.

De coëfficiënten van de Fourierreeks worden als volgt gedefinieerd :

Na het uitvoeren van een zoekopdracht in 6 iteraties met behulp van Excel-tools, werd de volgende functie van de oscillerende component geïdentificeerd :

S(t) = -0,215sinπt/6 – 0,077cos πt/6 -0,085sin πt/3-0,013cos πt/3+0,001 sin πt/2+0,023cosπt/2-0,035 sin2πt/3+0,055cos 2πt/3 +0,003 zonde 5πt/6+0,054cos 5πt/6+0,056cos πt

De dynamiek van het aanbod en de opslag van de hulpbron in het magazijn, evenals de functionele afhankelijkheid van het volume van de hulpbron na normalisatie, worden weergegeven in figuur 1.

Figuur 1 – Oscillerende component voor echte gegevens

Laten we de determinatiecoëfficiënt voor de resulterende functie berekenen.

De determinatiecoëfficiënt voor de resulterende functie is 0,75. Bijgevolg beschrijft de trend de statistische gegevens met 75 procent, en de waarschijnlijkheid dat de resulterende functie niet overeenkomt met de echte statistische waarden is 0,25.

Deel twee. Optimalisatie van het leveringsproces

Bij het opstellen van het aandeel van de grondstoffenvoorraden moet rekening worden gehouden met verschillende factoren die de economische efficiëntie van de voorziening beïnvloeden:

Tijdigheid en frequentie van leveringen


Bezorgkosten


Aanvaardbare houdbaarheid van grondstoffen


Het verstrekken van opslagfaciliteiten aan de onderneming


Andere factoren.

Laten we het aanbodoptimalisatieproces bekijken aan de hand van een vereenvoudigd diagram. Laten we één harmonische in de genormaliseerde trend uitkiezen (één term van de harmonische reeks) en ons beperken tot het beschouwen van één periode. Het resultaat is de volgende vereenvoudigde aanbodfunctie:

In dit werk zullen we drie leveringsopties overwegen.

1. Bevoorrading gebeurt uitsluitend met eigen vervoer op niveau y=1, wat overeenkomt met de waarde s(t)=0.

Het proces van accumulatie van hulpbronnen in de eerste helft van het jaar en consumptie in de tweede helft van het jaar wordt bepaald door de formule van de integraal van de functie in het beschouwde gebied.

De verzamelde middelen worden in de volgende helft van het jaar volledig besteed. Het probleem is dat het opslagvolume in het magazijn in de loop van de tijd te veel varieert en moet worden geoptimaliseerd.

2. Eigen vervoer zorgt voor een aanbod dat overeenkomt met de minimale intensiteit van het hulpbronnenverbruik. Deze optie is geschikt voor een bedrijf als het bedrijf minder kapitaal heeft en om andere redenen het transport niet meer kan betalen dan het minimale niveau van de benodigde middelen, het ziet er zo uit. De onderneming ontvangt minder middelen voor een bedrag dat gelijk is aan de oppervlakte van de integraal tussen s(t) en de rechte lijn die het minimale voorzieningenniveau kenmerkt.

Stel dat het bedrijf besluit transport te huren op het niveau van de maximale benodigde middelen in de eerste helft van het jaar, dan worden de besparingen volledig besteed in de tweede helft van het jaar.

3. Eigen vervoer zorgt voor bevoorrading op niveau -H. Het gebrek aan middelen wordt gecompenseerd door het huren van vervoer.

Berekening van het aanbodniveau H van de voorwaarde van gelijkheid van accumulatie- en consumptiegebieden:

Met de verkregen waarde H Het gebrek aan middelen zonder huur ziet er als volgt uit:

Door de verkregen resultaten samen te vatten, is een algemene accumulatie/consumptiegrafiek samengesteld, die laat zien hoe het optimale plan verschilt wat betreft de minimale hoeveelheid magazijnmiddelen (Figuur 2).

Figuur 2 – Minimalisatie van magazijnmiddelen

Op basis van het schema maakt het gebruik van gehuurd transport bij het optimaliseren van de opslag in een magazijn het mogelijk om het specifieke opslagvolume in een magazijn tot 10 keer te verminderen, aangezien de amplitude van de accumulatiefunctiewaarden is afgenomen van 10 eenheden naar 1.

Deel 3. Aanbodoptimalisatie met echte data als voorbeeld

Aanbodoptimalisatie begint met het identificeren van de periode van de oscillerende component (in ons voorbeeld t i ϵ 11..23) en het zoeken naar de snijpunten van de functie s(t) met de Ox-as.

Een illustratie van de dynamiek van de ontvangst en het verbruik van hulpbronnen in een onderneming waar geen transportlease wordt aangeboden, wordt weergegeven in Figuur 3.

Figuur 3 – Accumulatie/kosten voor echte gegevens zonder huur

De functie van de oscillerende component is als volgt:

S(t) = -0,215 sin πt/6-0,077cos πt/6 -0,085 sin πt/3-0,013cos πt/3+0,001 sin πt/2+0,023cos πt/2-0,035 sin 2πt/3+0,055cos 2πt/3+0,003 zonde 5πt/6+0,054cos 5πt/6+0,056cos πt

Accumulatiefunctie:

Q = ∫S = (1/π)(0,215 *6* cos (πt/6)-0,077*6*sin (πt/6) +0,085*3*cos πt/3 – 0,013*3*sin πt/3 – 0,0013*2*cos πt/2+(0,023*2*sin πt/2+0,0349*6/4 cos 2πt/3+(0,0552*6/4)sin 2πt/3 – (0,0032*6/5) cos 5πt/6 + (0,0538*6/5)sin 5πt/6 + (0,0559*sin πt)

Laten we voor de aanbodfunctie de maximale voorraad- en consumptiegebieden bepalen, op voorwaarde dat de aanbodintensiteit s(t) gelijk is aan nul.

Tabel 2 – Bepaling van reservegebieden en verbruik van hulpbronnen

Qmax =0,9078 is dus de maximaal mogelijke hoeveelheid grondstoffen die in het magazijn is opgeslagen. De middelen die in de eerste helft van het jaar zijn verzameld, worden in de tweede helft volledig uitgegeven, omdat trigonometrische functies hebben de eigenschap van symmetrie.

Optimalisatie met behulp van gehuurd transport is een effectieve manier om de kosten voor de opslag van grondstoffen in een magazijn te verlagen. Het aanbodniveau van een onderneming door eigen transport wordt bepaald door de waarde Y(t)=1-h, of S(t)=-h van de voorwaarde van gelijkheid van accumulatie- en consumptiegebieden per half jaar (Figuur 4).

Figuur 4 – Bepaling van het aanbodniveau door leasevervoer

In dit geval blijft de behoefte aan de hulpbron in het volume dat wordt bepaald door het gebied van de rechthoek met de hoogte H en de basis, die het gehele beschouwingsinterval vormt, gelijk (van de symmetrie-eigenschappen) aan het gebied van de integraal van de cyclische component boven de rechte lijn van het aanbodniveau door eigen transport. Het bedrijf huurt transport voor een deel van de beschouwde periode. Het aanbodniveau van gehuurd vervoer zal worden bepaald op basis van de gelijkheid van de gebieden met een tekort aan hulpbronnen (2) en het huurvolume (1), weergegeven in figuur 4.

Zoek naar niveaus H wordt iteratief uitgevoerd. Bij de optie om gehuurde voertuigen te gebruiken, is het maximale niveau van voorraadopslag in het magazijn gelijk aan:

Topniveau H* Dat vinden we uit de voorwaarde van gelijkheid van de gebieden met onvervulde vraag (1) naar hulpbronnen en de omvang van het aanbod (2), aangegeven in figuur 4. Het huurniveau wordt bepaald door de waarde h*=0,144.

Na optimalisatie werd het stroom- en reservegebied gevonden:

Het totale gebied aan reserves daalde van 0,9 naar 0,5:

Qmax2 =0,2016+ 0,3137=0,515

Zo resulteerde de optimalisatie van het leveringsproces met behulp van huurauto's in een verlaging van de magazijnkosten met 44%, wat aangeeft dat de optimalisatietaak succesvol is afgerond.

Resultaten en conclusies. Het voorgestelde algoritme voor de rationele distributie van leveringen tussen het eigen transport van de onderneming en het gehuurde tijdens het modelleren van de kostenfunctie met een Fourier-serie is gebaseerd op de karakteristieke kenmerken van een genormaliseerde trendgrafiek, houdt rekening met de beperkingen van magazijnruimte , de houdbaarheid van grondstoffen, en zorgt voor een verlaging van de magazijnkosten (het niveau van opslag van hulpbronnen in een magazijn) tot 50% voor de beschouwde leveringsfunctiegegevens. Het gebruik van gehuurd transport is dus een effectieve manier om de magazijn- en opslagkosten te verlagen, terwijl de kosten voor het huren en onderhouden van magazijnruimte hoog zijn.

Bibliografie

1. Savelyev G.L. Het probleem van het optimaliseren van ondernemingsmiddelen in omstandigheden van cyclische veranderingen in de vraag. – Samara: SSAU, 2010. – 30 pagina's.
2. Chuikova Yu.S. Optimalisatie van de materiaalstroom bij het probleem van voorraadbeheer van ondernemingen / Verzameling van wetenschappelijke artikelen "Beheer van organisatorische en economische systemen". – Samara: SSAU, 2009. – p. 25-30.
3. Rardin R.L. Optimalisatie in operationeel onderzoek. Leerzaal, 1998.

Aantal views van de publicatie: Even geduld aub functies. Deze transformatie is van groot belang omdat er veel praktische problemen mee kunnen worden opgelost. Fourierreeksen worden niet alleen door wiskundigen gebruikt, maar ook door specialisten in andere wetenschappen.

De uitbreiding van functies naar een Fourierreeks is een wiskundige techniek die in de natuur kan worden waargenomen als je een apparaat gebruikt dat sinusoïdale functies waarneemt.

Dit proces vindt plaats wanneer een persoon een geluid hoort. Het menselijk oor is zo ontworpen dat het individuele sinusoïdale fluctuaties in de luchtdruk van verschillende frequenties kan waarnemen, waardoor een persoon spraak kan herkennen en naar muziek kan luisteren.

Het menselijk oor neemt geluid niet als geheel waar, maar via de componenten uit de Fourier-serie. De snaren van een muziekinstrument produceren geluiden die sinusoïdale trillingen van verschillende frequenties zijn. De realiteit van de uitbreiding van het licht in de Fourier-reeks wordt weergegeven door een regenboog. Het menselijke zicht neemt licht waar via enkele componenten van verschillende frequenties van elektromagnetische trillingen.

De Fourier-transformatie is een functie die de fase en amplitude van sinusoïden met een bepaalde frequentie beschrijft. Deze transformatie wordt gebruikt om vergelijkingen op te lossen die dynamische processen beschrijven die ontstaan ​​onder invloed van energie. Fourierreeksen lossen het probleem op van het identificeren van constante componenten in complexe oscillerende signalen, waardoor het mogelijk werd om de gegevens verkregen uit experimenten, observaties in de geneeskunde, scheikunde en astronomie correct te interpreteren.

De ontdekking van deze transformatie is van de Franse wiskundige Jean Baptiste Joseph Fourier. Ter ere van wie vervolgens de Fourier-serie werd genoemd. Aanvankelijk vond de wetenschapper toepassing van zijn methode bij het bestuderen en verklaren van de mechanismen van thermische geleidbaarheid. Er werd gesuggereerd dat de aanvankelijke onregelmatige warmteverdeling kan worden weergegeven in de vorm van eenvoudige sinusoïden. Voor elk daarvan wordt het temperatuurminimum, maximum en fase bepaald. De functie die de bovenste en onderste pieken van de curve beschrijft, de fase van elke harmonische, wordt de Fourier-transformatie genoemd, afgeleid van de uitdrukking van de temperatuurverdeling. De auteur van de transformatie stelde een methode voor om een ​​complexe functie te ontbinden als een som van periodieke functies cosinus, sinus.

Het doel van het cursuswerk is het bestuderen van de Fourierreeks en de relevantie van de praktische toepassing van deze transformatie.

Om dit doel te bereiken zijn de volgende taken geformuleerd:

1) geef het concept van een trigonometrische Fourierreeks;

2) het bepalen van de voorwaarden voor de ontleedbaarheid van een functie in een Fourierreeks;

3) beschouw de uitbreiding van de Fourierreeks van even en oneven functies;

4) beschouw de Fourierreeksuitbreiding van een niet-periodieke functie;

5) onthullen de praktische toepassing van de Fourierreeks.

Onderwerp van studie: uitbreiding van functies in Fourierreeksen.

Onderwerp van studie: Fourierreeks.

Onderzoeksmethoden: analyse, synthese, vergelijking, axiomatische methode.

1.5. Fourierreeks voor even en oneven functies

Beschouw de symmetrische integraal

waar continu of stuksgewijs continu is. Laten we een verandering aanbrengen in de eerste integraal. We geloven. Dan

Daarom, als de functie even is, dan (dwz de grafiek van de even functie is symmetrisch rond de en-as

Als het een oneven functie is, dan (dwz de grafiek van een oneven functie is symmetrisch ten opzichte van de oorsprong) en

Die. de symmetrische integraal van een even functie is gelijk aan tweemaal de integraal over de helft van het integratie-interval, en de symmetrische integraal van een oneven functie is gelijk aan nul.

Let op de volgende twee eigenschappen van even en oneven functies:

1) het product van een even functie en een oneven functie is een oneven functie;

2) het product van twee even (oneven) functies is een even functie.

Laat een even functie zijn die op dit segment is gedefinieerd en uitbreidbaar is tot een trigonometrische Fourierreeks. Met behulp van de hierboven verkregen resultaten vinden we dat de coëfficiënten van deze reeks de vorm zullen hebben:

Als er een oneven functie is gedefinieerd op een segment en zich op dit segment uitbreidt tot een trigonometrische Fourierreeks, dan hebben de coëfficiënten van deze reeks de vorm:

Bijgevolg zal de trigonometrische Fourier-reeks op het segment de vorm hebben

voor een even functie:

(16)

voor oneven functie:

Reeks (16) bevat geen sinussen met meerdere hoeken, dat wil zeggen dat de Fourierreeks van een even functie alleen even functies en een onafhankelijke term bevat. Reeks (17) bevat geen cosinussen met meerdere hoeken, dat wil zeggen dat de Fourierreeks van een oneven functie alleen oneven functies bevat.

Definitie. Rijen
zijn onderdelen van een complete Fourierreeks en worden incompleet genoemdtrigonometrische Fourierreeks.

Als een functie wordt uitgebreid tot een onvolledige trigonometrische reeks (16) (of (17)), dan wordt er gezegd datbreidt zich uit tot een trigonometrische Fourierreeks in cosinus (of sinussen).

1.6. Fourierreeksuitbreiding van een niet-periodieke functie

1.6.1. Fourier-serie uitbreiding van functies aan

Laat een functie op een interval worden gegeven en voldoe op dit interval aan de voorwaarden van de stelling van Dirichlet. Laten we een variabele wijziging uitvoeren. Laten we selecteren waar we de resulterende argumentfunctie op definiëren. Daarom geloven wij dat

De resulterende functie kan worden uitgebreid tot een Fourierreeks:

Waar

Laten we een omgekeerde vervanging maken⇒ We krijgen

Waar

(19)

Reeks (18) - Fourierreeks in het basistrigonometrische systeem van functies

We hebben dus ontdekt dat als een functie op een interval wordt gegeven en voldoet aan de voorwaarden van de stelling van Dirichlet op dit interval, deze kan worden uitgebreid tot een trigonometrische Fourierreeks (18) volgens het trigonometrische systeem van functies (20).

De trigonometrische Fourierreeks voor een even functie gedefinieerd op zal de vorm hebben

Waar

voor vreemde functie

Waar

Opmerking! Bij sommige problemen is het nodig om een ​​functie uit te breiden naar een trigonometrische Fourierreeks volgens het systeem van functies (20), niet op een segment, maar op een segment. In dit geval hoeft u alleen maar de integratiegrenzen in de formules (19) ((15) te wijzigen, als dat wil zeggen in dit geval

(23)

of als

(24)

De som van een trigonometrische Fourierreeks is een periodieke functie met een periode, die een periodieke voortzetting is van een gegeven functie. En voor een periodieke functie is gelijkheid (4) waar.

1.6.2. Fourier-serie uitbreiding van functies aan

Laat de functie worden gegeven en voldoe aan de voorwaarden van de stelling van Dirichlet op dit interval. Een dergelijke functie kan ook worden uitgebreid tot een Fourierreeks. Om dit te doen, moet de functie worden uitgebreid tot het interval en moet de resulterende functie worden uitgebreid tot een Fourierreeks op het interval. In dit geval moet de resulterende reeks alleen in aanmerking worden genomen voor het segment waarop de functie is gespecificeerd. Voor het gemak van de berekeningen zullen we de functie op een even en oneven manier definiëren.

1) Laten we de functie op een even manier uitbreiden naar het interval, dat wil zeggen, we zullen een nieuwe even functie construeren die samenvalt met de functie op het interval. De grafiek van deze functie is dus symmetrisch rond de as en valt samen met de grafiek op het segment. Met behulp van formules (21) vinden we de coëfficiënten van de Fourierreeks voor de functie en schrijven we de Fourierreeks zelf. De som van de Fourierreeks is een periodieke functie, met een punt. Het zal samenvallen met de functie op alle punten van continuïteit.

2) Laten we de functie op een vreemde manier uitbreiden tot het interval, dat wil zeggen, we zullen een nieuwe oneven functie construeren die samenvalt met de functie. De grafiek van een dergelijke functie is symmetrisch ten opzichte van de oorsprong van de coördinaten en valt samen met de grafiek op het segment. Met behulp van formules (22) vinden we de coëfficiënten van de Fourierreeks voor de functie en schrijven we de Fourierreeks zelf. De som van de Fourierreeks is een periodieke functie met een punt. Het zal samenvallen met de functie op alle punten van continuïteit.

Opmerkingen!

1) Op dezelfde manier kunt u een functie die op het interval is gedefinieerd, uitbreiden naar een Fourierreeks

2) Aangezien de uitbreiding van een functie op een segment de voortzetting ervan op een segment op willekeurige wijze veronderstelt, zal de Fourierreeks voor de functie niet uniek zijn.

1.6.3. Fourier-serie uitbreiding van functies aan

Laat de functie worden gegeven op een willekeurig lengtesegment en voldoe daarop aan de voorwaarden van de stelling van Dirichlet.

Vervolgens kan deze functie worden uitgebreid tot een Fourierreeks. Om dit te doen, moet de functie periodiek (met een punt) worden voortgezet over de gehele getallenlijn en moet de resulterende functie worden uitgebreid tot een Fourierreeks, die alleen op het segment moet worden beschouwd. Vanwege eigenschap (3) van periodieke functies hebben we dat

Daarom kunnen de Fourier-coëfficiënten voor de resulterende voortzetting van de functie worden gevonden met behulp van de formules

(25)

2. Praktische toepassing van Fourierreeksen

2.1. Problemen met betrekking tot de uitbreiding van functies in Fourier-reeksen en hun oplossing

Het is vereist om een ​​functie die een periodieke voortzetting is van een functie die op een interval is gegeven, uit te breiden naar een trigonometrische Fourierreeks. Om dit te doen is het noodzakelijk om een ​​algoritme te gebruiken voor het uitbreiden van een periodieke functie naar een Fourierreeks.

Algoritme voor het uitbreiden van een periodieke functie naar een Fourierreeks:

1) Construeer een grafiek van een gegeven functie en de periodieke voortzetting ervan;

2) Stel de periode van de gegeven functie in;

3) Bepaal of de functie even, oneven of algemeen is;

4) Controleer de haalbaarheid van de voorwaarden van de stelling van Dirichlet;

5) Creëer een formele representatie van de Fourierreeks gegenereerd door deze functie;

6) Bereken Fourier-coëfficiënten;

7) Schrijf de Fourierreeks op voor een bepaalde functie, met behulp van de coëfficiënten van de Fourierreeks (item 4).

Voorbeeld 1. Breid de functie uit naar een Fourierreeks op het interval.

Oplossing:

1) Laten we een grafiek construeren van de gegeven functie en zijn periodieke voortzetting.

2) Periode van uitbreiding van de functie.

3) De functie is vreemd.

4) De functie is continu en monotoon, d.w.z. de functie voldoet aan de Dirichlet-voorwaarden.

5) Laten we de coëfficiënten van de Fourierreeks berekenen.

6) Schrijf de Fourierreeks door de Fourier-coëfficiënten in de formule te vervangen

Antwoord:

Voorbeeld 2. Laten we een functie met een willekeurige periode uitbreiden tot een Fourierreeks.

Oplossing: de functie is gedefinieerd op het halve interval (-3;3). Uitbreidingsperiode van de functie, halve periode. Laten we de functie uitbreiden naar een Fourierreeks

Bij de oorsprong is de functie discontinu, dus we zullen elke Fourier-coëfficiënt voorstellen als de som van twee integralen.

Laten we de Fourierreeks schrijven door de gevonden coëfficiënten van de Fourierreeks in de formule te vervangen.

Voorbeeld 3. Vouw een functie uittusseninin de Fourierreeks in cosinussen. Maak een grafiek van de som van de reeks.

Oplossing: we breiden de functie op een even manier uit naar het interval, dat wil zeggen we construeren een nieuwe even functie die samenvalt met de functie op het interval. Laten we de coëfficiënten van de Fourierreeks voor de functie vinden en de Fourierreeks schrijven. De som van de Fourierreeks is een periodieke functie, met een punt. Het zal samenvallen met de functie op alle punten van continuïteit.

De trigonometrische Fourierreeks voor de functie heeft de vorm

Laten we de coëfficiënten van de Fourierreeks vinden

Wanneer de coëfficiënten gevonden zijn, kunnen we dus de Fourierreeks schrijven

Laten we de som van de reeks plotten

Voorbeeld 4. Gegeven een functie die op het segment is gedefinieerd. Zoek uit of de functie kan worden uitgebreid tot een Fourierreeks. Schrijf de uitbreiding van de functie in een Fourierreeks.

Oplossing:

1) construeer een grafiek van de functie op .

2) de functie is continu en monotoon op , dat wil zeggen dat deze volgens de stelling van Dirichlet kan worden uitgebreid tot een trigonometrische Fourierreeks.

3) bereken de Fourier-coëfficiënten met behulp van formules (1.19).

4) schrijf de Fourierreeks met behulp van de gevonden coëfficiënten.

2.2. Voorbeelden van de toepassing van Fourierreeksen op verschillende gebieden van menselijke activiteit

Wiskunde is een van de wetenschappen die in de praktijk een brede toepassing heeft. Elk productie- en technologisch proces is gebaseerd op wiskundige wetten. Het gebruik van verschillende wiskundige hulpmiddelen maakt het mogelijk apparaten en geautomatiseerde eenheden te ontwerpen die bewerkingen, complexe berekeningen en berekeningen kunnen uitvoeren bij het ontwerp van gebouwen en constructies.

Fourierreeksen worden door wiskundigen in de meetkunde gebruikthet oplossen van problemen in de sferische meetkunde; in Mathematische natuurkunde ophet oplossen van problemen met kleine trillingen van elastische media. Maar naast de wiskunde hebben Fourier-reeksen hun toepassing gevonden op andere wetenschapsgebieden.

Dagelijks gebruiken mensen verschillende apparaten. En vaak werken deze apparaten niet goed. Het geluid is bijvoorbeeld moeilijk hoorbaar door veel ruis, of het ontvangen beeld per fax is onduidelijk. Een persoon kan de oorzaak van de storing vaststellen door middel van geluid. De computer kan ook vaststellen of het apparaat beschadigd is. Overmatige ruis kan worden verwijderd met behulp van computersignaalverwerking. Het signaal wordt weergegeven als een reeks digitale waarden, die vervolgens in een computer worden ingevoerd. Na het uitvoeren van bepaalde berekeningen worden de coëfficiënten van de Fourierreeks verkregen.

Door het signaalspectrum te wijzigen, kunt u ruis uit de opname verwijderen, signaalvervorming door verschillende opnameapparaten compenseren, de klankkleuren van instrumenten wijzigen en de aandacht van de luisteraar op afzonderlijke delen richten.

Bij digitale beeldverwerking maakt het gebruik van de Fourier-serie de volgende effecten mogelijk: vervaging, randaccentuering, beeldherstel, artistieke effecten (embossing)

Uitbreiding van de Fourierreeks wordt in de architectuur gebruikt bij de studie van oscillerende processen. Bij het maken van een project voor verschillende soorten constructies worden bijvoorbeeld de sterkte, stijfheid en stabiliteit van structurele elementen berekend.

In de geneeskunde wordt voor het uitvoeren van een medisch onderzoek met behulp van cardiogrammen en een echoapparaat een wiskundig apparaat gebruikt, dat is gebaseerd op de theorie van de Fourier-reeks.

Bij het registreren en verwerken van continue zeebodemgegevens doen zich grote rekenproblemen voor bij het beoordelen van de statistische kenmerken van signalen en het filteren van ruis. Bij het uitvoeren en vastleggen van metingen zijn holografische methoden met behulp van Fourier-series veelbelovend. Dat wil zeggen dat Fourier-reeksen ook worden gebruikt in een wetenschap als de oceanologie.

Elementen van de wiskunde zijn bij vrijwel elke stap in de productie terug te vinden, dus het is belangrijk dat specialisten bepaalde analyse- en rekenhulpmiddelen kennen en goed georiënteerd zijn op het toepassingsgebied ervan..

Conclusie

Het onderwerp van het cursuswerk is gewijd aan de studie van de Fourierreeks. Een willekeurige functie kan worden uitgebreid tot eenvoudigere functies, dat wil zeggen dat deze kan worden uitgebreid tot een Fourierreeks. De omvang van het cursuswerk laat ons niet toe om alle aspecten van de reeksuitbreiding van een functie in detail te onthullen. Uit de gestelde taken leek het echter mogelijk om de basistheorie over de Fourierreeks te onthullen.

Het cursuswerk onthult het concept van de trigonometrische Fourierreeks. Voorwaarden voor de ontleedbaarheid van een functie in een Fourierreeks worden bepaald. Er wordt rekening gehouden met Fourierreeksuitbreidingen van even en oneven functies; niet-periodieke functies.

Het tweede hoofdstuk geeft slechts enkele voorbeelden van de uitbreiding van functies die op verschillende intervallen worden gegeven naar Fourierreeksen. De wetenschapsgebieden waar deze transformatie wordt gebruikt, worden beschreven.

Er is ook een complexe vorm van representatie van de Fourier-reeks, die niet in overweging kon worden genomen omdat de omvang van het cursuswerk dit niet toestaat. De complexe vorm van de reeks is algebraïsch eenvoudig. Daarom wordt het vaak gebruikt in de natuurkunde en toegepaste berekeningen.

Het belang van het onderwerp van de cursus is te danken aan het feit dat het niet alleen veel wordt gebruikt in de wiskunde, maar ook in andere wetenschappen: natuurkunde, mechanica, geneeskunde, scheikunde en vele andere.

Bibliografie

1. Bari, N.K. Trigonometrische reeks. [tekst]/ N.K. Bari. - Moskou, 1961. - 936 sec.

2. Bermant, A.F. Een korte cursus wiskundige analyse: een leerboek voor universiteiten[tekst]/ A.F. Bermant, I.G. Aramanović. – 11e druk, gewist. – St. Petersburg: Uitgeverij “Lan”, 2005. – 736 p.

3. Bugrov, Ya. Hogere wiskunde: leerboek voor universiteiten: in 3 delen.[tekst]/ Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky; Ed. V.A. Sadovnichy. - 6e druk, stereotype. - M.: Trap, 2004. -512 p.

4. Vinogradova, I. A. Problemen en oefeningen in wiskundige analyse: een handleiding voor universiteiten, pedagogisch. universiteiten: om 14.00 uur.[tekst]/ I.A. Vinogradova, S.N. Olehnik, V.A. Sadovnitsj; bewerkt door V.A. Sadovnichigo. – 3e druk, herz. – M.: Trap, 2001. – 712 p.

5. Gusak, AA Hogere wiskunde. In 2 delen. T. 2. Leerboek voor universiteitsstudenten.[tekst]/ AA Gusak.– 5e druk. – Minsk: TetraSystems, 2004.

6. Danko, P.E. Hogere wiskunde in oefeningen en problemen: leerboek voor universiteiten: 2 uur.[tekst]/ P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozjevnikov. Moskou: ONIX: Vrede en Onderwijs, 2003. – 306 p.

7. Lukin, A. Inleiding tot digitale signaalverwerking (wiskundige grondslagen) [tekst] / A. Lukin. - M., 2007. - 54 p.

8. Piskunov, N. S. Differentiaal- en integraalrekening voor hogescholen, vol. 2: Leerboek voor hogescholen.[tekst]/ N. S. Piskunov. - 13e druk - M.: Nauka, 1985. - 432 d.

9. Rudin, U. Grondbeginselen van wiskundige analyse.[tekst]/ U. Rudin. - 2e druk, vert. van Engels .- M.: Mir, 1976 .- 206 p.

10. Fikhtengolts, G. M. Grondbeginselen van wiskundige analyse. Deel 2.[tekst]/ GM Fikhtengolts. -6e druk, gewist. - St. Petersburg: Lan Publishing House, 2005. – 464 p.

Orenburg, 2015

Fourierreeksen zijn een weergave van een willekeurige functie met een specifieke periode in de vorm van een reeks. Over het algemeen wordt deze oplossing de ontbinding van een element langs een orthogonale basis genoemd. Uitbreiding van functies naar Fourierreeksen is een redelijk krachtig hulpmiddel voor het oplossen van verschillende problemen vanwege de eigenschappen van deze transformatie tijdens integratie, differentiatie en het verschuiven van uitdrukkingen door argumentatie en convolutie.

Iemand die niet bekend is met de hogere wiskunde, maar ook niet met de werken van de Franse wetenschapper Fourier, zal hoogstwaarschijnlijk niet begrijpen wat deze 'reeksen' zijn en waarvoor ze nodig zijn. Ondertussen is deze transformatie behoorlijk geïntegreerd in ons leven. Het wordt niet alleen gebruikt door wiskundigen, maar ook door natuurkundigen, scheikundigen, artsen, astronomen, seismologen, oceanografen en vele anderen. Laten we ook eens nader kijken naar de werken van de grote Franse wetenschapper die een ontdekking deed die zijn tijd ver vooruit was.

De mens en de Fourier-transformatie

Fourierreeksen zijn een van de methoden (samen met analyse en andere). Dit proces vindt plaats elke keer dat iemand een geluid hoort. Ons oor transformeert elementaire deeltjes in een elastisch medium automatisch in rijen (langs het spectrum) van opeenvolgende volumeniveaus voor tonen van verschillende hoogtes. Vervolgens zetten de hersenen deze gegevens om in geluiden die ons bekend voorkomen. Dit gebeurt allemaal zonder ons verlangen of bewustzijn, op zichzelf, maar om deze processen te begrijpen zal het enkele jaren duren om hogere wiskunde te studeren.

Meer over Fourier-transformatie

De Fourier-transformatie kan worden uitgevoerd met behulp van analytische, numerieke en andere methoden. Fourierreeksen verwijzen naar de numerieke methode voor het ontleden van oscillerende processen - van oceaangetijden en lichtgolven tot cycli van zonneactiviteit (en andere astronomische objecten). Met behulp van deze wiskundige technieken kunt u functies analyseren, waarbij oscillerende processen worden weergegeven als een reeks sinusoïdale componenten die van minimum naar maximum en terug bewegen. De Fourier-transformatie is een functie die de fase en amplitude beschrijft van sinusoïden die overeenkomen met een specifieke frequentie. Dit proces kan worden gebruikt om zeer complexe vergelijkingen op te lossen die dynamische processen beschrijven die ontstaan ​​onder invloed van thermische, licht- of elektrische energie. Bovendien maken de Fourier-reeksen het mogelijk om constante componenten in complexe oscillerende signalen te isoleren, waardoor het mogelijk wordt om de experimentele waarnemingen verkregen in de geneeskunde, scheikunde en astronomie correct te interpreteren.

Historische referentie

De grondlegger van deze theorie is de Franse wiskundige Jean Baptiste Joseph Fourier. Deze transformatie werd vervolgens naar hem vernoemd. Aanvankelijk gebruikte de wetenschapper zijn methode om de mechanismen van thermische geleidbaarheid - de verspreiding van warmte in vaste stoffen - te bestuderen en te verklaren. Fourier suggereerde dat de aanvankelijke onregelmatige verdeling kan worden ontleed in eenvoudige sinusoïden, die elk hun eigen temperatuurminimum en -maximum hebben, evenals hun eigen fase. In dit geval wordt elk van deze componenten gemeten van minimum naar maximum en terug. De wiskundige functie die de bovenste en onderste pieken van de curve beschrijft, evenals de fase van elk van de harmonischen, wordt de Fourier-transformatie van de genoemd. De auteur van de theorie reduceerde de algemene verdelingsfunctie, die moeilijk wiskundig te beschrijven is, tot een zeer handige reeks van cosinus en sinus, die samen de oorspronkelijke verdeling opleveren.

Het principe van transformatie en de opvattingen van tijdgenoten

De tijdgenoten van de wetenschapper – vooraanstaande wiskundigen uit het begin van de negentiende eeuw – accepteerden deze theorie niet. Het belangrijkste bezwaar was de bewering van Fourier dat een discontinue functie, die een rechte lijn of een discontinue curve beschrijft, kan worden weergegeven als een som van sinusoïdale uitdrukkingen die continu zijn. Beschouw als voorbeeld de Heaviside-stap: de waarde ervan is nul links van de discontinuïteit en één aan de rechterkant. Deze functie beschrijft de afhankelijkheid van de elektrische stroom van een tijdelijke variabele wanneer het circuit gesloten is. Tijdgenoten van de theorie uit die tijd waren nog nooit een soortgelijke situatie tegengekomen waarin een discontinue uitdrukking zou worden beschreven door een combinatie van continue, gewone functies zoals exponentieel, sinus, lineair of kwadratisch.

Wat bracht Franse wiskundigen in verwarring over de theorie van Fourier?

Als de wiskundige gelijk had met zijn uitspraken, kan men immers door de oneindige trigonometrische Fourierreeks op te tellen een nauwkeurige weergave krijgen van de stapuitdrukking, zelfs als deze veel vergelijkbare stappen heeft. Aan het begin van de negentiende eeuw leek een dergelijke verklaring absurd. Maar ondanks alle twijfels hebben veel wiskundigen de reikwijdte van het onderzoek naar dit fenomeen uitgebreid en verder gegaan dan alleen de studie van thermische geleidbaarheid. De meeste wetenschappers bleven echter gekweld worden door de vraag: “Kan de som van een sinusoïdale reeks convergeren naar de exacte waarde van de discontinue functie?”

Convergentie van Fourierreeksen: een voorbeeld

De kwestie van convergentie doet zich voor wanneer het nodig is om oneindige reeksen getallen op te tellen. Om dit fenomeen te begrijpen, overweeg een klassiek voorbeeld. Zul je ooit de muur kunnen bereiken als elke volgende stap half zo groot is als de vorige? Laten we zeggen dat u twee meter van uw doel verwijderd bent, de eerste stap brengt u halverwege, de volgende brengt u naar de driekwartmarkering en na de vijfde heeft u bijna 97 procent van de weg afgelegd. Hoeveel stappen u echter ook zet, u zult uw beoogde doel in strikt wiskundige zin niet bereiken. Met behulp van numerieke berekeningen kan worden bewezen dat het uiteindelijk mogelijk is om zo dichtbij als een bepaalde afstand te komen. Dit bewijs staat gelijk aan het aantonen dat de som van een helft, een vierde, enz. naar eenheid zal neigen.

De kwestie van convergentie: de wederkomst, of Lord Kelvin's Device

Deze kwestie kwam aan het einde van de negentiende eeuw opnieuw aan de orde, toen ze Fourierreeksen probeerden te gebruiken om de intensiteit van de getijden te voorspellen. Op dat moment vond Lord Kelvin een instrument uit, een analoog computerapparaat waarmee militaire en koopvaardijzeilers dit natuurlijke fenomeen konden volgen. Dit mechanisme bepaalde reeksen fasen en amplitudes uit een tabel met getijdenhoogten en bijbehorende tijdstippen, zorgvuldig gemeten in een bepaalde haven gedurende het hele jaar. Elke parameter was een sinusoïdale component van de getijdenhoogte-uitdrukking en was een van de reguliere componenten. De metingen werden ingevoerd in het rekeninstrument van Lord Kelvin, dat een curve synthetiseerde die de hoogte van het water als functie van de tijd voor het volgende jaar voorspelde. Al snel werden soortgelijke curven opgesteld voor alle havens van de wereld.

Wat als het proces wordt verstoord door een discontinue functie?

Destijds leek het voor de hand liggend dat een vloedgolfvoorspeller met een groot aantal telelementen een groot aantal fasen en amplitudes kon berekenen en zo nauwkeurigere voorspellingen kon doen. Het bleek echter dat dit patroon niet wordt waargenomen in gevallen waarin de getijdenexpressie die moest worden gesynthetiseerd een scherpe sprong bevatte, dat wil zeggen dat deze discontinu was. Als gegevens uit een tabel met tijdmomenten in het apparaat worden ingevoerd, berekent het verschillende Fourier-coëfficiënten. Dankzij de sinusoïdale componenten (conform de gevonden coëfficiënten) wordt de oorspronkelijke functie hersteld. De discrepantie tussen de originele en gereconstrueerde uitdrukking kan op elk punt worden gemeten. Bij herhaalde berekeningen en vergelijkingen is het duidelijk dat de waarde van de grootste fout niet afneemt. Ze zijn echter gelokaliseerd in het gebied dat overeenkomt met het discontinuïteitpunt, en op elk ander punt neigen ze naar nul. In 1899 werd dit resultaat theoretisch bevestigd door Joshua Willard Gibbs van Yale University.

Convergentie van Fourierreeksen en de ontwikkeling van wiskunde in het algemeen

Fourieranalyse is niet van toepassing op uitdrukkingen die een oneindig aantal pieken over een bepaald interval bevatten. Over het algemeen convergeren Fourier-reeksen altijd, als de oorspronkelijke functie wordt weergegeven door het resultaat van een echte fysieke meting. Vragen over de convergentie van dit proces voor specifieke klassen van functies leidden tot de opkomst van nieuwe takken van de wiskunde, bijvoorbeeld de theorie van gegeneraliseerde functies. Ze wordt geassocieerd met namen als L. Schwartz, J. Mikusinski en J. Temple. Binnen het raamwerk van deze theorie werd een duidelijke en nauwkeurige theoretische basis gecreëerd voor uitdrukkingen als de Dirac-deltafunctie (deze beschrijft een regio van een enkel gebied geconcentreerd in een oneindig kleine buurt van een punt) en de Heaviside-stap. Dankzij dit werk werden de Fourier-reeksen toepasbaar bij het oplossen van vergelijkingen en problemen met intuïtieve concepten: puntlading, puntmassa, magnetische dipolen en geconcentreerde belasting op een balk.

Fourier-methode

Fourierreeksen beginnen, in overeenstemming met de principes van interferentie, met de ontbinding van complexe vormen in eenvoudigere vormen. Een verandering in de warmtestroom wordt bijvoorbeeld verklaard door de passage ervan door verschillende obstakels gemaakt van warmte-isolerend materiaal met een onregelmatige vorm of een verandering in het aardoppervlak - een aardbeving, een verandering in de baan van een hemellichaam - de invloed van planeten. In de regel kunnen dergelijke vergelijkingen die eenvoudige klassieke systemen beschrijven, eenvoudig voor elke individuele golf worden opgelost. Fourier toonde aan dat eenvoudige oplossingen ook kunnen worden opgeteld om oplossingen voor complexere problemen te opleveren. In wiskundige termen zijn Fourierreeksen een techniek om een ​​uitdrukking weer te geven als een som van harmonischen: cosinus en sinus. Daarom wordt deze analyse ook wel “harmonische analyse” genoemd.

Fourier-serie - een ideale techniek vóór het 'computertijdperk'

Vóór de opkomst van computertechnologie was de Fourier-techniek het beste wapen in het arsenaal van wetenschappers bij het werken met de golfaard van onze wereld. De Fourierreeks in complexe vorm maakt het mogelijk om niet alleen eenvoudige problemen op te lossen die rechtstreeks kunnen worden toegepast op de mechanica-wetten van Newton, maar ook fundamentele vergelijkingen. De meeste ontdekkingen van de Newtoniaanse wetenschap in de negentiende eeuw werden alleen mogelijk gemaakt door de techniek van Fourier.

Fourier-serie vandaag

Met de ontwikkeling van computers zijn Fourier-transformaties naar een kwalitatief nieuw niveau gestegen. Deze techniek is stevig verankerd in vrijwel alle gebieden van wetenschap en technologie. Een voorbeeld is digitale audio en video. De implementatie ervan werd alleen mogelijk dankzij een theorie die aan het begin van de negentiende eeuw door een Franse wiskundige werd ontwikkeld. Zo maakte de Fourier-reeks in een complexe vorm het mogelijk een doorbraak te maken in de studie van de ruimte. Bovendien beïnvloedde het de studie van de fysica van halfgeleidermaterialen en plasma, microgolfakoestiek, oceanografie, radar en seismologie.

Trigonometrische Fourier-reeks

In de wiskunde is een Fourierreeks een manier om willekeurige complexe functies weer te geven als een som van eenvoudigere functies. In algemene gevallen kan het aantal van dergelijke uitdrukkingen oneindig zijn. Bovendien, hoe meer er bij de berekening rekening wordt gehouden met hun aantal, hoe nauwkeuriger het eindresultaat is. Meestal worden trigonometrische functies van cosinus of sinus als de eenvoudigste gebruikt. In dit geval worden Fourier-reeksen trigonometrisch genoemd, en de oplossing van dergelijke uitdrukkingen wordt harmonische expansie genoemd. Deze methode speelt een belangrijke rol in de wiskunde. In de eerste plaats biedt de trigonometrische reeks een middel voor het weergeven en bestuderen van functies; het is het belangrijkste apparaat van de theorie. Bovendien kun je er een aantal problemen uit de wiskundige natuurkunde mee oplossen. Ten slotte heeft deze theorie bijgedragen aan de ontwikkeling van een aantal zeer belangrijke takken van de wiskundige wetenschap (de theorie van integralen, de theorie van periodieke functies). Bovendien diende het als uitgangspunt voor de ontwikkeling van de volgende functies van een reële variabele, en legde het ook de basis voor harmonische analyse.