Stochastisch model in de economie. Deterministische en stochastische modellen. Stochastisch procesmodel Wiskundige modellering. Analytische en simulatiemodellen

Serie “Economie en Management”

6. Kondratyev N.D. Grote cycli van conjunctuur en de theorie van vooruitziendheid. - M.: Economie, 2002. 768 p.

7. Kuzyk B.N., Kushlin VI, Yakovets Yu.V. Forecasting, strategische planning en nationale programmering. M.: Uitgeverij "Economy", 2008. 573 p.

8. Lyasnikov N.V., Dudin M.N. Modernisering van de innovatieve economie in de context van de vorming en ontwikkeling van de durfmarkt // Sociale wetenschappen. M.: Uitgeverij "MII Science", 2011. Nr. 1. P. 278-285.

9. Sekerin VD, Kuznetsova O.S. Ontwikkeling van een strategie voor het beheer van een innovatief project // Bulletin van de Moskouse Staatsacademie voor Bedrijfskunde. Serie: Economie. - 2013. Nr. 1 (20). - Blz. 129 - 134.

10. Yakovlev V.M., Senin A.S. Er is geen alternatief voor het innovatieve type ontwikkeling van de Russische economie // Actuele kwesties van innovatieve economie. M.: Uitgeverij “Wetenschap”; Instituut voor Management en Marketing van de Russische Academie van Wetenschappen en Staatsuniversiteit onder de president van de Russische Federatie, 2012. Nr. 1(1).

11. Baranenko S.P., Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Busygin KD. Gebruik van een milieubenadering voor de innovatiegerichte ontwikkeling van industriële ondernemingen // American Journal of Applied Sciences.- 2014.- Vol. 11, nr. 2, - blz. 189-194.

12. Dudin MN Een systematische benadering voor het bepalen van de interactievormen tussen grote en kleine bedrijven // European Journal of Economic Studies. 2012. Vol. (2), nr. 2, blz. 84-87.

13. Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Kuznecov A.V., Fedorova I.Ju. Innovatieve transformatie en transformationeel potentieel van sociaal-economische systemen // Middle East Journal of Scientific Research, 2013. Vol. 17, nr. 10. P. 1434-1437.

14. Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Pankov S.V., Sepiashvili E.N. Innovatieve vooruitziendheid als methode voor het beheer van de strategische duurzame ontwikkeling van de bedrijfsstructuren // World Applied Sciences Journal. - 2013. - Vol. 26, nr. 8. - Blz. 1086-1089.

15. Sekerin V.D., Avramenko S.A., Veselovsky M. Ya., Aleksakhina V.G. B2G-markt: de essentie en statistische analyse // World Applied Sciences Journal 31 (6): 1104-1108, 2014

Constructie van een stochastisch model met één parameter van het productieproces

Ph.D. Assoc. Mordasov Yu.P.

Universiteit voor Werktuigbouwkunde, 8-916-853-13-32, mordasov2001@mail. ge

Annotatie. De auteur heeft een wiskundig, stochastisch model van het productieproces ontwikkeld, afhankelijk van één parameter. Het model is getest. Hiervoor is een simulatiemodel van het productie- en machinebouwproces gemaakt, waarbij rekening wordt gehouden met de invloed van willekeurige verstoringen en storingen. Een vergelijking van de resultaten van wiskundige en simulatiemodellering bevestigt de haalbaarheid van het gebruik van het wiskundige model in de praktijk.

Trefwoorden: technologisch proces, wiskundig, simulatiemodel, operationele controle, testen, willekeurige verstoringen.

De kosten van operationeel management kunnen aanzienlijk worden verlaagd door een methodologie te ontwikkelen waarmee men het optimale kan vinden tussen de kosten van operationele planning en de verliezen die voortvloeien uit een mismatch tussen geplande indicatoren en de indicatoren van daadwerkelijke productieprocessen. Dit betekent het vinden van de optimale duur van signaaldoorgang in het feedbackcircuit. In de praktijk betekent dit het verminderen van het aantal berekeningen van kalenderschema's voor het in productie nemen van assemblage-eenheden en daardoor het besparen van materiaalbronnen.

De voortgang van het productieproces in de machinebouw is probabilistisch van aard. De voortdurende invloed van voortdurend veranderende factoren maakt het niet mogelijk om voor een bepaalde periode (maand, kwartaal) het verloop van het productieproces in ruimte en tijd te voorspellen. In statistische planningsmodellen moet de toestand van een onderdeel op elk specifiek tijdstip worden gespecificeerd in de vorm van de overeenkomstige waarschijnlijkheid (waarschijnlijkheidsverdeling) van de vondst ervan op verschillende werkplekken. Tegelijkertijd is het noodzakelijk om het determinisme van het eindresultaat van de activiteiten van de onderneming te waarborgen. Dit veronderstelt op zijn beurt de mogelijkheid om, met behulp van deterministische methoden, bepaalde perioden te plannen waarin de onderdelen in productie zullen zijn. De ervaring leert echter dat de verschillende relaties en onderlinge overgangen van echte productieprocessen divers en talrijk zijn. Dit levert aanzienlijke problemen op bij het ontwikkelen van deterministische modellen.

Een poging om rekening te houden met alle factoren die het verloop van de productie beïnvloeden, maakt het model omslachtig en functioneert niet langer als een instrument voor planning, boekhouding en regulering.

Een eenvoudigere methode voor het construeren van wiskundige modellen van complexe reële processen die afhankelijk zijn van een groot aantal verschillende factoren, waarmee moeilijk of zelfs onmogelijk rekening kan worden gehouden, is de constructie van stochastische modellen. In dit geval worden bij het analyseren van de werkingsprincipes van een reëel systeem of bij het observeren van de individuele kenmerken ervan, voor sommige parameters waarsgeconstrueerd. Gegeven de hoge statistische stabiliteit van de kwantitatieve kenmerken van het proces en hun lage spreiding, komen de resultaten verkregen met behulp van het geconstrueerde model goed overeen met de prestatie-indicatoren van het echte systeem.

De belangrijkste vereisten voor het construeren van statistische modellen van economische processen zijn:

Buitensporige complexiteit en daarmee gepaard gaande economische inefficiëntie van het overeenkomstige deterministische model;

Grote afwijkingen van theoretische indicatoren verkregen als resultaat van een experiment met een model van de indicatoren van feitelijk functionerende objecten.

Daarom is het wenselijk om over een eenvoudig wiskundig apparaat te beschikken dat de invloed van stochastische verstoringen op de globale kenmerken van het productieproces (commerciële output, volume van onderhanden werk, enz.) beschrijft. Dat wil zeggen: het bouwen van een wiskundig model van het productieproces, afhankelijk van een klein aantal parameters en dat de totale invloed van vele factoren van verschillende aard op het verloop van het productieproces weerspiegelt. De hoofdtaak die een onderzoeker zichzelf moet stellen bij het bouwen van een model is niet het passief observeren van de parameters van een reëel systeem, maar het construeren van een model dat, in het geval van enige afwijking onder invloed van verstoringen, de parameters van de weergegeven processen naar een bepaalde modus. Dat wil zeggen dat onder invloed van een willekeurige factor in het systeem een ​​proces tot stand moet worden gebracht dat convergeert naar een geplande oplossing. Momenteel wordt deze functie in geautomatiseerde besturingssystemen voornamelijk toegewezen aan een persoon, die een van de schakels vormt in de feedbackketen bij het beheer van productieprocessen.

Laten we eens kijken naar de analyse van het echte productieproces. Doorgaans wordt de duur van de planningsperiode (de frequentie van het uitgeven van plannen aan workshops) geselecteerd op basis van traditionele kalendertijdsintervallen: ploegendienst, dag, periode van vijf dagen, enz. Ze laten zich vooral leiden door praktische overwegingen. De minimale duur van de planperiode wordt bepaald door de operationele capaciteiten van de geplande instanties. Als de productie- en expeditieafdeling van de onderneming zich bezighoudt met het verstrekken van aangepaste ploegendienstopdrachten aan werkplaatsen, wordt de berekening voor elke ploegendienst gemaakt (dat wil zeggen dat er elke ploegendienst kosten worden gemaakt die verband houden met de berekening en analyse van geplande opdrachten).

Om de numerieke kenmerken van de kansverdeling van willekeurig te bepalen

In de serie 'Economie en management' zullen we een probabilistisch model bouwen van het echte technologische proces van het vervaardigen van één assemblage-eenheid. Hier en in wat volgt betekent het technologische proces van het vervaardigen van een assemblage-eenheid een reeks bewerkingen (werk om gegevens over een onderdeel of samenstel te produceren), gedocumenteerd in de technologie. Elke technologische bewerking voor het vervaardigen van een product in overeenstemming met de technologische route kan pas na de vorige worden uitgevoerd. Bijgevolg is het technologische proces van het vervaardigen van een assemblage-eenheid een opeenvolging van gebeurtenissen-operaties. Onder invloed van verschillende stochastische redenen kan de duur van een individuele operatie veranderen. In sommige gevallen kan de operatie tijdens de duur van deze ploegtaak niet worden voltooid. Het is duidelijk dat deze gebeurtenissen kunnen worden opgesplitst in elementaire componenten: uitvoering en niet-uitvoering van individuele operaties, die ook in verband kunnen worden gebracht met de waarschijnlijkheid van uitvoering en mislukking.

Voor een specifiek technologisch proces kan de waarschijnlijkheid van het uitvoeren van een reeks bestaande uit K-bewerkingen worden uitgedrukt met de volgende formule:

RS5 = k) = (1-rk+1)PG = 1Р1, (1)

waarbij: P1 de waarschijnlijkheid is dat de eerste bewerking wordt uitgevoerd, afzonderlijk genomen; r - aantal bewerkingen op volgorde in het technologische proces.

Deze formule kan worden gebruikt om de stochastische kenmerken van een specifieke planningsperiode te bepalen, wanneer het assortiment producten dat in productie wordt genomen en de lijst met werken die in een bepaalde planningsperiode moeten worden uitgevoerd, bekend zijn, evenals hun stochastische kenmerken, die empirisch bepaald. In de praktijk wordt alleen aan de genoemde eisen voldaan door bepaalde soorten massaproductie met een hoge statistische stabiliteit van de kenmerken.

De waarschijnlijkheid van het uitvoeren van één individuele bewerking hangt niet alleen af ​​van externe factoren, maar ook van de specifieke aard van het werk dat wordt uitgevoerd en van het type montage-eenheid.

Om de parameters van de gegeven formule te bepalen, zelfs met een relatief klein aantal assemblage-eenheden, met kleine veranderingen in het productassortiment, is een aanzienlijke hoeveelheid experimentele gegevens vereist, wat aanzienlijke materiële en organisatorische kosten met zich meebrengt en deze bepalingsmethode maakt de waarschijnlijkheid van een ononderbroken productie van producten met weinig nut.

Laten we het resulterende model onderzoeken om te zien of het vereenvoudigd kan worden. De initiële waarde van de analyse is de waarschijnlijkheid van een foutloze uitvoering van één handeling van het technologische proces van productproductie. In reële productieomstandigheden zijn de kansen op het uitvoeren van bewerkingen van elk type verschillend. Voor een specifiek technologisch proces hangt deze waarschijnlijkheid af van:

Over het type operatie dat wordt uitgevoerd;

Vanaf een specifieke montage-eenheid;

Van parallel vervaardigde producten;

Van externe factoren.

Laten we de invloed analyseren van schommelingen in de waarschijnlijkheid van het uitvoeren van één bewerking op de geaggregeerde kenmerken van het productieproces van productieproducten (volume van commerciële output, volume van onderhanden werk, enz.), bepaald met behulp van dit model. Het doel van het onderzoek is om de mogelijkheid te analyseren om verschillende kansen van het uitvoeren van één bewerking in het model te vervangen door een gemiddelde waarde.

Met de gecombineerde invloed van al deze factoren wordt rekening gehouden bij het berekenen van de geometrische gemiddelde waarschijnlijkheid van het uitvoeren van één bewerking van een gemiddeld technologisch proces. Uit een analyse van de moderne productie blijkt dat deze licht fluctueert: praktisch binnen de bandbreedte van 0,9 - 1,0.

Een duidelijk voorbeeld van hoe klein de kans is dat één operatie wordt voltooid

radio komt overeen met een waarde van 0,9, is het volgende abstracte voorbeeld. Laten we aannemen dat we tien onderdelen moeten maken. De technologische processen voor de vervaardiging van elk van hen omvatten tien bewerkingen. De waarschijnlijkheid dat elke bewerking wordt uitgevoerd is 0,9. Laten we eens kijken naar de waarschijnlijkheid dat verschillende aantallen technologische processen achterlopen op het schema.

Een willekeurige gebeurtenis, die erin bestaat dat een specifiek technologisch proces voor de vervaardiging van een assemblage-eenheid achterloopt op het schema, komt overeen met de onderprestatie van ten minste één bewerking in dit proces. Het is het tegenovergestelde van een gebeurtenis: het uitvoeren van alle operaties zonder fouten. De waarschijnlijkheid is 1 - 0,910 = 0,65. Omdat vertragingen in het schema onafhankelijke gebeurtenissen zijn, kan de Bernoulli-kansverdeling worden gebruikt om de waarschijnlijkheid te bepalen dat verschillende aantallen processen achterlopen op het schema. De berekeningsresultaten worden weergegeven in Tabel 1.

tafel 1

Berekening van de waarschijnlijkheid dat u achterloopt op het schema van technologische processen

k С^о0.35к0.651О-к Bedrag

De tabel laat zien dat met een waarschijnlijkheid van 0,92 vijf technologische processen, dat wil zeggen de helft, achterlopen op het schema. De wiskundige verwachting van het aantal technologische processen dat achterloopt op schema zal 6,5 zijn. Dit betekent dat gemiddeld 6,5 op de 10 assemblage-eenheden achterlopen op schema. Dat betekent dat gemiddeld 3 tot 4 onderdelen zonder storingen worden vervaardigd. De auteur kent geen voorbeelden van een dergelijk laag niveau van arbeidsorganisatie in de echte productie. Uit het beschouwde voorbeeld blijkt duidelijk dat de opgelegde beperking van de waarschijnlijkheid van het foutloos uitvoeren van één operatie niet in tegenspraak is met de praktijk. Aan alle bovenstaande eisen wordt voldaan door de productieprocessen van mechanische assemblagewerkplaatsen voor de productie van machinebouw.

Om de stochastische kenmerken van productieprocessen te bepalen, wordt dus voorgesteld een waarschijnlijkheidsverdeling te construeren voor de operationele uitvoering van één technologisch proces, die de waarschijnlijkheid uitdrukt van het uitvoeren van een reeks technologische bewerkingen voor het vervaardigen van een assemblage-eenheid via de geometrisch gemiddelde waarschijnlijkheid van één handeling uitvoeren. De waarschijnlijkheid om K-bewerkingen uit te voeren zal in dit geval gelijk zijn aan het product van de kansen om elke bewerking te voltooien, vermenigvuldigd met de waarschijnlijkheid dat de rest van het technologische proces niet wordt voltooid, wat samenvalt met de waarschijnlijkheid dat de (K + T)de bewerking. Dit feit wordt verklaard door het feit dat als een bewerking niet wordt uitgevoerd, de volgende bewerkingen niet kunnen worden uitgevoerd. De laatste invoer verschilt van de rest, omdat deze de waarschijnlijkheid uitdrukt van een volledige voltooiing van het hele technologische proces zonder fouten. De waarschijnlijkheid dat de eerste bewerkingen van een technologisch proces worden voltooid, is op unieke wijze gerelateerd aan de waarschijnlijkheid dat de resterende bewerkingen niet worden voltooid. De kansverdeling heeft dus de volgende vorm:

RY=0)=ð°(1-ð),

Р(§=1) = р1(1-р), (2)

Р(^=1) = р1(1-р),

P(^=u-1) = pn"1(1 - p), P(£=p) = pn,

waarbij: ^ - willekeurige variabele, het aantal uitgevoerde bewerkingen;

p is de geometrische gemiddelde waarschijnlijkheid van het uitvoeren van één bewerking, n is het aantal bewerkingen in het technologische proces.

De eerlijkheid van het toepassen van de resulterende waarschijnlijkheidsverdeling met één parameter wordt intuïtief zichtbaar uit de volgende redenering. Stel dat we het geometrische gemiddelde hebben berekend van de waarschijnlijkheid dat we één 1-operatie uitvoeren op een steekproef bestaande uit n elementen, waarbij n groot genoeg is.

р = УШТ7Р7= tl|p]t=1р!), (3)

waarbij: Iу - het aantal bewerkingen met dezelfde waarschijnlijkheid van uitvoering; ] - index van een groep bewerkingen met dezelfde waarschijnlijkheid van uitvoering; t is het aantal groepen bestaande uit bewerkingen met dezelfde waarschijnlijkheid van uitvoering;

^ = - - relatieve frequentie van optreden van operaties met waarschijnlijkheid van uitvoering p^.

Volgens de wet van de grote getallen, bij een onbeperkt aantal bewerkingen, neigt de relatieve frequentie van voorkomen in een reeks bewerkingen met bepaalde stochastische kenmerken qua waarschijnlijkheid naar de waarschijnlijkheid van deze gebeurtenis. Waaruit volgt dat

voor twee voldoende grote steekproeven = , wat betekent:

waarbij: t1, t2 - het aantal groepen in respectievelijk de eerste en tweede monsters;

1*, I2 - het aantal elementen in de groep van respectievelijk de eerste en tweede monsters.

Hieruit blijkt dat als de parameter voor een groot aantal tests wordt berekend, deze dicht bij de parameter P zal liggen die voor een gegeven voldoende groot monster wordt berekend.

Er moet aandacht worden besteed aan de verschillende nabijheid van de werkelijke waarde van de kansen om verschillende aantallen technologische procesbewerkingen uit te voeren. Alle elementen van de verdeling, behalve de laatste, bevatten een vermenigvuldiger (I - P). Omdat de waarde van parameter P in het bereik van 0,9 - 1,0 ligt, schommelt de vermenigvuldiger (I - P) tussen 0 - 0,1. Deze factor komt overeen met de factor (I - p;) in het oorspronkelijke model. De ervaring leert dat deze matching voor een bepaalde waarschijnlijkheid een fout tot 300% kan veroorzaken. In de praktijk is men echter meestal niet geïnteresseerd in de waarschijnlijkheid van het uitvoeren van een bepaald aantal bewerkingen, maar in de waarschijnlijkheid van een volledige uitvoering zonder fouten in het technologische proces. Deze waarschijnlijkheid bevat geen vermenigvuldiger (I - P) en daarom is de afwijking van de werkelijke waarde klein (vrijwel niet meer dan 3%). Voor economische problemen is dit een vrij hoge nauwkeurigheid.

De waarschijnlijkheidsverdeling van een op deze manier geconstrueerde willekeurige variabele is een stochastisch dynamisch model van het fabricageproces van een assemblage-eenheid. Er is impliciet tijd bij betrokken, zoals de duur van één operatie. Met het model kunnen we de waarschijnlijkheid bepalen dat na een bepaalde periode (het overeenkomstige aantal bewerkingen) het productieproces van de vervaardiging van een assemblage-eenheid niet zal worden onderbroken. Voor mechanische assemblagewerkplaatsen van de machinebouwproductie is het gemiddelde aantal bewerkingen van één technologisch proces vrij groot (15 - 80). Als we dit aantal als een basisaantal beschouwen en aannemen dat er bij de vervaardiging van één assemblage-eenheid gemiddeld een klein aantal uitgebreide soorten werk (draaien, metaalbewerking, frezen, enz.) wordt gebruikt,

vervolgens kan de resulterende verdeling met succes worden gebruikt om de invloed van stochastische verstoringen op het verloop van het productieproces te beoordelen.

De auteur voerde een simulatie-experiment uit dat op dit principe was gebaseerd. Om een ​​reeks pseudowillekeurige waarden te genereren die uniform verdeeld zijn over het interval 0,9 - 1,0, werd een pseudowillekeurige getalsensor gebruikt die in het werk wordt beschreven. De experimentsoftware is geschreven in de algoritmische taal COBOL.

In het experiment worden producten van gegenereerde willekeurige variabelen gevormd, die de werkelijke kansen op de volledige uitvoering van een specifiek technologisch proces simuleren. Ze worden vergeleken met de waarschijnlijkheid van het uitvoeren van een technologisch proces verkregen met behulp van een geometrische gemiddelde waarde, die werd berekend voor een bepaalde reeks willekeurige getallen met dezelfde verdeling. Het geometrische gemiddelde wordt verheven tot een macht die gelijk is aan het aantal factoren in het product. Het relatieve procentuele verschil tussen deze twee resultaten wordt berekend. Het experiment wordt herhaald voor een ander aantal factoren in de producten en het aantal getallen waarvoor het geometrische gemiddelde wordt berekend. Een fragment van de experimentresultaten wordt getoond in Tabel 2.

tafel 2

Resultaten van het simulatie-experiment:

n - mate van geometrische gemiddelde waarde; k - productgraad

p naar productafwijking naar productafwijking naar productafwijking

10 1 0,9680 0% 7 0,7200 3% 13 0,6277 -7%

10 19 0,4620 -1% 25 0,3577 -1% 31 0,2453 2%

10 37 0,2004 6% 43 0,1333 4% 49 0,0888 6%

10 55 0,0598 8% 61 0,0475 5% 67 0,0376 2%

10 73 0,0277 1% 79 0,0196 9% 85 0,0143 2%

10 91 0,0094 9% 97 0,0058 0%

13 7 0,7200 8% 13 0,6277 0% 19 0,4620 0%

13 25 0,3577 5% 31 0,2453 6% 37 0,2004 4%

13 43 0,1333 3% 49 0,0888 8% 55 0,0598 8%

13 61 0,0475 2% 67 0,0376 8% 73 0,0277 2%

13 79 0,0196 1% 85 0,0143 5% 91 0,0094 5%

16 1 0,9680 0% 7 0,7200 9%

16 13 0,6277 2% 19 0,4620 3% 25 0,3577 0%

16 31 0,2453 2% 37 0,2004 2% 43 0,1333 5%

16 49 0,0888 4% 55 0,0598 0% 61 0,0475 7%

16 67 0,0376 5% 73 0,0277 5% 79 0,0196 2%

16 85 0,0143 4% 91 0,0094 0% 97 0,0058 4%

19 4 0,8157 4% 10 0,6591 1% 16 0,5795 -9%

19 22 0,4373 -5% 28 0,2814 5% 34 0,2256 3%

19 40 0,1591 6% 46 0,1118 1% 52 0,0757 3%

19 58 0,0529 4% 64 0,0418 3% 70 0,0330 2%

19 76 0,0241 6% 82 0,0160 1% 88 0,0117 8%

19 94 0,0075 7% 100 0,0048 3%

22 10 0,6591 4% 16 0,5795 -4% 22 0,4373 0%

22 28 0,2814 5% 34 0,2256 5% 40 0,1591 1%

22 46 0,1118 1% 52 0,0757 0% 58 0,0529 8%

22 64 0,0418 1% 70 0,0330 3% 76 0,0241 5%

22 82 0,0160 4% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

22 100 0,0048 1%

25 4 0,8157 3% 10 0,6591 0%

25 16 0,5795 0% 72 0,4373 -7% 28 0,2814 2%

25 34 0,2256 9% 40 0,1591 1% 46 0,1118 4%

25 52 0,0757 5% 58 0,0529 4% 64 0,0418 2%

25 70 0,0330 0% 76 0,0241 2% 82 0,0160 4%

28 4 0,8157 2% 10 0,6591 -2% 16 0,5795 -5%

28 22 0,4373 -3% 28 0,2814 2% 34 0,2256 -1%

28 40 0,1591 6% 46 0,1118 6% 52 0,0757 1%

28 58 0,0529 4% 64 0,041 8 9% 70 0,0330 5%

28 70 0,0241 2% 82 0,0160 3% 88 0,0117 1%

28 94 0,0075 100 0,0048 5%

31 10 0,6591 -3% 16 0,5795 -5% 22 0,4373 -4%

31 28 0,2814 0% 34 0,2256 -3% 40 0,1591 4%

31 46 0,1118 3% 52 0,0757 7% 58 0,0529 9%

31 64 0,0418 4% 70 0,0330 0% 76 0,0241 6%

31 82 0,0160 6% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

Bij het opzetten van dit simulatie-experiment was het doel om de mogelijkheid te onderzoeken om, met behulp van waarschijnlijkheidsverdeling (2), een van de uitgebreide statistische kenmerken van het productieproces te verkrijgen - de waarschijnlijkheid van het zonder falen uitvoeren van één technologisch proces voor het vervaardigen van een assemblage-eenheid, bestaande uit K-bewerkingen. Voor een specifiek technologisch proces is deze waarschijnlijkheid gelijk aan het product van de kansen om al zijn bewerkingen uit te voeren. Zoals uit het simulatie-experiment blijkt, bedragen de relatieve afwijkingen van de waarschijnlijkheid verkregen met behulp van het ontwikkelde probabilistische model niet meer dan 9%.

Omdat het simulatie-experiment gebruik maakt van een waarschijnlijkheidsverdeling die ongemakkelijker is dan de werkelijke, zullen de praktische verschillen nog kleiner zijn. Afwijkingen worden waargenomen zowel in de richting van afname als in de richting van overschrijding van de op basis van de gemiddelde kenmerken verkregen waarde. Dit feit suggereert dat als we de afwijking in de waarschijnlijkheid van een storingsvrije uitvoering niet van een enkel technologisch proces, maar van meerdere beschouwen, deze aanzienlijk minder zal zijn. Het is duidelijk dat hoe meer technologische processen worden overwogen, hoe kleiner deze zullen zijn. Het simulatie-experiment toont dus een goede overeenkomst tussen de waarschijnlijkheid van het voltooien van het technologische proces van het vervaardigen van producten zonder fouten en de waarschijnlijkheid die wordt verkregen bij gebruik van een wiskundig model met één parameter.

Daarnaast zijn simulatie-experimenten uitgevoerd:

Het bestuderen van de statistische convergentie van de schatting van deameter;

Het bestuderen van de statistische stabiliteit van de wiskundige verwachting van het aantal bewerkingen dat zonder fouten is voltooid;

Methoden analyseren voor het bepalen van de duur van de minimale planningsperiode en het beoordelen van de discrepantie tussen geplande en werkelijke indicatoren van het productieproces, wanneer de geplande en productieperioden niet in de tijd samenvallen.

Experimenten hebben een goede overeenkomst aangetoond tussen theoretische gegevens verkregen door het gebruik van technieken en empirische gegevens verkregen door simulatie

Serie "Economie en Management"

Computers van echte productieprocessen.

Op basis van de toepassing van het geconstrueerde wiskundige model heeft de auteur drie specifieke methoden ontwikkeld om de efficiëntie van de bedrijfsvoering te vergroten. Om ze te testen werden afzonderlijke simulatie-experimenten uitgevoerd.

1. Methodologie voor het bepalen van het rationele volume van de productietaak voor de planningsperiode.

2. Methodologie voor het bepalen van de meest effectieve duur van de operationele planningsperiode.

3. Beoordeling van mismatch wanneer er een tijdsverschil is tussen de plannings- en productieperiodes.

Literatuur

1. Mordasov Yu.P. Bepaling van de duur van de minimale operationele planningsperiode onder omstandigheden van willekeurige verstoringen / Economisch-wiskundige en simulatiemodellering met behulp van een computer. - M: MIU im. S. Ordzjonikidze, 1984.

2. Naylor T. Machinesimulatie-experimenten met modellen van economische systemen. -M: Mir, 1975.

De overgang van concentratie naar diversificatie is een effectieve manier om de economie van kleine en middelgrote bedrijven te ontwikkelen

prof. Kozlenko N. N. Universiteit voor Werktuigbouwkunde

Annotatie. Dit artikel onderzoekt het probleem van het kiezen van de meest effectieve ontwikkeling van Russische kleine en middelgrote bedrijven via de overgang van een concentratiestrategie naar een diversificatiestrategie. De kwesties van de haalbaarheid van diversificatie, de voordelen ervan, criteria voor het kiezen van een diversificatietraject worden overwogen, en er wordt een classificatie van diversificatiestrategieën gegeven.

Trefwoorden: kleine en middelgrote bedrijven; diversificatie; strategische pasvorm; competitieve voordelen.

Actieve veranderingen in de parameters van de macro-omgeving (veranderingen in de marktomstandigheden, de opkomst van nieuwe concurrenten in aanverwante industrieën, een toename van het concurrentieniveau in het algemeen) leiden vaak tot het niet uitvoeren van de geplande strategische plannen van kleine en middelgrote bedrijven , verliezen in de financiële en economische stabiliteit van ondernemingen als gevolg van een aanzienlijke kloof tussen de objectieve omstandigheden van kleine en middelgrote ondernemingen en het technologieniveau om deze te beheren.

De belangrijkste voorwaarden voor economische stabiliteit en de mogelijkheid om concurrentievoordelen te behouden zijn het vermogen van het managementsysteem om tijdig te reageren en interne productieprocessen te veranderen (verander het assortiment, rekening houdend met diversificatie, herbouw productie- en technologische processen, verander de structuur van de organisatie, gebruik innovatieve marketing- en managementinstrumenten).

Een studie van de praktijk van Russische kleine en middelgrote ondernemingen op het gebied van productietype en serviceonderhoud heeft ons in staat gesteld de volgende kenmerken en fundamentele oorzaak-en-gevolgrelaties te identificeren met betrekking tot de huidige trend van kleine ondernemingen die overgaan van concentratie naar diversificatie.

De meeste MKB-bedrijven beginnen als kleine bedrijven met één lijn die lokale of regionale markten bedienen. Aan het begin van zijn activiteiten is het productassortiment van een dergelijk bedrijf zeer beperkt, zijn kapitaalbasis zwak en zijn concurrentiepositie kwetsbaar. Doorgaans is de strategie van dergelijke bedrijven gericht op omzetgroei en marktaandeel

Zoals de naam al doet vermoeden, is dit type model gericht op het beschrijven van systemen die statistisch regelmatig willekeurig gedrag vertonen, en de tijd daarin kan worden beschouwd als een discrete waarde. De essentie van tijddiscretisatie is dezelfde als in discreet-deterministische modellen. Modellen van dit soort systemen kunnen worden gebouwd op basis van twee geformaliseerde beschrijvingsschema's. Ten eerste zijn dit eindige-verschilvergelijkingen, waarvan de variabelen functies gebruiken die willekeurige processen definiëren. Ten tweede gebruiken ze probabilistische automaten.

Een voorbeeld van het construeren van een discreet-stochastisch systeem. Laat er een productiesysteem zijn, waarvan de structuur wordt getoond in Fig. 3.8. Binnen dit systeem beweegt een homogene materiaalstroom zich door de stadia van opslag en productie.

Stel bijvoorbeeld dat een grondstofstroom bestaat uit metaalblokken die in een inkomend magazijn worden opgeslagen. Vervolgens gaan deze blanco's naar de productie, waar ze worden gebruikt om een ​​soort product te produceren. Afgewerkte producten worden opgeslagen in het uitvoermagazijn, vanwaar ze worden meegenomen voor verdere acties (overgebracht naar de volgende productiefasen of voor verkoop). Over het algemeen zet een dergelijk productiesysteem materiaalstromen van grondstoffen, materialen en halffabrikaten om in een stroom eindproducten.

Laat de tijdstap in dit productiesysteem gelijk zijn aan één (D? = 1). Wij zullen een verandering in de werking van dit systeem als één geheel beschouwen. We gaan ervan uit dat het productieproces van een product één keer duurt.

Rijst. 3.8, Schema van het productiesysteem

Het productieproces wordt gecontroleerd door een speciale toezichthoudende instantie, die een productproductieplan krijgt in de vorm van een beoogde productie-intensiteit (het aantal producten dat per tijdseenheid geproduceerd moet worden, in dit geval per ploegendienst). Laten we deze intensiteit aanduiden dt. In feite is dit de productiesnelheid. Laten dt =a+ bt, dat wil zeggen dat het een lineaire functie is. Dit betekent dat bij elke volgende dienst het plan met meer wordt verhoogd bt.

Omdat we te maken hebben met een homogene materiaalstroom, zijn wij van mening dat gemiddeld het volume aan grondstoffen dat per tijdseenheid het systeem binnenkomt, het productievolume per tijdseenheid en het volume eindproducten dat per tijdseenheid het systeem verlaat, gemiddeld moet zijn gelijk zijn dt.

De input- en outputstromen voor de toezichthoudende instantie zijn oncontroleerbaar, hun intensiteit (of snelheid - respectievelijk het aantal blokken of producten per tijdseenheid dat het systeem binnenkomt en verlaat) moet gelijk zijn dt. Tijdens het transport kunnen de plano's echter verloren gaan, sommige zijn van slechte kwaliteit, of om de een of andere reden komen er meer aan dan nodig is, enz. Daarom nemen we aan dat de invoerstroom de intensiteit heeft:

xtin=dt+ξt in,

waarbij ξ 1 in een uniform verdeelde willekeurige variabele is van -15 tot +15.

Ongeveer dezelfde processen kunnen plaatsvinden met de uitvoerstroom. Daarom heeft de uitgangsstroom de volgende intensiteit:

x t in y x = d t +ξt uit,

waarbij ξ tout een normaal verdeelde willekeurige variabele is met een wiskundige verwachting van nul en een variantie gelijk aan 15.

We gaan ervan uit dat er tijdens het productieproces ongevallen plaatsvinden die verband houden met het niet verschijnen van werknemers op het werk, machinestoringen, enz. Deze willekeur wordt beschreven door een normaal verdeelde willekeurige variabele met een wiskundige verwachting en variantie van nul gelijk aan 15. Laten we dit als ξ t/ beschouwen. Het productieproces duurt een tijdseenheid, gedurende welke tijd het uit het invoermagazijn wordt verwijderd. x t grondstoffen, vervolgens worden deze grondstoffen in dezelfde tijdseenheid verwerkt en overgebracht naar het uitvoermagazijn. De toezichthoudende instantie ontvangt op drie mogelijke manieren informatie over de werking van het systeem (ze zijn gemarkeerd met de nummers 1, 2, 3 in figuur 3.8). Wij zijn van mening dat deze methoden voor het verkrijgen van informatie om de een of andere reden elkaar uitsluiten in het systeem.

Methode 1. De toezichthoudende instantie ontvangt alleen informatie over de toestand van het inputmagazijn (bijvoorbeeld over veranderingen in de voorraden in het magazijn of over afwijkingen in het voorraadvolume ten opzichte van hun standaardniveau) en gebruikt deze om de snelheid van het productieproces te beoordelen (de snelheid van terugtrekking van grondstoffen uit het magazijn):

1) ( u t invoer - u t-1 invoer )- verandering in het voorraadvolume in het magazijn (u t input - volume van de grondstoffen in het inputmagazijn op dat moment). T);

2) (ù- u t in) - afwijking van het volume grondstoffen in het invoermagazijn van de voorraadnorm.

Manier 2. De toezichthoudende instantie ontvangt informatie rechtstreeks van de productie (xt- werkelijke productie-intensiteit) en vergelijkt deze met de beoogde intensiteit (dt-xt).

Methode 3. De toezichthoudende instantie ontvangt informatie zoals bij methode 1, maar dan van het uitvoermagazijn in de vorm ( je gaat uit - u t-1 uit )- of (ù-u tout). Hij beoordeelt het productieproces ook op basis van indirecte gegevens: de toename of afname van de voorraden eindproducten.

Om een ​​bepaalde outputsnelheid te behouden dt, de toezichthoudende instantie neemt beslissingen ja,(of (y t - y t - 1)), gericht op het veranderen van de werkelijke outputintensiteit xt. Als oplossing informeert de toezichthoudende instantie de productie over de intensiteitswaarden waarop deze moet werken, d.w.z. xt = yt. De tweede optie voor de controleoplossing is (y t -y t-1), die. de toezichthoudende instantie vertelt de productie hoeveel de productie-intensiteit moet worden verhoogd of verlaagd (xt-xt-1).

Afhankelijk van de methode voor het verkrijgen van informatie en het type variabele dat de controleactie beschrijft, kunnen de volgende grootheden de besluitvorming beïnvloeden.

1. Beslisgrondslag (de waarde waaraan de werkelijke productie-intensiteit gelijk zou moeten zijn als er geen afwijkingen zouden zijn):

richtlijnintensiteit van de release op dit moment t(dt);

mate van verandering van de richtintensiteit van de emissie op dit moment t(dt-dt-1).

2. Afwijking bedrag:

afwijking van de werkelijke output van het doel (dt-xt);

afwijking van het werkelijke outputvolume ten opzichte van het geplande volume

Σ d τ - Σ x τ

verandering in inputvoorraadniveau ( ( u t invoer - u t-1 ingang) of uitgang

(je uit - u t-1 out) magazijnen;

afwijking van het voorraadniveau bij de input (ù- u t input) of output ( ù -u t out) magazijnen vanaf het standaardniveau.

Over het algemeen bestaat de managementbeslissing van de toezichthoudende instantie uit de volgende componenten:

Voorbeelden van oplossingen:

yt = dt+y(dt-1 -xt-1);

y t = d t -y(ù -u tout)

Door beslissingen in verschillende vormen te nemen, streeft de regelgevende instantie ernaar het hoofddoel te bereiken: de werkelijke outputintensiteit dichter bij de beoogde intensiteit brengen. Hij kan zijn beslissingen echter niet altijd direct richten op de mate waarin dit doel wordt bereikt. (dt - xt). De uiteindelijke resultaten kunnen worden uitgedrukt in het bereiken van lokale doelen: stabilisatie van de voorraadniveaus in het invoer- of uitvoermagazijn ( en t in uit) - en t-1 input(output)) of om het voorraadniveau in het magazijn dichter bij de standaard te brengen (En-En in uit)). Afhankelijk van het bereikte doel wordt in de controlebeslissing bepaald welk type teken (+ of -) vóór de mismatchfractie wordt gebruikt voor de regulering.

Laat in ons geval de regelgevende instantie informatie ontvangen over de staat van het inputmagazijn (verandering in voorraadniveau). Het is bekend dat er in elk besturingssysteem vertragingen optreden bij de ontwikkeling en implementatie van oplossingen. In dit voorbeeld arriveert informatie over de status van het inputmagazijn met een vertraging van één tijdstap bij de regelgevende instantie. Deze vertraging wordt de vertraging bij het nemen van een beslissing genoemd en betekent dat tegen de tijd dat informatie wordt ontvangen van de toezichthoudende instantie, de werkelijke status van het voorraadniveau in het invoermagazijn al anders zal zijn. Zodra de toezichthouder een besluit heeft genomen y t het zal ook tijd kosten (in ons voorbeeld zal dit een tijdseenheid zijn) om de beslissing bij de executeur te brengen. Dit betekent dat de werkelijke productie-intensiteit gelijk is aan ja, maar op de beslissing die het bestuursorgaan een tijd geleden heeft genomen. Dit is een vertraging in de uitvoering van het besluit.

Om ons productiesysteem te beschrijven hebben we de volgende vergelijkingen:

x tBX =dt +ξ t in

x t uit =dt+ξ tout;

y t = d.t + y(u-u t-2 ingang)

xt = y t-1 + ξt

u blik - u t-1 invoer = x t in - x t

Met dit systeem van vergelijkingen kunnen we een model bouwen van een productiesysteem waarin de invoervariabelen zullen voorkomen dt,ξ t in, ξ t uit, ξ t,a

vrije dag - xt. Dit komt omdat een waarnemer van buitenaf onze productie beschouwt als een systeem dat grondstoffen met een intensiteit ontvangt d.t en met intensiteit producten produceren xt, onderhevig aan willekeur ξ t in, ξ t uit, ξ t. Nadat we alle vervangingen in het resulterende stelsel van vergelijkingen hebben uitgevoerd, komen we tot één dynamische vergelijking die het gedrag karakteriseert x t afhankelijk van dt,ξt in, ξt uit, ξt.

Het hierboven besproken model bevatte geen beperkingen op magazijnvolumes en productiecapaciteit. Als we aannemen dat de capaciteit van het invoermagazijn V in is, is de capaciteit van het uitvoermagazijn V BX en is de productiecapaciteit M, dan zal het nieuwe stelsel van vergelijkingen voor zo’n niet-lineair productiesysteem er als volgt uitzien:

x tBX=min((d t+ ξt in),(V in - u t in)) - je kunt niet meer in het invoermagazijn stoppen dan de ruimte toelaat;

X uit =min((d t+ ξt uit),(V uit - u t out)) - u kunt niet meer producten uit het uitvoermagazijn nemen dan daar beschikbaar zijn;

y t =d t + y(u blik -u t-1 ingang)

x tBX = min(( u blik, ( y t-1+ ξtin), M,(V uit - u t out)) - het is onmogelijk om meer producten te produceren dan besteld, de beperkende factoren zijn het aantal beschikbare blanco's en de beschikbaarheid van vrije ruimte in het uitvoermagazijn;

u blik -u t-1 invoer = x tBX-x t

In de latere hoofdstukken van dit boek worden stochastische processen bijna altijd weergegeven met behulp van lineaire differentiële systemen, aangedreven door witte ruis. Deze representatie van een stochastisch proces neemt gewoonlijk de volgende vorm aan. Laten we dat doen

een - witte ruis. Door een dergelijke weergave van het stochastische proces V te kiezen, kan dit worden gemodelleerd. Het gebruik van dergelijke modellen kan als volgt worden gerechtvaardigd.

a) Stochastische verschijnselen die verband houden met de invloed van snel veranderende fluctuaties op een traagheidsdifferentiaalsysteem komen vaak voor in de natuur. Een typisch voorbeeld van witte ruis die een differentieel systeem beïnvloedt, is thermische ruis in een elektronisch circuit.

b) Zoals uit het volgende zal blijken, wordt in de lineaire besturingstheorie vrijwel altijd alleen rekening gehouden met de gemiddelde waarde. covariantie van een stochastisch proces. Voor een lineair model is het altijd mogelijk om experimenteel verkregen kenmerken van de gemiddelde waarde en covariantiematrix met willekeurige nauwkeurigheid te benaderen.

c) Soms doet zich het probleem voor bij het modelleren van een stationair stochastisch proces met een bekende spectrale energiedichtheid. In dit geval is het altijd mogelijk om een ​​stochastisch proces te genereren als een proces aan de uitgang van een lineair differentieel systeem; in dit geval benadert de matrix van spectrale energiedichtheden met willekeurige nauwkeurigheid de matrix van spectrale energiedichtheden van het initiële stochastische proces.

Voorbeelden 1.36 en 1.37, evenals probleem 1.11, illustreren de modelleringsmethode.

Voorbeeld 1.36. Differentieelsysteem van de eerste orde

Stel dat de gemeten covariantiefunctie van een stochastisch scalair proces waarvan bekend is dat het stationair is, wordt beschreven door de exponentiële functie

Dit proces kan worden gemodelleerd als de toestand van een differentieel systeem van de eerste orde (zie voorbeeld 1.35).

waar is de intensiteit van witte ruis - een stochastische grootheid zonder gemiddelde en variantie.

Voorbeeld 1.37. Mengtank

Beschouw de mengtank uit voorbeeld 1.31 (paragraaf 1.10.3) en bereken daarvoor de variantiematrix van de uitgangsvariabele. Voorbeeld 1.31 gaat ervan uit dat concentratiefluctuaties in stromingen worden beschreven door exponentieel gecorreleerde ruis en dus kunnen worden gemodelleerd als een oplossing hiervoor. een eerste-orde systeem dat wordt opgewonden door witte ruis. Laten we nu aan de differentiaalvergelijking van de mengtank de vergelijkingen toevoegen van modellen van stochastische processen die we verkrijgen

Hier is de intensiteit van de scalaire witte ruis, zodat

Om de variantie van het proces gelijk te krijgen, nemen we aan dat we voor het proces een soortgelijk model gebruiken. Zo verkrijgen we een stelsel van vergelijkingen

480 wrijven. | 150 UAH | $7.5 ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC",BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Proefschrift - 480 RUR, aflevering 10 minuten, de klok rond, zeven dagen per week en op feestdagen

Demidova Anastasia Vyacheslavovna. Methode voor het construeren van stochastische modellen van processen in één stap: proefschrift... kandidaat voor fysische en wiskundige wetenschappen: 05.13.18 / Anastasia Vyacheslavovna Demidova [Plaats van verdediging: Peoples' Friendship University of Russia]. P.

Invoering

Hoofdstuk 1. Review van werken over het onderwerp van het proefschrift 14

1.1. Overzicht van populatiedynamische modellen 14

1.2. Stochastische populatiemodellen 23

1.3. Stochastische differentiaalvergelijkingen 26

1.4. Informatie over stochastische calculus 32

Hoofdstuk 2. Methode voor het modelleren van éénstapsprocessen 39

2.1. Processen in één stap. Kolmogorov-Chapman-vergelijking. Basiskinetische vergelijking 39

2.2. Een methode voor het modelleren van multidimensionale éénstapsprocessen. 47

2.3. Numerieke modellering 56

Hoofdstuk 3. Toepassing van de éénstaps procesmodelleringsmethode 60

3.1. Stochastische modellen van bevolkingsdynamiek 60

3.2. Stochastische modellen van populatiesystemen met verschillende inter- en intraspecifieke interacties 75

3.3. Stochastisch model van de verspreiding van netwerkwormen. 92

3.4. Stochastische modellen van peer-to-peer-protocollen 97

Conclusie 113

Literatuur 116

Stochastische differentiaalvergelijkingen

Eén van de doelstellingen van het proefschrift is het probleem van het schrijven van een stochastische differentiaalvergelijking voor een systeem, zodat de stochastische term gerelateerd is aan de structuur van het systeem dat bestudeerd wordt. Een mogelijke oplossing voor dit probleem is om de stochastische en deterministische delen uit dezelfde vergelijking te verkrijgen. Voor deze doeleinden is het handig om de kinetische basisvergelijking te gebruiken, die kan worden benaderd door de Fokker-Planck-vergelijking, waarvoor op zijn beurt de equivalente stochastische differentiaalvergelijking kan worden geschreven in de vorm van de Langevin-vergelijking.

Sectie 1.4. bevat de basisinformatie die nodig is om het verband aan te geven tussen de stochastische differentiaalvergelijking en de Fokker-Planck-vergelijking, evenals de basisconcepten van stochastische calculus.

Het tweede hoofdstuk biedt basisinformatie uit de theorie van willekeurige processen en formuleert op basis van deze theorie een methode voor het modelleren van éénstapsprocessen.

Paragraaf 2.1 biedt basisinformatie uit de theorie van willekeurige eenstapsprocessen.

Eénstapsprocessen worden opgevat als Markov-processen in continue tijd die waarden aannemen in het bereik van gehele getallen, waarvan de overgangsmatrix alleen overgangen tussen aangrenzende secties toestaat.

We beschouwen een multidimensionaal eenstapsproces X() = (i(),2(), ...,n()) = ( j(), = 1, ) , (0.1) dat varieert langs het segment, d.w.z. Є, waarbij de lengte is van het tijdsinterval waarin proces X() is opgegeven. De verzameling G = (x, = 1, Є NQ x NQ1 is een verzameling discrete waarden die een willekeurig proces kan aannemen.

Voor een gegeven eenstapsproces worden respectievelijk de kansen op overgangen per tijdseenheid s+ en s van de toestand Xj naar de toestand Xj__i en Xj_i geïntroduceerd. Er wordt aangenomen dat de waarschijnlijkheid van overgang van toestand x naar twee of meer stappen per tijdseenheid erg klein is. Daarom kunnen we zeggen dat de vector Xj van de toestand van het systeem verandert in stappen van lengte Г( en dan, in plaats van overgangen van x naar Xj+i en Xj_i, kunnen we overgangen overwegen van X naar X + Гі en X - Гі, respectievelijk.

Bij het modelleren van systemen waarin tijdsevolutie plaatsvindt als gevolg van de interactie van systeemelementen, is het handig om dit te beschrijven met behulp van de belangrijkste kinetische vergelijking (een andere naam is de controlevergelijking, en in de Engelse literatuur wordt dit de Master-vergelijking genoemd).

Vervolgens rijst de vraag hoe een beschrijving van het onderzochte systeem kan worden verkregen, beschreven door processen in één stap, met behulp van een stochastische differentiaalvergelijking in de vorm van de Langevin-vergelijking uit de fundamentele kinetische vergelijking. Formeel mogen alleen vergelijkingen die stochastische functies bevatten, als stochastische vergelijkingen worden geclassificeerd. Alleen de vergelijkingen van Langevin voldoen dus aan deze definitie. Ze houden echter rechtstreeks verband met andere vergelijkingen, namelijk de Fokker-Planck-vergelijking en de fundamentele kinetische vergelijking. Daarom lijkt het logisch om al deze vergelijkingen samen te beschouwen. Om dit probleem op te lossen wordt daarom voorgesteld om de belangrijkste kinetische vergelijking te benaderen met de Fokker-Planck-vergelijking, waarvoor we een equivalente stochastische differentiaalvergelijking kunnen schrijven in de vorm van de Langevin-vergelijking.

Paragraaf 2.2 formuleert een methode voor het beschrijven en stochastisch modelleren van systemen die worden beschreven door multidimensionale eenstapsprocessen.

Bovendien wordt aangetoond dat de coëfficiënten voor de Fokker-Planck-vergelijking onmiddellijk kunnen worden verkregen na het vastleggen van het interactieschema voor het onderzochte systeem, de toestandsveranderingsvector r en uitdrukkingen voor de overgangskansen s+ en s-, d.w.z. bij de praktische toepassing van deze methode is het niet nodig om de fundamentele kinetische vergelijking op te schrijven.

In paragraaf 2.3. Er wordt aandacht besteed aan de Runge-Kutta-methode voor de numerieke oplossing van stochastische differentiaalvergelijkingen, die in het derde hoofdstuk wordt gebruikt om de verkregen resultaten te illustreren.

Het derde hoofdstuk geeft een illustratie van de toepassing van de methode voor het construeren van stochastische modellen beschreven in het tweede hoofdstuk, waarbij gebruik wordt gemaakt van het voorbeeld van systemen die de groeidynamiek van op elkaar inwerkende populaties beschrijven, zoals “roofdier-prooi”, symbiose, concurrentie en hun modificaties. . Het doel is om ze te schrijven in de vorm van stochastische differentiaalvergelijkingen en om het effect van de introductie van stochastiek op het gedrag van het systeem te bestuderen.

In paragraaf 3.1. De toepassing van de methode beschreven in het tweede hoofdstuk wordt geïllustreerd aan de hand van het voorbeeld van het “roofdier-prooi”-model. Systemen met de interactie van twee soorten populaties van het type "roofdier-prooi" zijn uitgebreid bestudeerd, wat het mogelijk maakt om de verkregen resultaten te vergelijken met reeds bekende resultaten.

Analyse van de resulterende vergelijkingen toonde aan dat het voor het bestuderen van het deterministische gedrag van het systeem mogelijk is om de driftvector A van de resulterende stochastische differentiaalvergelijking te gebruiken, d.w.z. De ontwikkelde methode kan worden gebruikt om zowel stochastisch als deterministisch gedrag te analyseren. Daarnaast werd geconcludeerd dat stochastische modellen een meer realistische beschrijving geven van het gedrag van het systeem. In het bijzonder hebben voor het “roofdier-prooi”-systeem in het deterministische geval de oplossingen voor de vergelijkingen een periodieke vorm en blijft het fasevolume behouden, terwijl de introductie van stochastiek in het model een monotone toename van het fasevolume oplevert, wat duidt op de onvermijdelijke dood van een of beide populaties. Om de verkregen resultaten te visualiseren, werd numerieke simulatie uitgevoerd.

In sectie 3.2. De ontwikkelde methode wordt gebruikt om verschillende stochastische modellen van populatiedynamiek te verkrijgen en te analyseren, zoals het ‘roofdier-prooi’-model, waarbij rekening wordt gehouden met interspecifieke concurrentie tussen prooien, symbiose, concurrentie en het interactiemodel van drie populaties.

Informatie over stochastische calculus

De ontwikkeling van de theorie van willekeurige processen leidde tot een overgang in de studie van natuurlijke fenomenen van deterministische concepten en modellen van populatiedynamica naar probabilistische concepten en, als gevolg daarvan, de verschijning van een groot aantal werken gewijd aan stochastische modellering in de wiskundige biologie. , scheikunde, economie, enz.

Bij het beschouwen van deterministische populatiemodellen blijven belangrijke punten als de willekeurige invloed van verschillende factoren op de evolutie van het systeem blootgelegd. Bij het beschrijven van de populatiedynamiek moet rekening worden gehouden met de willekeurige aard van de voortplanting en overleving van individuen, evenals met willekeurige fluctuaties die in de loop van de tijd in de omgeving optreden en tot willekeurige fluctuaties in systeemparameters leiden. Daarom moeten probabilistische mechanismen die deze punten weerspiegelen, in elk model van populatiedynamiek worden geïntroduceerd.

Stochastische modellering maakt een completere beschrijving mogelijk van veranderingen in populatiekenmerken, waarbij rekening wordt gehouden met zowel alle deterministische factoren als willekeurige effecten die de conclusies uit deterministische modellen aanzienlijk kunnen veranderen. Aan de andere kant is het met hun hulp mogelijk om kwalitatief nieuwe aspecten van bevolkingsgedrag te identificeren.

Stochastische modellen van veranderingen in populatietoestanden kunnen worden beschreven met behulp van willekeurige processen. Onder bepaalde aannames kunnen we aannemen dat het gedrag van een bevolking, gegeven haar huidige toestand, niet afhangt van hoe deze toestand werd bereikt (dat wil zeggen: met een vast heden hangt de toekomst niet af van het verleden). Dat. Om populatiedynamische processen te modelleren, is het handig om Markov-geboorte-doodprocessen en de bijbehorende controlevergelijkingen te gebruiken, die in het tweede deel van het werk in detail worden beschreven.

N. N. Kalinkin gebruikt in zijn werken interactieschema's om de processen te illustreren die plaatsvinden in systemen met op elkaar inwerkende elementen en bouwt op basis van deze schema's modellen van deze systemen met behulp van het apparaat van vertakkende Markov-processen. De toepassing van deze aanpak wordt geïllustreerd door het voorbeeld van modelleringsprocessen in chemische, bevolkings-, telecommunicatie- en andere systemen.

Het werk onderzoekt probabilistische populatiemodellen, voor de constructie waarvan het apparaat van geboorte-doodprocessen wordt gebruikt, en de resulterende systemen van difvertegenwoordigen dynamische vergelijkingen voor willekeurige processen. Het artikel bespreekt ook methoden voor het vinden van oplossingen voor deze vergelijkingen.

Er zijn veel artikelen te vinden die zijn gewijd aan de constructie van stochastische modellen die rekening houden met verschillende factoren die de dynamiek van bevolkingsveranderingen beïnvloeden. De artikelen construeerden en analyseerden bijvoorbeeld een model van de bevolkingsdynamiek van een biologische gemeenschap waarin individuen voedselbronnen consumeren die schadelijke stoffen bevatten. En in het model van populatie-evolutie houdt het artikel rekening met de factor van vestiging van vertegenwoordigers van populaties in hun habitat. Het model is een systeem van zelfconsistente Vlasov-vergelijkingen.

Het is de moeite waard om de werken te vermelden die zijn gewijd aan de theorie van fluctuaties en de toepassing van stochastische methoden in de natuurwetenschappen, zoals natuurkunde, scheikunde, biologie, enz. In het bijzonder is het wiskundige model van veranderingen in het aantal populaties dat met elkaar in wisselwerking staat Het type ‘roofdier-prooi’ is gebouwd op basis van multidimensionale Markov-geboorte-doodprocessen.

Je kunt het ‘roofdier-prooi’-model beschouwen als de implementatie van geboorte-doodprocessen. In deze interpretatie is het mogelijk om ze te gebruiken voor modi in veel wetenschapsgebieden. In de jaren zeventig stelde M. Doi een methode voor om dergelijke modellen te bestuderen, gebaseerd op creatie-vernietigingsoperatoren (naar analogie met secundaire kwantisering). Hier kunnen werken genoteerd worden. Bovendien wordt deze methode nu actief ontwikkeld in de groep van M. M. Gnatich.

Een andere benadering voor het modelleren en bestuderen van modellen van populatiedynamiek houdt verband met de theorie van optimale controle. Hier kunnen werken genoteerd worden.

Opgemerkt kan worden dat de meeste werken gewijd aan de constructie van stochastische modellen van populatieprocessen gebruik maken van het apparaat van willekeurige processen om differentiaal-verschilvergelijkingen te verkrijgen en de daaropvolgende numerieke implementatie. Bovendien worden stochastische differentiaalvergelijkingen in de Langevin-vorm veel gebruikt, waarin een stochastische term wordt toegevoegd vanuit algemene overwegingen over het gedrag van het systeem en bedoeld is om willekeurige omgevingsinvloeden te beschrijven. Verdere studie van het model is hun kwalitatieve analyse of het vinden van oplossingen met behulp van numerieke methoden.

Stochastische differentiaalvergelijkingen Definitie 1. Een stochastische differentiaalvergelijking is een differentiaalvergelijking waarin een of meer termen een stochastisch proces vertegenwoordigen. Het meest gebruikte en bekende voorbeeld van een stochastische differentiaalvergelijking (SDE) is een vergelijking met een term die witte ruis beschrijft en kan worden beschouwd als een Wiener-proces Wt, t 0.

Stochastische differentiaalvergelijkingen zijn een belangrijk en veelgebruikt wiskundig apparaat bij het bestuderen en modelleren van dynamische systemen die onderhevig zijn aan verschillende willekeurige verstoringen.

Het begin van de stochastische modellering van natuurlijke verschijnselen wordt beschouwd als de beschrijving van het fenomeen Brownse beweging, dat werd ontdekt door R. Brown in 1827, toen hij onderzoek deed naar de beweging van plantenpollen in een vloeistof. De eerste rigoureuze verklaring van dit fenomeen werd onafhankelijk gegeven door A. Einstein en M. Smoluchowski. Het is vermeldenswaard dat er een verzameling artikelen is die de werken van A. Einstein en M. Smoluchowski over de Brownse beweging bevat. Deze studies hebben een belangrijke bijdrage geleverd aan de ontwikkeling van de theorie van de Brownse beweging en de experimentele verificatie ervan. A. Einstein creëerde de moleculaire kinetische theorie voor een kwantitatieve beschrijving van de Brownse beweging. De resulterende formules werden bevestigd door de experimenten van J. Perrin in 1908-1909.

Een methode voor het modelleren van multidimensionale éénstapsprocessen.

Er zijn twee benaderingen om de evolutie van systemen met op elkaar inwerkende elementen te beschrijven: de constructie van deterministische of stochastische modellen. In tegenstelling tot deterministische modellen maken stochastische modellen het mogelijk om rekening te houden met de probabilistische aard van de processen die plaatsvinden in de onderzochte systemen, evenals met de invloeden van de externe omgeving die willekeurige fluctuaties in de modelparameters veroorzaken.

Het onderwerp van studie zijn systemen, waarbij de processen die plaatsvinden kunnen worden beschreven met behulp van processen in één stap en processen waarbij de overgang van hun toestand naar een andere wordt geassocieerd met de interactie van systeemelementen. Een voorbeeld hiervan zijn modellen die de groeidynamiek van op elkaar inwerkende populaties beschrijven, zoals ‘roofdier-prooi’, symbiose, concurrentie en hun modificaties. Het doel is om SDE's voor dergelijke systemen op te schrijven en het effect te bestuderen van het introduceren van een stochastisch deel op het gedrag van de oplossing van de vergelijking die deterministisch gedrag beschrijft.

Chemische kinetica

De stelsels van vergelijkingen die ontstaan ​​bij het beschrijven van systemen met op elkaar inwerkende elementen liggen in veel opzichten dicht bij de stelsels van differentiaalvergelijkingen die de kinetiek van chemische reacties beschrijven. Het Lotka-Volterra-systeem werd bijvoorbeeld oorspronkelijk door Lotka ontwikkeld als een systeem dat een hypothetische chemische reactie beschrijft, en pas later werd het door Volterra ontwikkeld als een systeem dat het roofdier-prooimodel beschrijft.

Chemische kinetiek beschrijft chemische reacties met behulp van de zogenaamde stoichiometrische vergelijkingen - vergelijkingen die de kwantitatieve relaties van de reagentia en producten van een chemische reactie weerspiegelen en de volgende algemene vorm hebben: waarbij de natuurlijke getallen m en n stoichiometrische coëfficiënten worden genoemd. Dit is een symbolisch verslag van een chemische reactie waarbij thi moleculen van het reagens Xi, ni2 moleculen van het reagens Xh, ..., 3 moleculen van het reagens Xp, bij het aangaan van de reactie n moleculen van de stof Yi, n vormen. moleculen van de stof I2, ..., nq respectievelijk moleculen van de stof Yq.

In de chemische kinetiek wordt aangenomen dat een chemische reactie alleen kan plaatsvinden door directe interactie van reagentia, en de snelheid van een chemische reactie wordt gedefinieerd als het aantal deeltjes dat per tijdseenheid wordt gevormd in een eenheidsvolume.

Het belangrijkste postulaat van de chemische kinetiek is de wet van massaactie, die stelt dat de snelheid van een chemische reactie recht evenredig is met het product van de concentraties van reactanten in machten van hun stoichiometrische coëfficiënten. Als we daarom de concentraties van de overeenkomstige stoffen met XI en y I aangeven, hebben we een vergelijking voor de snelheid waarmee de concentratie van een stof in de loop van de tijd verandert als gevolg van een chemische reactie:

Vervolgens wordt voorgesteld om de basisideeën van de chemische kinetiek te gebruiken om systemen te beschrijven waarvan de evolutie in de tijd plaatsvindt als gevolg van de interactie van elementen van een bepaald systeem met elkaar, waarbij de volgende fundamentele veranderingen worden geïntroduceerd: 1. geen reactie Er wordt rekening gehouden met tarieven, maar met transitiekansen; 2. er wordt voorgesteld dat de waarschijnlijkheid van een overgang van de ene toestand naar de andere, die een gevolg is van een interactie, evenredig is met het aantal mogelijke interacties van een bepaald type; 3. om het systeem in deze methode te beschrijven, wordt de basiskinetische vergelijking gebruikt; 4. deterministische vergelijkingen worden vervangen door stochastische vergelijkingen. Een soortgelijke benadering voor het beschrijven van dergelijke systemen is in de werken te vinden. Om de processen te beschrijven die plaatsvinden in het gesimuleerde systeem, wordt voorgesteld om, zoals hierboven opgemerkt, Markov-eenstapsprocessen te gebruiken.

Beschouw een systeem dat bestaat uit verschillende typen elementen die op verschillende manieren met elkaar kunnen interageren. Laten we aangeven met een element van het -type, waarbij = 1, en met het aantal elementen van het -type.

Laten (), .

Laten we ervan uitgaan dat het bestand uit één deel bestaat. Dus in één interactiestap tussen een nieuw knooppunt dat een bestand wil downloaden en een knooppunt dat het bestand distribueert, downloadt het nieuwe knooppunt het volledige bestand en wordt het het distributieknooppunt.

Let is de aanduiding van het nieuwe knooppunt, is het distributieknooppunt en is de interactiecoëfficiënt. Nieuwe knooppunten kunnen met intensiteit het systeem binnenkomen, en distribuerende knooppunten kunnen het met intensiteit verlaten. Dan ziet het interactiediagram en de vector r er als volgt uit:

Een stochastische differentiaalvergelijking in de vorm van Langevin kan worden verkregen met behulp van de overeenkomstige formule (1.15). Omdat driftvector A beschrijft volledig het deterministische gedrag van het systeem, we kunnen een systeem van gewone differentiaalvergelijkingen verkrijgen die de dynamiek van het aantal nieuwe klanten en zaden beschrijven:

Afhankelijk van de keuze van de parameters kan een singulier punt dus een ander karakter hebben. Voor /ZA 4/I2 is het singuliere punt dus een stabiel brandpunt, en voor de tegenovergestelde verhouding is het een stabiel knooppunt. In beide gevallen is het singuliere punt stabiel, omdat de keuze van coëfficiëntwaarden en veranderingen in systeemvariabelen langs een van de twee trajecten kan plaatsvinden. Als een singulier punt een focus is, treden er gedempte oscillaties op in het aantal nieuwe en distribuerende knooppunten in het systeem (zie figuur 3.12). En in het knooppuntgeval vindt de benadering van getallen tot stationaire waarden plaats in een niet-oscillerende modus (zie figuur 3.13). Faseportretten van het systeem voor elk van de twee gevallen worden respectievelijk weergegeven in grafieken (3.14) en (3.15).