Som van normaal verdeelde willekeurige variabelen. Verdeling van de som van twee willekeurige onafhankelijke variabelen. Verdeling van de som van onafhankelijke willekeurige variabelen

1) c+d ≤ z ≤ a+d. Dan

2) a+d ≤ z ≤ b+c. Dan

3) b+c ≤ z ≤ a+b. Dan

Deze verdeling wordt de wet van Simpson genoemd. Figuren 8 en 9 tonen grafieken van de SW-verdelingsdichtheid op Met=0, D=0.

Een uiterst belangrijk object van de waarschijnlijkheidstheorie is de som van onafhankelijke willekeurige variabelen. Het was de studie van de verdeling van de sommen van onafhankelijke willekeurige variabelen die de basis legde voor de ontwikkeling van analytische methoden van de waarschijnlijkheidstheorie.

Verdeling van de som van onafhankelijke willekeurige variabelen

In deze sectie zullen we een algemene formule verkrijgen voor het berekenen van de verdelingsfunctie van een som van onafhankelijke willekeurige variabelen en verschillende voorbeelden bekijken.

Verdeling van de som van twee onafhankelijke willekeurige variabelen. Convolutie formule

onafhankelijke willekeurige variabelen met distributiefuncties

respectievelijk

Dan de distributiefunctie F sommen van willekeurige variabelen

kan worden berekend met de volgende formule ( convolutie formule)

Om dit te bewijzen zullen we de stelling van Fubini gebruiken.

Het tweede deel van de formule wordt op soortgelijke wijze bewezen.

Verdelingsdichtheid van de som van twee onafhankelijke willekeurige variabelen

Als de verdelingen van beide willekeurige variabelen een dichtheid hebben, kan de dichtheid van de som van deze willekeurige variabelen worden berekend met behulp van de formule

Als de verdeling van een willekeurige variabele (of ) een dichtheid heeft, kan de dichtheid van de som van deze willekeurige variabelen worden berekend met behulp van de formule

Om deze beweringen te bewijzen, volstaat het om de definitie van dichtheid te gebruiken.

Meerdere windingen

De som van een eindig aantal onafhankelijke willekeurige variabelen wordt berekend door de convolutieformule sequentieel toe te passen. Functie voor het verdelen van bedragen k onafhankelijke, identiek verdeelde willekeurige variabelen met distributiefunctie F

genaamd k–voudige convolutie van de verdelingsfunctie F en wordt aangewezen

Voorbeelden van het berekenen van de verdeling van sommen van onafhankelijke willekeurige variabelen

Deze paragraaf geeft voorbeelden van situaties waarin het type verdeling behouden blijft bij het optellen van willekeurige variabelen. De bewijzen zijn oefeningen in sommatie en integralen.

Sommen van onafhankelijke willekeurige variabelen. Normale verdeling

Sommen van onafhankelijke willekeurige variabelen. Binominale verdeling

Sommen van onafhankelijke willekeurige variabelen

Sommen van onafhankelijke willekeurige variabelen

Poisson-proces

een reeks onafhankelijke, identiek verdeelde willekeurige variabelen met een exponentiële verdeling met parameter

Willekeurige reeks punten

op de niet-negatieve halve as wordt genoemd Poisson (punt) proces.

Laten we de verdeling van het aantal punten berekenen

Poissonproces in het interval (0,t)

equivalenten, dus

Maar de verdeling van de willekeurige variabele

is een Erlang-verdeling van orde k, dus

De verdeling van het aantal punten van een Poissonproces in het interval (o,t) is dus een Poissonverdeling met de parameter

Het Poisson-proces wordt gebruikt om de momenten waarop willekeurige gebeurtenissen plaatsvinden te modelleren: het proces van radioactief verval, de momenten waarop oproepen bij een telefooncentrale binnenkomen, de momenten waarop klanten in het servicesysteem verschijnen, de momenten waarop apparatuur uitvalt.

Laten we de hierboven geschetste algemene methode gebruiken om één probleem op te lossen, namelijk het vinden van de wet van de verdeling van de som van twee willekeurige variabelen. Er is een systeem van twee willekeurige variabelen (X,Y) met distributiedichtheid f(x,y).

Laten we de som van de willekeurige variabelen X en Y bekijken: en de wet van de verdeling van de waarde Z vinden. Om dit te doen, bouwen we een lijn op het xOy-vlak, waarvan de vergelijking is (Afb. 6.3.1). Dit is een rechte lijn die segmenten gelijk aan z op de assen afsnijdt. Direct verdeelt het xOy-vlak in twee delen; rechts en boven haar ; naar links en naar beneden

Gebied D is in dit geval het gedeelte linksonder van het xOy-vlak, gearceerd in figuur 2. 6.3.1. Volgens formule (6.3.2) hebben we:

Dit is de algemene formule voor de dichtheidsverdeling van de som van twee willekeurige variabelen.

Om redenen van symmetrie van het probleem met betrekking tot X en Y kunnen we een andere versie van dezelfde formule schrijven:

Het is nodig om een ​​samenstelling van deze wetten te maken, dat wil zeggen om de wet van de verdeling van de hoeveelheid te vinden: .

Laten we de algemene formule voor de samenstelling van distributiewetten toepassen:

Deze uitdrukkingen vervangen door de formule die we al zijn tegengekomen

en dit is niets meer dan een normale wet met een centrum van verspreiding

Dezelfde conclusie kan veel gemakkelijker worden bereikt met behulp van de volgende kwalitatieve redenering.

Zonder de haakjes te openen en zonder enige transformatie in de integrand (6.3.3) uit te voeren, komen we onmiddellijk tot de conclusie dat de exponent een vierkante trinominaal is ten opzichte van x van de vorm

waar de waarde z helemaal niet is opgenomen in coëfficiënt A, wordt deze in coëfficiënt B opgenomen tot de eerste macht, en wordt deze in coëfficiënt C gekwadrateerd. Als we dit in gedachten houden en formule (6.3.4) toepassen, komen we tot de conclusie dat g(z) een exponentiële functie is, waarvan de exponent een vierkante trinominaal is ten opzichte van z, en de verdelingsdichtheid; Dit type komt overeen met de normale wet. Dus wij; we komen tot een puur kwalitatieve conclusie: de wet van verdeling van de waarde z moet normaal zijn. Om de parameters van deze wet te vinden - en - we zullen de stelling van de optelling van wiskundige verwachtingen en de stelling van de optelling van varianties gebruiken. Volgens de stelling van de toevoeging van wiskundige verwachtingen . Volgens de stelling van de optelling van varianties of waaruit formule (6.3.7) volgt.

Als we van standaardafwijkingen naar waarschijnlijke afwijkingen gaan die daarmee evenredig zijn, verkrijgen we:
.

Zo kwamen we tot de volgende regel: bij het combineren van normale wetten wordt opnieuw een normale wet verkregen en worden de wiskundige verwachtingen en varianties (of kwadraten van waarschijnlijke afwijkingen) opgeteld.

De regel voor de samenstelling van normale wetten kan worden gegeneraliseerd naar het geval van een willekeurig aantal onafhankelijke willekeurige variabelen.

Als er n onafhankelijke willekeurige variabelen zijn: onderworpen aan de normale wetten met spreidingscentra en standaarddeviaties, dan is de waarde ook onderworpen aan de normale wet met parameters

Als een systeem van willekeurige variabelen (X, Y) volgens een normale wet verdeeld is, maar de waarden X, Y afhankelijk zijn, dan is het niet moeilijk om, net als voorheen, te bewijzen op basis van de algemene formule (6.3. 1), dat de wet van de verdeling van een waarde ook een normale wet is. De verstrooiingscentra worden nog steeds algebraïsch opgeteld, maar voor standaarddeviaties wordt de regel complexer: , waarbij r de correlatiecoëfficiënt is van de X- en Y-waarden.

Bij het optellen van meerdere afhankelijke willekeurige variabelen, die in hun geheel onderworpen zijn aan de normaalwet, blijkt ook de verdelingswet van de som normaal te zijn met de parameters

waarbij is de correlatiecoëfficiënt van de grootheden X i, X j, en de sommatie strekt zich uit tot alle verschillende paarsgewijze combinaties van grootheden.

We zijn overtuigd geraakt van een heel belangrijke eigenschap van het normale recht: met de samenstelling van normale wetten wordt weer een normale wet verkregen. Dit is de zogenaamde “stabiliteitseigenschap”. Een verdelingswet heet stabiel als de samenstelling van twee van dit type wetten weer resulteert in een wet van hetzelfde type. We hebben hierboven laten zien dat de normale wet stabiel is. Zeer weinig distributiewetten hebben de eigenschap van stabiliteit. De wet van uniforme dichtheid is onstabiel: door twee wetten van uniforme dichtheid te combineren in secties van 0 tot 1, hebben we de wet van Simpson verkregen.

De stabiliteit van het normale recht is een van de essentiële voorwaarden voor een wijdverbreid gebruik ervan in de praktijk. Naast de normale hebben sommige andere distributiewetten echter ook de eigenschap van stabiliteit. Een kenmerk van de normale wet is dat wanneer een voldoende groot aantal praktisch willekeurige distributiewetten is samengesteld, de totale wet zo dicht bij normaal blijkt te liggen als gewenst, ongeacht wat de distributiewetten van de termen waren. Dit kan bijvoorbeeld worden geïllustreerd door de drie wetten van uniforme dichtheid samen te stellen in gebieden van 0 tot 1. De resulterende verdelingswet g(z) wordt getoond in figuur 2. 6.3.1. Zoals uit de tekening blijkt, lijkt de grafiek van de functie g(z) sterk op de grafiek van de normale wet.

In de praktijk is het vaak nodig om de wet van de verdeling van een som van willekeurige variabelen te vinden.

Laat er een systeem zijn (X x X 2) twee continue s. V. en hun som

Laten we de distributiedichtheid c vinden. V. U. In overeenstemming met de algemene oplossing van de vorige paragraaf vinden we het gebied van het vlak waar x+ x 2 (Afb. 9.4.1):

Door deze uitdrukking te differentiëren met betrekking tot y, verkrijgen we p.r. willekeurige variabele Y = X + X2:

Omdat de functie φ (x b x 2) = Xj + x 2 symmetrisch is ten opzichte van zijn argumenten, dan

Indien met. V. X En X 2 onafhankelijk zijn, dan zullen de formules (9.4.2) en (9.4.3) de vorm aannemen:

In het geval dat onafhankelijke s. V. X x En X 2, praten over de samenstelling van distributiewetten. Produceren samenstelling twee distributiewetten - dit betekent het vinden van de distributiewet van de som van twee onafhankelijke s. c., verdeeld volgens deze wetten. Om de samenstelling van distributiewetten aan te duiden, wordt de symbolische notatie gebruikt

wat in wezen formules (9.4.4) of (9.4.5) aangeeft.

Voorbeeld 1. Er wordt gekeken naar de werking van twee technische apparaten (TD). In eerste instantie werkt de TU; na het falen (mislukking) wordt deze opgenomen in de exploitatie van TU 2. Storingsvrije looptijden TUL TU 2 - X x En X 2 - onafhankelijk en verdeeld volgens exponentiële wetten met parameters A,1 en X2. Tijd dus Y probleemloze werking van een technisch apparaat bestaande uit technische apparatuur! en TU 2, wordt bepaald door de formule

Het is vereist om p.r. willekeurige variabele Ja, dat wil zeggen, de samenstelling van twee exponentiële wetten met parameters en X2.

Oplossing. Met behulp van formule (9.4.4) verkrijgen we (y > 0)

Als er een samenstelling is van twee exponentiële wetten met dezelfde parameters (?ts = X 2 = Y), dan verkrijgen we in uitdrukking (9.4.8) een onzekerheid van het type 0/0, waaruit blijkt dat we verkrijgen:

Als we deze uitdrukking vergelijken met uitdrukking (6.4.8), zijn we ervan overtuigd dat de samenstelling van twee identieke exponentiële wetten (?ts = X 2 = X) vertegenwoordigt Erlangs tweede orde wet (9.4.9). Bij het combineren van twee exponentiële wetten met verschillende parameters X x en A-2 ontvangen generaliseerde de tweede orde wet van Erlang (9.4.8). ?

Probleem 1. Wet van de verdeling van het verschil van twee s. V. Systeem s. V. (X en X2) heeft een gezamenlijke p.r./(x b x 2). Zoek p.r. hun verschillen Y=X - X2.

Oplossing. Voor systeem met. V. (X b - X 2) enz. zal zijn/(x b - x2), d.w.z. we hebben het verschil vervangen door de som. Daarom is p.r. willekeurige variabele Zal de vorm hebben (zie (9.4.2), (9.4.3)):

Als Met. V. X x iX 2 zijn dus onafhankelijk

Voorbeeld 2. Zoek p.r. het verschil tussen twee onafhankelijke exponentieel verdeelde s. V. met parameters X x En X2.

Oplossing. Met behulp van formule (9.4.11) verkrijgen we

Rijst. 9.4.2 Rijst. 9.4.3

Figuur 9.4.2 toont een p.r. G(y). Als we het verschil beschouwen tussen twee onafhankelijke exponentieel verdeelde s. V. met dezelfde parameters (A-i= X 2 = A,), Dat G(y) = /2 - al bekend

De wet van Laplace (Fig. 9.4.3). ?

Voorbeeld 3. Vind de verdelingswet van de som van twee onafhankelijke s. V. X En X 2, verdeeld volgens de wet van Poisson met parameters een x En een 2.

Oplossing. Laten we de waarschijnlijkheid van de gebeurtenis bepalen (Xx + X 2 = t) (t= 0, 1,

Daarom, s. V. Y= Xx + X 2 verdeeld volgens de wet van Poisson met parameter een x2) - een x + een 2. ?

Voorbeeld 4. Vind de verdelingswet van de som van twee onafhankelijke s. V. X x En X 2, verdeeld volgens binomiale wetten met parameters p x ri p 2, p respectievelijk.

Oplossing. Laten we ons voorstellen dat S. V. X x als:

Waar X1) - gebeurtenisindicator A Wu's ervaring:

Verspreidingsreeks c. V. X,- heeft de vorm

We zullen een soortgelijke representatie maken voor s. V. X2: waarbij X] 2) - gebeurtenisindicator A in y"-de ervaring:

Vandaar,

waar is X? 1)+(2) als gebeurtenisindicator A:

We hebben dus aangetoond dat s. V. Test het bedrag (u + n2) gebeurtenisindicatoren A, waaruit volgt dat s. V. ^verdeeld volgens de binomiale wet met parameters ( px + blz. 2), r.

Merk op dat als de kansen R zijn verschillend in verschillende reeksen experimenten, en vervolgens als resultaat van de toevoeging van twee onafhankelijke s. in., verdeeld volgens binomiale wetten, blijkt c. c., niet verdeeld volgens de binominale wet. ?

Voorbeelden 3 en 4 kunnen gemakkelijk worden gegeneraliseerd naar een willekeurig aantal termen. Bij het combineren van de wetten van Poisson met parameters een b een 2, ..., bij opnieuw krijgen we de wet van Poisson met de parameter een (t) = een x + een 2 + ... + en t.

Bij het samenstellen van binomiale wetten met parameters (p p p); (ik 2, R) , (p t, p) opnieuw krijgen we een binomiale wet met parameters (“(“), R), Waar n (t) = n + n 2 + ... + p.t.

We hebben belangrijke eigenschappen van de wet van Poisson en de binominale wet bewezen: de “stabiliteitseigenschap”. De distributiewet wordt genoemd duurzaam, als de samenstelling van twee wetten van hetzelfde type resulteert in een wet van hetzelfde type (alleen de parameters van deze wet verschillen). In paragraaf 9.7 zullen we laten zien dat de normale wet dezelfde eigenschap van stabiliteit heeft.