Unified State Exam-trainingsopdrachten over derivaten. Afgeleide in Unified State Exam-taken Taken B9 en B15 Gruk Lyubov Vladimirovna wiskundeleraar Staatsbegrotingsinstelling voor secundair onderwijs. Geometrische betekenis van afgeleide

In taak nr. 13 van het Unified State Exam in wiskunde op basisniveau moet je vaardigheden en kennis aantonen van een van de concepten van het gedrag van een functie: afgeleiden op een punt of snelheden van stijging of daling. De theorie voor deze taak zal iets later worden toegevoegd, maar dit weerhoudt ons er niet van om verschillende typische opties in detail te onderzoeken.

Analyse van typische opties voor taak nr. 14 van het Unified State Examination in wiskunde op basisniveau

Optie 14MB1

De grafiek toont de temperatuurafhankelijkheid van de tijd tijdens het verwarmingsproces van de motor van een personenauto. Op de horizontale as wordt de tijd in minuten weergegeven die is verstreken sinds de motor is gestart; op de verticale as staat de motortemperatuur in graden Celsius.

Gebruik de grafiek om elk tijdsinterval af te stemmen op de kenmerken van het motorverwarmingsproces tijdens dit interval.

Geef in de tabel onder elke letter het overeenkomstige nummer aan.

Uitvoeringsalgoritme:
  1. Selecteer het tijdsinterval waarin de temperatuur daalde.
  2. Breng een liniaal aan tot 30°C en bepaal het tijdsinterval waarin de temperatuur onder de 30°C was.
Oplossing:

Laten we het tijdsinterval kiezen waarin de temperatuur daalde. Dit gedeelte is met het blote oog zichtbaar; het begint 8 minuten vanaf het moment dat de motor start.

Breng een liniaal aan tot 30°C en bepaal het tijdsinterval waarin de temperatuur onder de 30°C was.

Onder de liniaal bevindt zich een sectie die overeenkomt met het tijdsinterval 0 - 1 min.

Met behulp van een potlood en een liniaal kunnen we uitvinden met welk tijdsinterval de temperatuur tussen de 40°C en 80°C lag.

Laten we de loodlijnen van de punten die overeenkomen met 40°С en 80°С op de grafiek laten vallen, en van de resulterende punten verlagen we de loodlijnen op de tijdas.

We zien dat dit temperatuurinterval overeenkomt met een tijdsinterval van 3 – 6,5 minuten. Dat wil zeggen, van degenen die zijn gegeven in de voorwaarde 3 – 6 minuten.

Met behulp van de eliminatiemethode selecteren we de ontbrekende antwoordoptie.

Optie 14MB2

Oplossing:

Laten we de grafiek van functie A analyseren. Als de functie toeneemt, is de afgeleide positief en omgekeerd. De afgeleide van de functie is op de uiterste punten gelijk aan nul.

Ten eerste neemt functie A toe, d.w.z. de afgeleide is positief. Dit komt overeen met de grafieken van afgeleiden 2 en 3. Op het maximale punt van de functie x = -2, dat wil zeggen dat op dit punt de afgeleide gelijk moet zijn aan nul. Deze voorwaarde komt overeen met grafiek nummer 3.

Ten eerste neemt functie B af, d.w.z. de afgeleide is negatief. Dit komt overeen met de grafieken van afgeleiden 1 en 4. Het maximale punt van de functie is x=-2, dat wil zeggen dat op dit punt de afgeleide gelijk moet zijn aan nul. Deze voorwaarde komt overeen met grafiek nummer 4.

Ten eerste neemt functie B toe, d.w.z. de afgeleide is positief. Dit komt overeen met de grafieken van afgeleiden 2 en 3. Het maximale punt van de functie is x = 1, dat wil zeggen dat op dit punt de afgeleide gelijk moet zijn aan nul. Deze voorwaarde komt overeen met grafiek nummer 2.

Met behulp van de eliminatiemethode kunnen we bepalen dat de grafiek van de functie Г overeenkomt met de grafiek van de afgeleide met nummer 1.

Antwoord: 3421.

Optie 14MB3

Uitvoeringsalgoritme voor elke functie:
  1. Bepaal de intervallen van stijgende en dalende functies.
  2. Bepaal de maximale en minimale punten van functies.
  3. Trek conclusies en match de voorgestelde grafieken.
Oplossing:

Laten we de grafiek van functie A analyseren.

Als de functie stijgend is, is de afgeleide positief en omgekeerd. De afgeleide van de functie is op de uiterste punten gelijk aan nul.

Het uiterste punt is het punt waarop de maximale of minimale waarde van de functie wordt bereikt.

Ten eerste neemt functie A toe, d.w.z. de afgeleide is positief. Dit komt overeen met de grafieken van afgeleiden 3 en 4. Op het maximale punt van de functie x=0, dat wil zeggen dat op dit punt de afgeleide gelijk moet zijn aan nul. Deze voorwaarde komt overeen met grafiek nummer 4.

Laten we de grafiek van functie B analyseren.

Ten eerste neemt functie B af, d.w.z. de afgeleide is negatief. Dit komt overeen met de grafieken van afgeleiden 1 en 2. Het minimumpunt van de functie is x=-1, dat wil zeggen dat op dit punt de afgeleide gelijk moet zijn aan nul. Deze voorwaarde komt overeen met grafiek nummer 2.

Laten we de grafiek van functie B analyseren.

Ten eerste neemt functie B af, d.w.z. de afgeleide is negatief. Dit komt overeen met de grafieken van afgeleiden 1 en 2. Het minimumpunt van de functie is x = 0, dat wil zeggen dat op dit punt de afgeleide gelijk moet zijn aan nul. Deze voorwaarde komt overeen met grafiek nummer 1.

Met behulp van de eliminatiemethode kunnen we bepalen dat de grafiek van de functie Г overeenkomt met de grafiek van de afgeleide met nummer 3.

Antwoord: 4213.

Optie 14MB4

De figuur toont de grafiek van de functie en de raaklijnen eraan getrokken op de abscispunten A, B, C en D.De rechterkolom toont de waarden van de afgeleide op de punten A, B, C en D. Gebruik de grafiek om elk punt te matchen met de waarde van de afgeleide van de functie erop.


PUNTEN
A
IN
MET
D

AFGELEIDE WAARDEN
1) –4
2) 3
3) 2/3
4) -1/2

Laten we onthouden wat de afgeleide betekent, namelijk de waarde ervan op een bepaald punt - de waarde van de afgeleide functie in een punt is gelijk aan de raaklijn van de hellingshoek (coëfficiënt) van de raaklijn.

In de antwoorden hebben we twee positieve en twee negatieve opties. Zoals we ons herinneren: als de coëfficiënt recht is (graphics y = kx+b) positief is, dan stijgt de lijn, maar als deze negatief is, neemt de lijn af.

We hebben twee stijgende lijnen - op de punten A en D. Laten we nu onthouden wat de waarde van de coëfficiënt k betekent?

De coëfficiënt k laat zien hoe snel de functie toeneemt of afneemt (in feite is de coëfficiënt k zelf een afgeleide van de functie y = kx+ b).

Daarom komt k = 2/3 overeen met een vlakkere rechte lijn - D, en k = 3 - A.

Hetzelfde geldt voor negatieve waarden: punt B komt overeen met een steilere rechte lijn met k = - 4, en punt C - -1/2.

Optie 14MB5

De stippen in de figuur tonen de maandelijkse verkoopvolumes van verwarmingstoestellen in een winkel voor huishoudelijke apparaten. Horizontaal worden de maanden aangegeven en verticaal het aantal verkochte kachels. Voor de duidelijkheid zijn de punten verbonden door een lijn.

Gebruik de figuur om elk van de aangegeven tijdsperioden te matchen met de kenmerken van de verkoop van verwarmingstoestellen.


Uitvoering algoritme

We analyseren delen van de grafiek die overeenkomen met verschillende seizoenen. We formuleren de situaties weergegeven in de grafiek. Wij vinden voor hen de meest passende antwoorden.

Oplossing:

In de winter overschreed het aantal verkopen de 120 eenheden per maand, en dit aantal nam voortdurend toe. Deze situatie komt overeen met antwoordoptie nr. 3. Die. we krijgen: A–3.

In het voorjaar daalde de verkoop geleidelijk van 120 verwarmingstoestellen per maand naar 50. Optie nr. 2 komt het dichtst in de buurt van deze formulering. We hebben: B–2.

In de zomer veranderde het aantal verkopen niet en was minimaal. Het tweede deel van deze formulering komt niet tot uiting in de antwoorden, en alleen nr. 4 is geschikt voor het eerste. Vanaf hier hebben we: OM 4.

In de herfst groeide de verkoop, maar hun aantal bedroeg in geen maand meer dan 100 eenheden. Deze situatie wordt beschreven in optie nr. 1. We krijgen: G–1.

Optie 14MB6

De grafiek toont de afhankelijkheid van de snelheid van een reguliere bus op tijd. Op de verticale as staat de snelheid van de bus in km/u, en op de horizontale as de tijd in minuten sinds de bus in beweging kwam.

Match elk tijdsinterval met behulp van de grafiek met de kenmerken van de busbeweging op dat interval.


Uitvoering algoritme
  1. De deelprijs bepalen wij op de horizontale en verticale schaal.
  2. We analyseren achtereenvolgens de voorgestelde uitspraken 1–4 uit de rechterkolom (“Kenmerken”). We vergelijken ze met de tijdsintervallen uit de linkerkolom van de tabel en vinden ‘letter-cijfer’-paren voor het antwoord.
Oplossing:

De horizontale schaalverdeling is 1 s, de verticale schaal is 20 km/u.

  1. Wanneer de bus stopt, is de snelheid 0. De bus had slechts 2 minuten achter elkaar een nulsnelheid van de 9e tot de 11e minuut. Deze tijd valt binnen het bereik van 8–12 minuten. Dus we hebben er een paar voor het antwoord: B–1.
  2. De bus reed gedurende meerdere perioden een snelheid van 20 km/uur of meer. Bovendien is optie A hier niet geschikt, omdat bijvoorbeeld in de 7e minuut de snelheid 60 km/u was, optie B - omdat deze al is toegepast, optie D - omdat aan het begin en einde van het interval de bus nul snelheid gehad. In dit geval is optie B (12–16 min) geschikt; Tijdens dit interval begint de bus te rijden met een snelheid van 40 km/u, accelereert vervolgens naar 100 km/u en verlaagt vervolgens de snelheid geleidelijk naar 20 km/u. Dus we hebben: OM 2 UUR.
  3. Er geldt hier een snelheidslimiet. Tegelijkertijd houden wij geen rekening met opties B en C. De overige intervallen A en D zijn beide geschikt. Daarom zou het juist zijn om eerst de vierde optie te overwegen en dan terug te keren naar de derde.
  4. Van de twee resterende intervallen zijn slechts 4–8 minuten geschikt voor kenmerk nr. 4, aangezien er tijdens dit interval (in de 6e minuut) een stop was. Er waren geen stops tussen 18 en 22 minuten. We krijgen: A–4. Hieruit volgt dat u voor kenmerk nr. 3 het interval Г moet nemen, d.w.z. het blijkt een koppel te zijn G–3.

Optie 14MB7

De stippen in de figuur tonen de Chinese bevolkingsgroei tussen 2004 en 2013. De horizontale lijn geeft het jaar aan, de verticale lijn geeft de bevolkingsgroei als percentage aan (bevolkingsgroei ten opzichte van het voorgaande jaar). Voor de duidelijkheid zijn de punten verbonden door een lijn.

Gebruik de figuur om elk van de aangegeven tijdsperioden te matchen met de kenmerken van de Chinese bevolkingsgroei tijdens deze periode.


Uitvoering algoritme
  1. We bepalen de prijs voor het delen van de verticale schaal van de tekening. Het wordt gevonden als het verschil tussen een paar aangrenzende schaalwaarden, gedeeld door 2 (aangezien er twee verdelingen zijn tussen twee aangrenzende waarden).
  2. We analyseren achtereenvolgens de kenmerken 1–4 die in de voorwaarde worden gegeven (linkertabelkolom). We vergelijken ze allemaal met een specifieke periode (rechter tabelkolom).
Oplossing:

De verticale schaalverdelingswaarde is 0,01%.

  1. De daling van de groei zette zich tussen 2004 en 2010 voortdurend voort. In 2010–2011 was de stijging steeds minimaal, en vanaf 2012 begon deze toe te nemen. Die. De groei stopte in 2010. Dit jaar valt in de periode 2009-2011. Dienovereenkomstig hebben we: IN 1.
  2. De grootste daling van de groei moet worden beschouwd als de “steilste” dalende lijn van de grafiek in de figuur. Het valt in de periode 2006-2007. en bedraagt ​​0,04% per jaar (0,59–0,56=0,04% in 2006 en 0,56–0,52=0,04% in 2007). Vanaf hier krijgen we: A–2.
  3. De groei aangegeven in kenmerk nr. 3 begon in 2007, zette zich voort in 2008 en eindigde in 2009. Dit komt overeen met tijdsperiode B, d.w.z. we hebben: B–3.
  4. De bevolkingsgroei begon na 2011 toe te nemen. in 2012–2013 Daarom krijgen we: G–4.

Optie 14MB8

De figuur toont de grafiek van de functie en de raaklijnen die eraan zijn getekend op punten met abscis A, B, C en D.

De rechterkolom toont de waarden van de afgeleide van de functie op de punten A, B, C en D. Gebruik de grafiek om elk punt te matchen met de waarde van de afgeleide van de functie erop.

Uitvoering algoritme
  1. We beschouwen een paar raaklijnen die een scherpe hoek hebben met de positieve richting van de x-as. We vergelijken ze en vinden een overeenkomst tussen het paar overeenkomstige afgeleide waarden.
  2. We beschouwen een paar raaklijnen die een stompe hoek vormen met de positieve richting van de x-as. We vergelijken ze modulo en bepalen hun overeenstemming met de waarden van de afgeleiden van de twee overgebleven in de rechterkolom.
Oplossing:

Een scherpe hoek met de positieve richting van de abscis-as wordt gevormd door afgeleiden in T.B en T.S. Deze derivaten hebben positieve waarden. Daarom moet u hier kiezen tussen de waarden nr. 1 en 3. Pas de regel toe dat als de hoek kleiner is dan 45 0, de afgeleide kleiner is dan 1, en als deze meer is, dan is deze groter dan 1, we concluderen: in punt B is de modulo-afgeleide groter dan 1, in t.C – kleiner dan 1. Dit betekent dat je paren kunt maken voor het antwoord: OM 3 UUR En S–1.

De afgeleiden in t.A en t.D vormen een stompe hoek met de positieve richting van de abscis-as. En hier passen we dezelfde regel toe, maar parafraseren we hem een ​​beetje: hoe meer de raaklijn in een punt wordt “gedrukt” op de lijn van de x-as (in de richting van de negatieve richting), hoe groter de modulus ervan. Dan krijgen we: de afgeleide in t.A is in absolute waarde kleiner dan de afgeleide in t.D. Vanaf hier hebben we paren voor het antwoord: A–2 En D–4.

Optie 14MB9

De stippen in de figuur tonen de gemiddelde dagelijkse luchttemperatuur in Moskou in januari 2011. De data van de maand worden horizontaal aangegeven en de temperatuur in graden Celsius wordt verticaal aangegeven. Voor de duidelijkheid zijn de punten verbonden door een lijn.

Gebruik de figuur om elk van de aangegeven tijdsperioden te matchen met het kenmerk van temperatuurverandering.


Uitvoering algoritme

We analyseren kenmerken 1–4 (rechterkolom) achtereenvolgens, met behulp van de grafiek in de figuur. We wijzen ze allemaal toe aan een specifieke tijdsperiode (linkerkolom).

Oplossing:
  1. Pas aan het einde van de periode van 22 tot 28 januari werd een temperatuurstijging waargenomen. Hier, op de 27e en 28e, steeg het respectievelijk met 1 en 2 graden. Aan het eind van de periode 1 t/m 7 januari was de temperatuur stabiel (–10 graden); eind 8 t/m 14 en 15 t/m 21 januari daalde deze (van –1 naar –2 en van –11 naar –12 graden); respectievelijk). Daarom krijgen we: G–1.
  2. Omdat elke periode 7 dagen beslaat, moet de temperatuur worden geanalyseerd vanaf de 4e dag van elke periode. De temperatuur bleef slechts 3 à 4 dagen constant van 4 januari tot 7 januari. Daarom krijgen we het antwoord: A–2.
  3. Op 17 januari werd de maandelijkse minimumtemperatuur waargenomen. Dit aantal valt binnen de periode 15 t/m 21 januari. Vanaf hier hebben we een paar: OM 3 UUR.
  4. Het temperatuurmaximum vond plaats op 10 januari en was +1 graad. Deze datum valt tussen 8 en 14 januari. Dus we hebben: B–4.

Optie 14MB10

Uitvoering algoritme
  1. De waarde van de functie op een punt is positief als dit punt zich boven de Ox-as bevindt.
  2. De afgeleide in een punt is groter dan nul als de raaklijn aan dit punt een scherpe hoek vormt met de positieve richting van de Ox-as.
Oplossing:

Punt A. Het bevindt zich onder de Ox-as, wat betekent dat de waarde van de functie daarin negatief is. Als je er een raaklijn in tekent, dan zal de hoek tussen deze en de positieve richting Ox ongeveer 90 0 zijn, d.w.z. vormt een scherpe hoek. Dit betekent dat kenmerk nr. 3 in dit geval geschikt is. Die. we hebben: A–3.

Punt B. Het bevindt zich boven de Ox-as, d.w.z. het punt heeft een positieve waarde van de functie. De raaklijn zal op dit punt vrij dicht bij de x-as liggen en een stompe hoek (iets minder dan 180 0) vormen met de positieve richting. Dienovereenkomstig is de afgeleide op dit punt negatief. Kenmerk 1 is hier dus geschikt. We krijgen het antwoord: IN 1.

Punt C. Het punt ligt onder de Ox-as, de raaklijn daaraan vormt een grote stompe hoek met de positieve richting van de x-as. Die. in t.C is de waarde van zowel de functie als de afgeleide negatief, wat overeenkomt met kenmerk nr. 2. Antwoord: S–2.

Punt D. Het punt bevindt zich boven de Ox-as en de raaklijn daarop vormt een scherpe hoek met de positieve richting van de as. Dit suggereert dat zowel de waarde van de functie als de waarde van de afgeleide hier groter zijn dan nul. Antwoord: D–4.

Optie 14MB11

De stippen in de figuur tonen de maandelijkse verkoopvolumes van koelkasten in een winkel voor huishoudelijke apparaten. Horizontaal worden de maanden aangegeven en verticaal het aantal verkochte koelkasten. Voor de duidelijkheid zijn de punten verbonden door een lijn.

Gebruik de figuur om elk van de aangegeven tijdsperioden te matchen met de kenmerken van de verkoop van koelkasten.

Gemeentelijke onderwijsinstelling

"Saltykovskaja middelbare school

Rtishchevsky-district, regio Saratov"

Masterclass wiskunde

in de 11e klas

over dit onderwerp

"Afgeleide van de functie

IN DE GEBRUIKSTAKEN"

Uitgevoerd door een wiskundeleraar

Beloglazova L.S.

Academiejaar 2012-2013

Het doel van de masterclass : de vaardigheden van studenten ontwikkelen bij het toepassen van theoretische kennis over het onderwerp "Afgeleide van een functie" om problemen van het uniforme staatsexamen op te lossen.

Taken

Leerzaam: de kennis van studenten over het onderwerp samenvatten en systematiseren

"Afgeleide van een functie", overweeg prototypes van Unified State Exam-problemen over dit onderwerp, bied studenten de mogelijkheid om hun kennis te testen door zelfstandig problemen op te lossen.

Leerzaam: de ontwikkeling van geheugen, aandacht, zelfwaardering en zelfbeheersing bevorderen; de vorming van fundamentele sleutelcompetenties (vergelijking, nevenschikking, classificatie van objecten, bepaling van adequate manieren om een ​​educatieve taak op te lossen op basis van gegeven algoritmen, het vermogen om onafhankelijk te handelen in situaties van onzekerheid, iemands activiteiten te monitoren en te evalueren, de oorzaken te vinden en te elimineren van moeilijkheden).

Leerzaam: bijdragen:

het ontwikkelen van een verantwoordelijke houding ten opzichte van leren bij studenten;

ontwikkeling van duurzame interesse in wiskunde;

het creëren van een positieve interne motivatie om wiskunde te studeren.

Technologieën: individueel gedifferentieerd leren, ICT.

Leer methodes: verbaal, visueel, praktisch, problematisch.

Werkvormen: individueel, frontaal, in paren.

Uitrusting en materialen voor de les: projector, scherm, pc voor elke leerling, simulator (Bijlage nr. 1), presentatie voor de les (Bijlage nr. 2), individueel - gedifferentieerde kaarten voor zelfstandig werken in paren (Bijlage nr. 3), lijst met internetsites, individueel gedifferentieerd huiswerk (Bijlage nr. 4).

Uitleg voor de masterclass. Deze masterclass wordt gegeven in de 11e klas ter voorbereiding op het Unified State Exam. Gericht op het toepassen van theoretisch materiaal rond het onderwerp “Afgeleide van een functie” bij het oplossen van examenproblemen.

Duur van de masterclass- 30 minuten.

Structuur van de masterclass

I.Organisatiemoment -1 min.

II. Boodschap van het onderwerp, doelstellingen van de masterclass, motivatie voor educatieve activiteiten - 1 min.

III. Frontaal werk. Training “Taken B8 Unified State Exam”. Analyse van het werken met de simulator - 6 min.

IV.Individueel - gedifferentieerd werken in tweetallen. Zelfstandig problemen oplossen Q14. Peer-review - 7 min.

V. Individueel huiswerk controleren. Probleem met parameter C5 van het Unified State Exam

3 minuten

VI. Online testen. Analyse van testresultaten - 9 min.

VII. Individueel - gedifferentieerd huiswerk -1 min.

VIII. Lescijfers - 1 min.

IX. Samenvatting van de les. Reflectie -1 min.

Voortgang van de masterclass

I .Het organiseren van tijd.

II .Boodschap van het onderwerp, doelstellingen van de masterclass, motivatie voor educatieve activiteiten.

(Dia's 1-2, bijlage nr. 2)

Het onderwerp van onze les is “Afgeleide van een functie in Unified State Examination-taken.” Iedereen kent het gezegde ‘Klein is klein maar duur’. Een van deze ‘regelkleppen’ in de wiskunde is de afgeleide. De afgeleide wordt gebruikt bij het oplossen van veel praktische problemen in de wiskunde, natuurkunde, scheikunde, economie en andere disciplines. Hiermee kunt u problemen eenvoudig, mooi en interessant oplossen.

Het onderwerp "Afgeleide" wordt gepresenteerd in de taken van deel B (B8, B14) van het uniforme staatsexamen. Sommige C5-problemen kunnen ook worden opgelost met behulp van derivaten. Maar het oplossen van deze problemen vereist een goede wiskundige training en innovatief denken.

Je hebt gewerkt met documenten die de structuur en inhoud van de materialen voor controlemetingen van het uniforme staatsexamen wiskunde 2013 reguleren. Concludeer datwelke kennis en vaardigheden heb je nodig om USE-problemen rond het onderwerp “Afgeleide” succesvol op te lossen.

(Dia's 3-4, bijlage nr. 2)

Wij bestudeerd"Codificeerder inhoudselementen in WISKUNDE voor de voorbereiding van controlemeetmaterialen voor het Unified State Exam,”

“Codificator van eisen voor het opleidingsniveau van afgestudeerden”,"Specificatie controle meetmaterialen","Demo versiecontrole meetmateriaal van het verenigde staatsexamen 2013" enkwam erachter welke kennis en vaardigheden over een functie en zijn afgeleide nodig zijn om problemen rond het onderwerp “Afgeleide” succesvol op te lossen.

Nodig

  • WETEN

P regels voor het berekenen van derivaten;

afgeleiden van elementaire basisfuncties;

geometrische en fysieke betekenis van afgeleide;
vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van een functie;
studie van een functie met behulp van zijn afgeleide.

    IN STAAT ZIJN OM

acties uitvoeren met functies (beschrijf het gedrag en de eigenschappen van een functie met behulp van een grafiek, vind de grootste en kleinste waarden ervan).

    GEBRUIK

kennis en vaardigheden verworven in praktische activiteiten en het dagelijks leven.

Je hebt theoretische kennis over het onderwerp “Afgeleide”. Vandaag zullen we dat doenLEER KENNIS OVER DE AFGELEIDE FUNCTIE TOEPASSEN OM GEBRUIKSPROBLEMEN OP TE LOSSEN. ( Dia 4, bijlage nr. 2)

Het is niet zonder reden Aristoteles zei dat “DE GEEST IS NIET ALLEEN IN KENNIS, MAAR OOK IN HET VERMOGEN OM KENNIS IN DE PRAKTIJK TOE TE PASSEN”( Dia 5, bijlage nr. 2)

Aan het einde van de les gaan we terug naar het doel van onze les en kijken we of we dit hebben bereikt?

III . Frontaal werk. Training “Taken B8 Unified State Exam” (Bijlage nr. 1) . Analyse van het werk met de simulator.

Kies het juiste antwoord uit de vier voorgestelde antwoorden.

Wat is volgens u de moeilijkheid bij het voltooien van taak B8?

Wat zijn volgens jou de typische fouten die afgestudeerden maken op het examen bij het oplossen van dit probleem?

Bij het beantwoorden van de vragen in taak B8 moet je het gedrag en de eigenschappen van een functie kunnen beschrijven met behulp van een afgeleide grafiek, en het gedrag en de eigenschappen van een afgeleide functie met behulp van een functiegrafiek. En hiervoor heb je goede theoretische kennis nodig over de volgende onderwerpen: “Geometrische en mechanische betekenis van de afgeleide. Raaklijn aan de grafiek van een functie. Toepassing van de afgeleide op de studie van functies."

Analyseer welke taken u moeilijkheden bezorgden?

Welke theoretische kwesties moet je weten?

IV. Individueel - gedifferentieerd werken in tweetallen. Zelfstandig problemen oplossen Q14. Peer-review. (Bijlage nr. 3)

Denk aan het algoritme voor het oplossen van problemen (B14 Unified State Examination) voor het vinden van extremumpunten, extrema van een functie, de grootste en kleinste waarden van een functie op een interval met behulp van de afgeleide.

Los problemen op met behulp van derivaten.

De leerlingen krijgen een probleem voorgelegd:

“Denk eens na: is het mogelijk om sommige problemen in B14 op een andere manier op te lossen, zonder de afgeleide te gebruiken?”

1 paar(Lukyanova D., Gavryushina D.)

1)B14. Zoek het minimumpunt van de functie y = 10x-ln (x+9)+6

2)B14.Zoek de grootste waarde van de functiej =

- Probeer het tweede probleem op twee manieren op te lossen.

2 paar(Saninskaya T., Sazanov A.)

1)B14.Vind de kleinste waarde van de functie y=(x-10) op het segment

2)B14. Zoek het maximumpunt van de functie y= -

(De leerlingen verdedigen hun oplossing door de belangrijkste fasen van het oplossen van problemen op het bord te schrijven. Leerlingen van 1 koppel (Lukyanova D., Gavryushina D.) geef twee manieren om probleem nr. 2 op te lossen).

Oplossing van een probleem. Conclusie die studenten moeten maken:

“Sommige B14 Unified State Exam-problemen bij het vinden van de kleinste en grootste waarden van een functie kunnen worden opgelost zonder afgeleiden te gebruiken, afhankelijk van de eigenschappen van functies.”

Analyseer welke fout je hebt gemaakt in de taak?

Welke theoretische vragen moet je bespreken?

V. Individueel huiswerk controleren. Probleem met parameter C5 (GEBRUIK) ( Dia's 7-8, bijlage nr. 2)

Lukyanova K. kreeg een individuele huiswerkopdracht: selecteer uit de leerboeken ter voorbereiding op het Unified State Exam een ​​probleem met een parameter (C5) en los dit op met behulp van de afgeleide.

(De student geeft een oplossing voor het probleem, gebaseerd op de functioneel-grafische methode, als een van de methoden voor het oplossen van C5 Unified State Examination-problemen en geeft een korte uitleg van deze methode).

Welke kennis over een functie en zijn afgeleide is nodig bij het oplossen van C5 Unified State Examination-problemen?

V I. Online testen voor taken B8, B14. Analyse van testresultaten.

Website voor toetsen in de klas:

Wie heeft er geen fouten gemaakt?

Wie had moeite met testen? Waarom?

Bij welke taken zijn fouten gemaakt?

Concludeer welke theoretische kwesties u moet weten?

VI I. Individueel gedifferentieerd huiswerk

(Dia 9, toepassing nr. 2), (Bijlage nr. 4).

Ik heb een lijst met internetsites opgesteld ter voorbereiding op het Unified State Exam. U kunt ook deze sites bezoeken OverN – lijntesten. Voor de volgende les moet je: 1) theoretisch materiaal herhalen over het onderwerp "Afgeleide van een functie";

2) op de website “Open Bank of Mathematics Tasks” ( ) prototypes vinden van taken B8 en B14 en minstens 10 problemen oplossen;

3) Lukyanova K., Gavryushina D. lossen problemen met parameters op. De rest van de leerlingen moet de opgaven 1-8 oplossen (optie 1).

VI II. Lescijfers.

Welk cijfer zou je jezelf geven voor de les?

Vind je dat je het beter had kunnen doen in de klas?

IX. Samenvatting van de les. Reflectie

Laten we ons werk samenvatten. Wat was het doel van de les? Denkt u dat dit is bereikt?

Kijk naar het bord en ga in één zin, kies het begin van een zin, verder met de zin die het beste bij je past.

Ik voelde…

Ik heb geleerd…

Ik slaagde erin …

Ik was in staat...

Ik zal het proberen …

Ik was daar verbaasd over …

Ik wilde…

Kunt u zeggen dat uw kennis tijdens de les is verrijkt?

Dus je hebt de theoretische vragen over de afgeleide van een functie herhaald, pasten hun kennis toe bij het oplossen van prototypen van Unified State Examination-taken (B8, B14), en Lukyanova K. voltooide taak C5 met een parameter, een taak met toenemende complexiteit.

Het was een genoegen om met je samen te werken, en Ik hoop dat je de kennis die je tijdens de wiskundelessen hebt opgedaan met succes kunt toepassen, niet alleen bij het behalen van het Unified State Exam, maar ook in je toekomstige studie.

Ik wil de les graag afsluiten met de woorden van de Italiaanse filosoof Thomas van Aquino“Kennis is zo kostbaar dat het geen schande is om die uit welke bron dan ook te verwerven.” (Dia 10, bijlage nr. 2).

Ik wens je veel succes bij de voorbereiding op het Unified State Exam!

Lestype: herhaling en generalisatie.

Lesformaat: les-consult.

Lesdoelen:

  • leerzaam: theoretische kennis herhalen en generaliseren over de onderwerpen: “Geometrische betekenis van de afgeleide” en “Toepassing van de afgeleide op de studie van functies”; alle soorten B8-problemen overwegen die je tegenkomt bij het Unified State Examination in wiskunde; studenten de mogelijkheid bieden hun kennis te testen door zelfstandig problemen op te lossen; leren hoe u het examenantwoordformulier invult;
  • ontwikkelen: het bevorderen van de ontwikkeling van communicatie als een methode voor wetenschappelijke kennis, semantisch geheugen en vrijwillige aandacht; de vorming van sleutelcompetenties als vergelijking, nevenschikking, classificatie van objecten, bepaling van adequate manieren om een ​​educatieve taak op te lossen op basis van gegeven algoritmen, het vermogen om onafhankelijk te handelen in situaties van onzekerheid, iemands activiteiten te monitoren en te evalueren, de oorzaken te vinden en te elimineren van moeilijkheden;
  • leerzaam: de communicatieve competenties van studenten ontwikkelen (communicatiecultuur, vermogen om in groepen te werken); het bevorderen van de ontwikkeling van de behoefte aan zelfstudie.

Technologieën: ontwikkelingseducatie, ICT.

Leer methodes: verbaal, visueel, praktisch, problematisch.

Werkvormen: individueel, frontaal, groep.

Educatieve en methodologische ondersteuning:

1. Algebra en het begin van wiskundige analyse. 11e leerjaar: leerboek. Voor algemeen vormend onderwijs Instellingen: basis en profiel. niveaus / (Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin); onder redactie van AB Zhizhchenko. – 4e druk. – M.: Onderwijs, 2011.

2. Unified State Exam: 3000 problemen met antwoorden in de wiskunde. Alle taken van groep B/A.L. Semenov, I.V. Yasjtsjenko en anderen; bewerkt door A.L. Semyonova, I.V. Jasjtsjenko. – M.: Uitgeverij “Examen”, 2011.

3. Open de takenbank.

Uitrusting en materialen voor de les: projector, scherm, pc voor elke leerling met een presentatie erop, afdruk van een memo voor alle leerlingen (Bijlage 1) en scoreblad ( Bijlage 2) .

Voorbereidende voorbereiding op de les: als huiswerk wordt aan de studenten gevraagd theoretisch materiaal uit het leerboek te herhalen over de onderwerpen: “Geometrische betekenis van de afgeleide”, “Toepassing van de afgeleide op de studie van functies”; De klas is verdeeld in groepen (elk 4 personen), met elk leerlingen van verschillende niveaus.

Les uitleg: Deze les wordt gegeven in de 11e klas in de fase van herhaling en voorbereiding op het Unified State Exam. De les is gericht op herhaling en generalisatie van theoretische stof, op de toepassing ervan bij het oplossen van examenproblemen. Lesduur - 1,5 uur .

Deze les is niet bij het leerboek gevoegd en kan dus worden gegeven terwijl u aan het lesmateriaal werkt. Deze les kan ook in twee afzonderlijke lessen worden verdeeld en als laatste les over de behandelde onderwerpen worden gegeven.

Tijdens de lessen

I. Organisatorisch moment.

II. Les doelen stellen.

III. Herhaling over het onderwerp “Geometrische betekenis van derivaten.”

Mondeling frontaal werk met behulp van een projector (dia's nr. 3-7)

Werk in groepen: problemen oplossen met hints, antwoorden, met overleg met de leerkracht (dia's nr. 8-17)

IV. Zelfstandig werken 1.

De leerlingen werken individueel op een pc (dia's nr. 18-26) en voeren hun antwoorden in op het evaluatieblad. Indien nodig kunt u een docent raadplegen, maar in dit geval verliest de leerling 0,5 punt. Als de leerling het werk eerder af heeft, kan hij ervoor kiezen om extra opgaven uit de verzameling op te lossen, pp. 242, 306-324 (extra opgaven worden apart beoordeeld).

V. Wederzijdse verificatie.

Leerlingen wisselen beoordelingsformulieren uit, controleren het werk van een vriend en kennen punten toe (dia nr. 27)

VI. Correctie van kennis.

VII. Herhaling over het onderwerp "Toepassing van de afgeleide op de studie van functies"

Mondeling frontaal werk met behulp van een projector (dia's nr. 28-30)

Werk in groepen: problemen oplossen met hints, antwoorden, met overleg met de leerkracht (dia's nr. 31-33)

VIII. Zelfstandig werken 2.

De leerlingen werken individueel op een pc (dia's nr. 34-46) en vullen hun antwoorden in op het antwoordformulier. Indien nodig kunt u een leraar raadplegen, maar in dit geval verliest de leerling 0,5 punt. Als de leerling het werk eerder af heeft, kan hij ervoor kiezen om extra opgaven uit de verzameling op te lossen, pag. 243-305 (extra opgaven worden apart beoordeeld).

IX. Peer-review.

Leerlingen wisselen beoordelingsformulieren uit, controleren het werk van een vriend en kennen punten toe (dia nr. 47).

X. Correctie van kennis.

De leerlingen werken opnieuw in hun groepjes, bespreken de oplossing en corrigeren fouten.

XI. Samenvatten.

Elke student berekent zijn punten en zet een cijfer op het evaluatieblad.

Studenten dienen een beoordelingsformulier en oplossingen voor aanvullende problemen in bij de docent.

Elke leerling ontvangt een memo (dia nr. 53-54).

XII. Reflectie.

Studenten wordt gevraagd hun kennis te evalueren door een van de volgende zinnen te kiezen:

  • Ik ben geslaagd!!!
  • We moeten nog een paar voorbeelden oplossen.
  • Nou, wie heeft deze wiskunde bedacht!

XIII. Huiswerk.

Als huiswerk wordt de leerlingen gevraagd taken te kiezen uit de verzameling, pp. 242-334, en uit een open takenbank.




De figuur toont de grafiek van de functie y = f(x) en de raaklijn daaraan op het punt met de abscis x 0. Zoek de waarde van de afgeleide van de functie f(x) op het punt x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5"> 0 K = -0,5 K = 0,5" title="In de afbeelding ziet u de grafiek van de functie y = f(x ) en de raaklijn daaraan in het punt met de abscis x 0. Zoek de waarde van de afgeleide van de functie f(x) in het punt x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> title="De figuur toont de grafiek van de functie y = f(x) en de raaklijn daaraan op het punt met de abscis x 0. Zoek de waarde van de afgeleide van de functie f(x) op het punt x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> !}








De figuur toont een grafiek van de afgeleide van de functie f(x), gedefinieerd op het interval (-1;17). Zoek de afname-intervallen van de functie f(x). Geef in je antwoord de lengte van de grootste aan. f(x)


0 op het interval, dan de functie f(x)" title="De figuur toont een grafiek van de functie y = f(x). Zoek tussen de punten x 1, x 2, x 3, x 4 , x 5, x 6 en x 7 zijn de punten waarop de afgeleide van de functie f(x) positief is. Schrijf als antwoord het aantal gevonden punten op functie f(x)" class="link_thumb"> 8 !} De figuur toont een grafiek van de functie y = f(x). Zoek uit de punten x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 en x 7 die punten waarop de afgeleide van de functie f(x) positief is. Schrijf als antwoord het aantal gevonden punten op. Als f (x) > 0 op een interval, dan neemt de functie f (x) op dit interval toe. Antwoord: 2 0 op het interval, dan de functie f(x)"> 0 op het interval, dan neemt de functie f(x) toe op dit interval Antwoord: 2"> 0 op het interval, dan de functie f(x)" title= "On De figuur toont de grafiek van de functie y = f(x). Zoek tussen de punten x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 en x 7 die punten waarop de afgeleide van de functie f(x) is positief. Schrijf het aantal gevonden punten op."> title="De figuur toont een grafiek van de functie y = f(x). Zoek uit de punten x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 en x 7 die punten waarop de afgeleide van de functie f(x) positief is. Schrijf als antwoord het aantal gevonden punten op. Als f (x) > 0 op een interval, dan is de functie f(x)"> !}


De figuur toont een grafiek van de afgeleide van de functie f(x), gedefinieerd op het interval (-9; 2). Op welk punt van het segment -8; -4 neemt de functie f(x) de grootste waarde aan? Op segment -8; -4 f(x)






De functie y = f(x) wordt gedefinieerd op het interval (-5; 6). De figuur toont de grafiek van de functie y = f(x). Zoek uit de punten x 1, x 2, ..., x 7 die punten waarop de afgeleide van de functie f(x) gelijk is aan nul. Schrijf als antwoord het aantal gevonden punten op. Antwoord: 3 Punten x 1, x 4, x 6 en x 7 zijn uiterste punten. Op punt x 4 is er geen f (x)









Literatuur 4 Algebra en analyseles voor beginners. Leerboek voor instellingen voor algemeen onderwijs, basisniveau / Sh. A. Alimov en anderen, - M.: Onderwijs, Semenov A. L. Unified State Examination: 3000 problemen in de wiskunde. – M.: Publishing House “Exam”, Gendenshtein L.E., Ershova A.P., Ershova A.S. Een visuele gids voor algebra en het begin van analyse met voorbeelden voor de groepen 7-11. – M.: Ilexa, Elektronische hulpbron Open Bank of Unified State Examination-taken.

Lesdoelen:

Educatief: Herhaal theoretische informatie over het onderwerp "Toepassing van derivaten", generaliseer, consolideer en verbeter de kennis over dit onderwerp.

Leren hoe de verworven theoretische kennis kan worden toegepast bij het oplossen van verschillende soorten wiskundige problemen.

Overweeg methoden voor het oplossen van USE-taken die verband houden met het concept van de afgeleide van basis- en geavanceerde niveaus van complexiteit.

Leerzaam:

Vaardigheidstraining: activiteiten plannen, in een optimaal tempo werken, in groep werken, samenvatten.

Ontwikkel het vermogen om iemands capaciteiten te evalueren en het vermogen om met vrienden te communiceren.

Bevorder gevoelens van verantwoordelijkheid en empathie. Bijdragen aan de ontwikkeling van het vermogen om in teamverband te werken; vaardigheden.. verwijst naar de mening van klasgenoten.

Ontwikkelingsgericht: In staat zijn de belangrijkste concepten van het onderwerp dat wordt bestudeerd te formuleren. Ontwikkel groepswerkvaardigheden.

Lestype: gecombineerd:

Generalisatie, consolidatie van vaardigheden, toepassing van eigenschappen van elementaire functies, toepassing van reeds gevormde kennis, vaardigheden en capaciteiten, toepassing van afgeleiden in niet-standaard situaties.

Apparatuur: computer, projector, scherm, hand-outs.

Lesplan:

1. Organisatorische activiteiten

Weerspiegeling van stemming

2. Het actualiseren van de kennis van de student

3. Mondeling werk

4. Zelfstandig werken in groepen

5. Bescherming van voltooid werk

6. Zelfstandig werk

7. Huiswerk

8. Lesoverzicht

9. Weerspiegeling van stemming

Tijdens de lessen

1. Weerspiegeling van stemming.

Jongens, goedemorgen. Ik kwam met deze stemming naar jullie les (met een afbeelding van de zon)!

Wat is uw stemming?

Op je tafel liggen kaarten met afbeeldingen van de zon, de zon achter een wolk en wolken.

2. Als we de resultaten van proefexamens analyseren, evenals de resultaten van de eindcertificering van de afgelopen jaren, kunnen we concluderen dat niet meer dan 30% -35% van de afgestudeerden de taken van wiskundige analyse van het Unified State Exam aankan in onze klas, volgens de resultaten van training en niet allemaal voeren ze diagnostisch werk correct uit. Dit is de reden voor onze keuze. We zullen de vaardigheid van het gebruik van derivaten oefenen bij het oplossen van USE-problemen.

Naast de problemen van de definitieve certificering rijzen er vragen en twijfels over de mate waarin er in de toekomst vraag kan en zal zijn naar de kennis die op dit gebied is verworven, en hoe gerechtvaardigd de investering van tijd en gezondheid in het bestuderen van dit onderwerp is.

Waarom is een derivaat nodig? Waar ontmoeten we elkaar en gebruiken we afgeleide producten? Is het mogelijk om zonder te doen in de wiskunde en niet alleen?

Studentenbericht 3 minuten -

3. Mondeling werk.

4. Zelfstandig werken in groepen (3 groepen)

Groep 1 taak

) Wat is de geometrische betekenis van de afgeleide?

2) a) De figuur toont een grafiek van de functie y=f(x) en een raaklijn aan deze grafiek getekend op het punt met de abscis x0. Zoek de waarde van de afgeleide van de functie f(x) in het punt x0.

b) De figuur toont een grafiek van de functie y=f(x) en een raaklijn aan deze grafiek getekend op het punt met de abscis x0. Zoek de waarde van de afgeleide van de functie f(x) in het punt x0.

Groep 1 antwoord:

1) De waarde van de afgeleide van de functie op het punt x=x0 is gelijk aan de voorwaardelijke coëfficiënt van de raaklijn getekend aan de grafiek van deze functie op het punt met de abscis x0 hellingshoek van de raaklijn (of, met andere woorden) de raaklijn van de hoek gevormd door de raaklijn en... de richting van de Ox-as)

2) A)f1(x)=4/2=2

3) B)f1(x)=-4/2=-2

Groep 2 taak

1) Wat is de fysieke betekenis van de afgeleide?

2) Het materiële punt beweegt rechtlijnig volgens de wet
x(t)=-t2+8t-21, waarbij x de afstand tot het referentiepunt in meters is, t de tijd in seconden, gemeten vanaf het begin van de beweging. Bereken de snelheid (in meter per seconde) op tijdstip t=3 s.

3) Het materiële punt beweegt rechtlijnig volgens de wet
x(t)= ½*t2-t-4, waarbij x de afstand tot het referentiepunt in meters is, t de tijd in seconden, gemeten vanaf het begin van de beweging. Op welk tijdstip (in seconden) was de snelheid gelijk aan 6 m/s?

Groep 2 antwoord:

1) De fysieke (mechanische) betekenis van de afgeleide is als volgt.

Als S(t) de wet is van de rechtlijnige beweging van een lichaam, dan drukt de afgeleide de momentane snelheid op tijdstip t uit:

V(t)=-x(t)=-2t=8=-2*3+8=2

3) X(t)=1/2t^2-t-4

Groep 3 taak

1) De rechte lijn y= 3x-5 is evenwijdig aan de raaklijn aan de grafiek van de functie y=x2+2x-7. Zoek de abscis van het raakpunt.

2) De figuur toont een grafiek van de functie y=f(x), gedefinieerd op het interval (-9;8). Bepaal het aantal gehele punten op dit interval waarbij de afgeleide van de functie f(x) positief is.

Groep 3 antwoord:

1) Omdat de rechte lijn y=3x-5 evenwijdig is aan de raaklijn, is de hoekcoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan de hoekcoëfficiënt van de rechte lijn y=3x-5, d.w.z. k=3.

Y1(x)=3 ,y1=(x^2+2x-7)1=2x=2 2x+2=3

2) Gehele punten zijn punten met gehele absciswaarden.

De afgeleide van een functie f(x) is positief als de functie stijgend is.

Vraag: Wat kun je zeggen over de afgeleide van de functie, die wordt beschreven door het gezegde “Hoe verder het bos in, hoe meer brandhout”

Antwoord: De afgeleide is positief over het hele definitiedomein, omdat deze functie monotoon toeneemt

6. Zelfstandig werken (6 opties)

7. Huiswerk.

Oefenwerk Antwoorden:

Samenvatting van de les.

“Muziek kan de ziel verheffen of kalmeren, schilderen kan het oog strelen, poëzie kan gevoelens opwekken, filosofie kan de behoeften van de geest bevredigen, techniek kan de materiële kant van het leven van mensen verbeteren. Maar wiskunde kan al deze doelen bereiken.”

Dat zei de Amerikaanse wiskundige Maurice Kline.

Bedankt voor het werk!



Vond je het artikel leuk? Deel het
Druk dit artikel af
Bovenkant